1、课时作业25 空间向量与垂直关系时间：45 分钟基础巩固类一、选择题1若向量 m 同时垂直于向量 a 和 b，向量 nab(，R，0)，则()AmnBmnCm 与 n 既不平行也不垂直D以上三种情况均有可能B解析：mnm(ab)mamb0.2已知直线 l 与平面 垂直，直线 l 的一个方向向量为 u(1，3，z)，向量 v(3，2,1)与平面 平行，则 z 等于()A3 B6C9 D9C解析：l，v 与平面 平行，uv，即 uv0，1332z10，z9.3已知平面 内的三点 A(0,0,1)、B(0,1,0)、C(1,0,0)，平面 的一个法向量为 n(1，1，1)，且 与 不重合，则()AB
2、C 与 相交不垂直D以上都不对A解析：AB(0,1，1)，AC(1,0，1)，nAB10(1)1(1)(1)0，nAC 1110(1)(1)0，nAB，nAC.n 也为 的一个法向量又 与 不重合，.4在菱形 ABCD 中，若PA是平面 ABCD 的法向量，则以下等式中可能不成立的是()A.PAAB0 B.PC BD 0C.PC AB0 D.PACD 0C解析：PA平面 ABCD，BDPA.又 ACBD，PCBD.故选项 B 正确，选项 A 和 D 显然成立故选 C.5如图所示，正方体 AC1 中，平面 A1ACC1 的一个法向量可以是()A.BCB.A1B1C.BB1D.BDD解析：BD平面
3、 A1ACC1，所以BD 是平面 A1ACC1 的一个法向量6已知向量 a(1,1,0)，b(1,0,2)，且 kab 与 2ab 互相垂直，则 k 的值是()A1 B.15C.35D.75D解析：因为 kab(k1，k,2)，2ab(3,2，2)，且 kab 与 2ab 互相垂直，所以(kab)(2ab)3(k1)2k40，解得 k75，故选 D.7已知三条直线 l1，l2，l3 的一个方向向量分别为 a(4，1，0)，b(1,4,5)，c(3,12，9)，则()Al1l2，但 l1 与 l3 不垂直Bl1l3，但 l1 与 l2 不垂直Cl2l3，但 l2 与 l1 不垂直Dl1，l2，l
4、3 两两互相垂直A解析：ab(4，1,0)(1,4,5)4400，ac(4，1,0)(3,12，9)12120240，bc(1,4,5)(3,12，9)348450，ab，a 与 c 不垂直，bc.l1l2，l2l3，但 l1 不垂直于 l3.8在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中，若 E 为 A1C1 的中点，则直线 CE 垂直于()AACBBDCA1DDA1AB解析：建立如下图坐标系，设正方体棱长为 1，则 A(1,0,0)，B(1,1,0)，C(0,1,0)，D(0,0,0)，A1(1,0,1)，E(12，12，1)CE(12，12，1)(0,1,0)(12，12，1)AC(1,1,
5、0)，BD(1，1,0)，A1D(1,0，1)，A1A(0,0，1)CE BD(12，12，1)(1，1,0)121200.CE BD，CEBD.二、填空题9设 A 是空间任意一点，n 为空间任一非零向量，则适合条件AM n0 的点 M 的轨迹是10已知 A、B、C 三点的坐标分别为 A(4,1,3)，B(2，5,1)，C(3,7，)，若 ABAC，则 等于.过 A 与 n 垂直的平面解析：AB(2，6，2)，AC(1,6，3)，ABAC 2362(3)0，14.1411已知 a(0,1,1)，b(1,1,0)，c(1,0,1)分别是平面、的法向量，则、三个平面中互相垂直的有对0解析：ab(0
6、,1,1)(1,1,0)10，ac(0,1,1)(1,0,1)10，bc(1,1,0)(1,0,1)10，a，b，c 中任意两个都不垂直，即，中任意两个都不垂直三、解答题12如图，正三棱柱 ABC-A1B1C1 的所有棱长都为 2，D 为CC1 中点求证：AB1平面 A1BD.证明：取 BC 中点 O，B1C1 中点 O1，以 O 为原点，OB，OO1，OA 的方向为 x 轴、y 轴、z 轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，则 B(1,0,0)，D(1,1,0)，A1(0,2，3)，A(0,0，3)，B1(1,2,0)，AB1(1,2，3)，BD(2，1,0)，BA1(1,2，3)AB1
7、BD 2200，AB1 BA1 1430，AB1 BD，AB1 BA1.即 AB1BD，AB1BA1.又 BDBA1B，AB1平面 A1BD.13如图所示，在四棱锥 S-ABCD 中，底面 ABCD是正方形，AS底面 ABCD，且 ASAB，E 是 SC 的中点求证：平面 BDE平面 ABCD.解：设 ASAB1，建立如图所示的空间直角坐标系 Axyz，则 B(1,0,0)，D(0,1,0)，A(0,0,0)，S(0,0,1)，E(12，12，12)方法一：连接 AC，交 BD 于点 O，连接 OE，则点 O 的坐标为(12，12，0)易知AS(0,0,1)，OE(0,0，12)，OE 12A
8、S，OEAS.又 AS底面 ABCD，OE平面 ABCD.又 OE平面 BDE，平面 BDE平面 ABCD.方法二：设平面 BDE 的法向量为 n1(x，y，z)易知BD(1,1,0)，BE(12，12，12)，n1BDn1BE，即n1BD xy0n1BE12x12y12z0.令 x1，可得平面 BDE 的一个法向量为 n1(1,1,0)AS底面 ABCD，平面 ABCD 的一个法向量为 n2AS(0,0,1)n1n20，平面 BDE平面 ABCD.能力提升类14如下图所示，在直三棱柱 ABC-A1B1C1 中，底面是以ABC 为直角的等腰三角形，AC2a，BB13a，D 是 A1C1 的中点
9、，点 E 在棱 AA1 上，要使 CE平面 B1DE，则 AE.a 或 2a解析：以 B 为原点，BA，BC，BB1 所在直线分别为 x 轴、y 轴、z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，则 B1(0,0,3a)，D2a2，2a2，3a，C(0，2a,0)设 E(2a,0，z)(0z3a)，则CE(2a，2a，z)，B1E(2a,0，z3a)由题意得 2a2z23az0，解得 za 或 2a.故 AEa 或 2a.15正方体 ABCD-A1B1C1D1 中，E，F 分别是 BB1，CD 的中点(1)求证：平面 AED平面 A1FD1；(2)在 AE 上求一点 M，使得 A1M平面 DAE.解：(
10、1)证明：以 D 为原点，DA，DC，DD1 所在直线分别为 x 轴、y 轴、z 轴建立如图所示的空间直角坐标系 Dxyz，不妨设正方体的棱长为 2，则 A(2,0,0，)，E(2,2,1)，F(0,1,0)，A1(2,0,2)，D1(0,0,2)，DA(2,0,0)，DE(2,2,1)，AE(0,2,1)设平面AED 的 法 向 量 为 n1 (x1，y1，z1)，则n1DA 0，n1DE 0，即2x10，2x12y1z10，令 y11，得 n1(0,1，2)同理可得平面 A1FD1 的一个法向量为 n2(0,2,1)n1n20，平面 AED平面 A1FD1.(2)由于点 M 在 AE 上，可设AM AE(0,2,1)(0,2，)，可得 M(2,2，)，于是A1M(0,2，2)要使 A1M平面DAE，需 A1MAE，A1M AE(0,2，2)(0,2,1)520，解得 25.故当 AM25AE 时，即点 M 的坐标为2，45，25 时，A1M平面 DAE.
