1、2.函数值域的求法函数的值域(1)函数值域的定义在函数yf(x)中，与自变量x的值对应的y的值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域(2)确定函数值域的原则当函数yf(x)用表格给出时，函数的值域是指表格中y的值的集合当函数yf(x)的图象给出时，函数的值域是指图象在y轴上的投影对应的y的值的集合当函数yf(x)用解析式给出时，函数的值域由函数的定义域及其对应法则惟一确定当函数由实际问题给出时，函数的值域应结合问题的实际意义确定1、基本初等函数的值域：（1）一次函数y=kx+b(k0)的值域：R（2）反比例函数的值域：y|yR,y00kykx（3）二次函数y=ax2+bx+c(a0)的值域：a
2、0时，24,4acbaa0,a1)的值域：(0,+)（5）对数函数y=logax(a0,a1)的值域：R（6）幂函数y=x(R)的值域：0时，值域为0,+)或R，=0时，值域为y|yR,y0，0时，值域为(0,+)或y|yR,y0（7）三角函数y=sinx,y=cosx,y=tanx的值域分别为：-1,1,-1,1,R2、求函数值域的方法：基本原则：分解、变形、转化（1）直接法：初等函数或初等函数的复合函数，从自变量x的范围出发，推出y=f(x)的取值范围；（2）二次函数法：形如F(x)=af2(x)+bf(x)+c的函数利用换元法将函数转化为二次函数求值域；（3）换元法：代数换元，三角换元，
3、均值换元等。（4）反表示法：将求函数的值域转化为求它的反函数的值域；（5）判别式法：运用方程思想，依据二次方程有根，求出y的取值范围；（6）单调性法：利用函数在定义域上的单调性求值域；（7）基本不等式法：利用各基本不等式求值域；（8）图象法：当一个函数图象可作时，通过图象可求其值域；（9）求导法：当一个函数在定义域上可导时，可据其导数求最值，再得值域；（10）数形结合法：由几何意义，转化斜率、距离等求值域。3运用不同方法求函数的值域 例 求函数y的值域分析：本题中函数的定义域为R，且分子、分母中至少有一个为关于x的二次式，所以可用判别式法；但注意到分子为x的一次式，可在x0时，分子、分母同除以
4、x，用均值定理去求解；导数法更具有一般性93xx24解析：解法 1：(判别式法)xR，y 3xx24，去分母，并整理得 yx23x4y0.当 y0 时，x0；当 y0 时，由034y34，且 y0.所求函数的值域为34，34.解法 2：(不等式法)x0 时，y0；当 x0 时，|y|3|x|x|243|x|4|x|34，当且仅当|x|4|x|，即 x2 时，等号成立34y34，值域为34，34.10解析：解法 1：(判别式法)xR，y 3xx24，去分母，并整理得 yx23x4y0.当 y0 时，x0；当 y0 时，由034y34，且 y0.所求函数的值域为34，34.解法 2：(不等式法)x
5、0 时，y0；当 x0 时，|y|3|x|x|243|x|4|x|34，当且仅当|x|4|x|，即 x2 时，等号成立34y34，值域为34，34.11由表中可得 y 极小y|x234，y 极大y|x234，即为最大值与最小值，故所求函数的值域为34，34.例1求下列函数的值域：2432yxx(1)125xy(2)22log65yxx(3)212log65yxx变式典型例题类型一.初等函数的复合函数：（5）已知f(x)=log3x x1,9，求函数f(x2)+f2(x)的值域。例2求下列函数的值域：521xxy(1)122xxy(2)1122xxxxy(3)(4)234xyx类型二.其它函数：xxy21221xxy（5）4522xxy（6）（7）求 y=|x+1|+|x-2|的值域.4sin12cos4xyx（8）例3已知函数的定义域为R，值域为0，2，求m,n的值。18log)(223xnxmxxf类型三.给定函数值域,求参数的取值范围 作业:1.求下列函数的最值与值域(3)y=4)2(122xx(1)y=2x-x212.若函数的最大值为4,最小值为-1,求实数a,b的值1)(2 xbaxxf(2)y=x+x4
