1、简化解析几何运算的5个技巧 结 束 压轴题命题区间(六)圆锥曲线问题中学解析几何是将几何图形置于直角坐标系中，用方程的观点来研究曲线，体现了用代数的方法解决几何问题的优越性，但有时运算量过大，或需繁杂的讨论，这些都会影响解题的速度，甚至会中止解题的过程，达到“望题兴叹”的地步特别是高考过程中，在规定的时间内，保质保量完成解题的任务，计算能力是一个重要的方面为此，从以下几个方面探索减轻运算量的方法和技巧，合理简化解题过程，优化思维过程第一课时 简化解析几何运算的 5 个技巧简化解析几何运算的5个技巧 结 束 巧用定义，揭示本质定义是导出其性质的“发源地”，解题时，应善于运用圆锥曲线的定义，以数形
2、结合思想为指导，把定量的分析有机结合起来，则可使解题计算量大为简化，使解题构筑在较高的水平上简化解析几何运算的5个技巧 结 束 典例 如图，F1，F2 是椭圆 C1：x24 y21 与双曲线 C2 的公共焦点，A，B 分别是 C1，C2 在第二、四象限的公共点若四边形 AF1BF2 为矩形，则 C2 的离心率是()A 2 B 3C32D 62简化解析几何运算的5个技巧 结 束 解析 由已知，得 F1(3，0)，F2(3，0)，设双曲线 C2 的实半轴长为 a，由椭圆及双曲线的定义和已知，可得|AF1|AF2|4，|AF2|AF1|2a，|AF1|2|AF2|212，解得 a22，故 a 2所以
3、双曲线 C2 的离心率 e 32 62 答案 D简化解析几何运算的5个技巧 结 束 方法点拨本题可巧妙运用椭圆和双曲线的定义建立|AF1|，|AF2|的等量关系，从而快速求出双曲线实半轴长 a 的值，进而求出双曲线的离心率，大大降低了运算量简化解析几何运算的5个技巧 结 束 对点演练抛物线 y24mx(m0)的焦点为 F，点 P 为该抛物线上的动点，若点 A(m,0)，则|PF|PA|的最小值为_解析：设点 P 的坐标为(xP，yP)，由抛物线的定义，知|PF|xPm，又|PA|2 (xP m)2 y 2P (xP m)2 4mxP，则|PF|PA|2 xPm2xPm24mxP11 4mxPx
4、Pm2114mxP2 xPm212(当且仅当 xPm时取等号)，所以|PF|PA|22，所以|PF|PA|的最小值为 22 答案：22简化解析几何运算的5个技巧 结 束 对于直线与圆锥曲线相交所产生的中点弦问题，涉及求中点弦所在直线的方程，或弦的中点的轨迹方程的问题时，常常可以用代点法求解设而不求，整体代换简化解析几何运算的5个技巧 结 束 典例 已知椭圆 E：x2a2y2b21(ab0)的右焦点为 F(3，0)，过点 F 的直线交 E 于 A，B 两点若 AB 的中点坐标为(1，1)，则 E 的标准方程为()Ax245y2361 Bx236y2271Cx227y2181 Dx218y291简
5、化解析几何运算的5个技巧 结 束 解析 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x22，y1y22，x21a2y21b21，x22a2y22b21，得x1x2x1x2a2y1y2y1y2b20，所以kABy1y2x1x2b2x1x2a2y1y2b2a2又kAB013112，所以b2a212又9c2a2b2，解得b29，a218，所以椭圆E的方程为x218y291答案 D简化解析几何运算的5个技巧 结 束 方法点拨本题设出 A，B 两点的坐标，却不需求出 A，B 两点的坐标，巧妙地表达出直线 AB 的斜率，通过将直线 AB 的斜率“算两次”建立几何量之间的关系，从而快速解决问题简化解析几何运
6、算的5个技巧 结 束 对点演练过点 M(1,1)作斜率为12的直线与椭圆 C：x2a2y2b21(ab0)相交于 A，B 两点，若 M 是线段 AB 的中点，则椭圆C 的离心率等于_解析：设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x21a2y21b21，x22a2y22b21，x1x2x1x2a2y1y2y1y2b20，简化解析几何运算的5个技巧 结 束 y1y2x1x2b2a2x1x2y1y2y1y2x1x212，x1x22，y1y22，b2a212，a22b2又b2a2c2，a22(a2c2)，a22c2，ca 22 即椭圆 C 的离心率 e 22 答案：22简化解析几何运算的5个技巧 结
7、 束 某些涉及线段长度关系的问题可以通过解方程、求坐标，用距离公式计算长度的方法来解；但也可以利用一元二次方程，使相关的点的同名坐标为方程的根，由根与系数的关系求出两根间的关系或有关线段长度间的关系后者往往计算量小，解题过程简捷巧用“根与系数的关系”，化繁为简简化解析几何运算的5个技巧 结 束 典例(2016全国甲卷)已知椭圆 E：x2t y231 的焦点在x 轴上，A 是 E 的左顶点，斜率为 k(k0)的直线交 E 于 A，M两点，点 N 在 E 上，MANA(1)当 t4，|AM|AN|时，求AMN 的面积；(2)当 2|AM|AN|时，求 k 的取值范围解 设 M(x1，y1)，则由题
8、意知 y10(1)当 t4 时，E 的方程为x24 y231，A(2,0)由已知及椭圆的对称性知，直线 AM 的倾斜角为4简化解析几何运算的5个技巧 结 束 因此直线 AM 的方程为 yx2将 xy2 代入x24 y231，得 7y212y0解得 y0 或 y127，所以 y1127 因此AMN 的面积 SAMN212127 127 14449(2)由题意知 t3，k0，A(t，0)将直线 AM 的方程 yk(x t)代入x2t y231，得(3tk2)x22 ttk2xt2k23t0由 x1(t)t2k23t3tk2，得 x1 t3tk23tk2，简化解析几何运算的5个技巧 结 束 故|AM
9、|x1 t|1k26 t1k23tk2由题设，直线 AN 的方程为 y1k(x t)，故同理可得|AN|6k t1k23k2t由 2|AM|AN|，得23tk2k3k2t，即(k32)t3k(2k1)当 k3 2时上式不成立，因此 t3k2k1k32简化解析几何运算的5个技巧 结 束 t3 等价于k32k2k2k32k2k21k320，即 k2k320，k320或k20，解得3 2k2故 k 的取值范围是(3 2，2)简化解析几何运算的5个技巧 结 束 方法点拨本 例在 第(2)问 中可应 用根 与系 数的 关系 求 出 x1t3tk23tk2，这体现了整体思路这是解决解析几何问题时常用的方法
10、，简单易懂，通过设而不求，大大降低了运算量简化解析几何运算的5个技巧 结 束 对点演练(2016兰州实战考试)已知椭圆 C：x2a2y2b21(ab0)的离心率为12，且经过点 P1，32，左、右焦点分别为 F1，F2(1)求椭圆 C 的方程；(2)过 F1 的直线 l 与椭圆 C 相交于 A，B 两点，若AF2B 的内切圆半径为3 27，求以 F2 为圆心且与直线 l 相切的圆的方程简化解析几何运算的5个技巧 结 束 解：(1)由ca12，得 a2c，所以 a24c2，b23c2，将点 P1，32 的坐标代入椭圆方程得 c21，故所求椭圆方程为x24 y231(2)由(1)可知 F1(1,0
11、)，设直线 l 的方程为 xty1，代入椭圆方程，整理得(43t2)y26ty90，显然判别式大于 0 恒成立，设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，AF2B 的内切圆半径为 r0，则有 y1y26t43t2，y1y2 943t2，r03 27，简化解析几何运算的5个技巧 结 束 所以 SAF2BSAF1F2SBF1F212|F1F2|y1y2|12|F1F2|y1y224y1y212 t2143t2 而 SAF2B12|AB|r012|BF2|r012|AF2|r012r0(|AB|BF2|AF2|)12r0(|AF1|BF1|BF2|AF2|)12r04a简化解析几何运算的5个技巧 结
12、束 1283 2712 27，所以12 t2143t2 12 27，解得 t21，因为所求圆与直线 l 相切，所以半径 r2t21 2，所以所求圆的方程为(x1)2y22简化解析几何运算的5个技巧 结 束 借“曲线系”，理清规律利用曲线系解题，往往简捷明快，事半功倍，所以灵活运用曲线是解析几何中重要的解题方法和技巧之一简化解析几何运算的5个技巧 结 束 典例 已知双曲线x2a2y2b21(a0，b0)的一条渐近线方程是 y 3x，它的一个焦点在抛物线 y224x 的准线上，则双曲线的方程为()Ax236 y21081 Bx29 y2271C x2108y2361 Dx227y291简化解析几何
13、运算的5个技巧 结 束 解析 由双曲线x2a2y2b21(a0，b0)的一条渐近线方程是 y 3x，可设双曲线的方程为 x2y23(0)因为双曲线x2a2y2b21(a0，b0)的一个焦点在抛物线 y224x 的准线上，所以 F(6,0)是双曲线的左焦点，即 336，9，所以双曲线的方程为x29 y2271答案 B简化解析几何运算的5个技巧 结 束 方法点拨本题利用共渐近线系双曲线方程，可使问题马上得到解决避免了复杂的判断、可能的分类讨论、繁杂的解方程组，事半功倍简化解析几何运算的5个技巧 结 束 对点演练圆心在直线 xy40 上，且经过两圆 x2y26x40 和x2y26y280 的交点的圆
14、的方程为()Ax2y2x7y320Bx2y2x7y160Cx2y24x4y90 Dx2y24x4y80简化解析几何运算的5个技巧 结 束 解析：设经过两圆的交点的圆的方程为x2y26x4(x2y26y28)0，即 x2y2 61x 61y4281 0，其圆心坐标为 31，31，又圆心在直线 xy40 上，所以 31 3140，解得 7，故所求圆的方程为 x2y2x7y320答案：A 简化解析几何运算的5个技巧 结 束 巧引参数，方便运算换元引参是一种重要的数学方法，特别是解析几何中的最值问题、不等式问题等，利用换元引参使一些关系能够相互联系起来，激活了解题的方法，往往能化难为易，达到事半功倍常
15、见的参数可以选择点的坐标、直线的斜率、直线的倾斜角等在换元过程中，还要注意代换的等价性，防止扩大或缩小原来变量的取值范围或改变原题条件简化解析几何运算的5个技巧 结 束 典例 设椭圆x2a2y2b21(ab0)的左、右顶点分别为 A，B，点 P 在椭圆上且异于 A，B 两点，O 为坐标原点若|AP|OA|，证明直线 OP 的斜率 k 满足|k|3解 法一：依题意，直线OP的方程为ykx，设点P的坐标为(x0，y0)由条件，得y0kx0，x20a2y20b21.消去y0并整理，得x20a2b2k2a2b2由|AP|OA|，A(a,0)及y0kx0，得(x0a)2k2x20a2，整理得(1k2)x
16、202ax00简化解析几何运算的5个技巧 结 束 而 x00，于是 x0 2a1k2，代入，整理得(1k2)24k2ab24又 ab0，故(1k2)24k24，即 k214，因此 k23，所以|k|3法二：依题意，直线 OP 的方程为 ykx，可设点 P 的坐标为(x0，kx0)由点 P 在椭圆上，得x20a2k2x20b2 1因为 ab0，kx00，所以x20a2k2x20a2 1，简化解析几何运算的5个技巧 结 束 即(1k2)x20a2由|AP|OA|及A(a,0)，得(x0a)2k2x20a2，整理得(1k2)x202ax00，于是x0 2a1k2，代入，得(1k2)4a21k22a2
17、，解得k23，所以|k|3法三：设P(acos，bsin)(02)，则线段OP的中点Q的坐标为a2cos，b2sin 简化解析几何运算的5个技巧 结 束|AP|OA|AQOPkAQk1又 A(a,0)，所以 kAQbsin 2aacos，即 bsin akAQcos 2akAQ从而可得|2akAQ|b2a2k2AQa 1k2AQ，解得|kAQ|33 故|k|1|kAQ|3简化解析几何运算的5个技巧 结 束 方法点拨求解本题利用椭圆的参数方程，可快速建立各点之间的联系，降低运算量简化解析几何运算的5个技巧 结 束 对点演练(2016长春市质量检测)椭圆x2a2y2b21(ab0)的左、右焦点分别
18、为F1，F2，且离心率为12，点 P 为椭圆上一动点，F1PF2 面积的最大值为 3(1)求椭圆的方程；(2)设椭圆的左顶点为 A1，过右焦点 F2 的直线 l 与椭圆相交于 A，B两点，连接 A1A，A1B 并延长分别交直线 x4 于 R，Q 两点，问RF2QF2是否为定值？若是，求出此定值；若不是，请说明理由简化解析几何运算的5个技巧 结 束 解：(1)已知椭圆的离心率为12，不妨设 ct，a2t，则 b 3t，其中 t0，当F1PF2 面积取最大值时，点 P 为短轴端点，因此122t 3t 3，解得 t1，则椭圆的方程为x24 y231(2)由(1)可知 F2(1,0)，A1(2,0)设
19、直线 AB 的方程为 xmy1，A(x1，y1)，B(x2，y2)，简化解析几何运算的5个技巧 结 束 联立 xmy1，x24 y231，可得(3m24)y26my90，则y1y2 6m43m2，y1y2943m2，直线AA1的方程为y y1x12(x2)，直线BA1的方程为y y2x22(x2)，简化解析几何运算的5个技巧 结 束 则 R4，6y1x12，Q4，6y2x22，F2R3，6y1x12，F2Q3，6y2x22，则 F2R F2Q 9 6y1x12 6y2x22 6y1my13 6y2my23 9 36y1y2m2y1y23my1y299将两式代入上式，整理得F2RF2Q0，即F2RF2Q为定值 0升级增分训练点击此处
