1、树德中学高2020级高三开学考试（文科数学）一选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1. 已知集合,，则（）A. B. C. D. 2. （）A. B. C. D. 3.航天之父俄罗斯科学家齐奥科夫斯基（K.E.Tsiolkovsky）于1903年给出火箭最大速度的计算公式.其中，是燃料相对于火箭的喷射速度，是燃料的质量，是火箭（除去燃料）的质量，v是火箭将燃料喷射完之后达到的速度.已知，则当火箭的最大速度可达到时，火箭的总质量（含燃料）至少是火箭（除去燃料）的质量的（）倍.A. B. C. D. 4. 已知向量，则（）A. 6B.
2、 5C. 8D. 75. 已知是两个不同的平面，直线，且，那么“”是“”的（）A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件6. 若圆与圆的交点为A，B，则线段AB的垂直平分线的方程是（）A. B. C. D. 7. 函数的图象大致是（）A. B. C. D. 8. 已知正四棱锥的侧棱长为，底面边长为2，则该四棱锥的内切球的体积为（）A. B. C. D. 9. 已知函数，设，则（）A. B. C. D. 10. 已知数列的前n项和满足，若数列满足，则（）A. B. C. D. 11. 在棱长为1的正方体A1B1C1D1ABCD中，M为底面ABCD的中
3、心，Q是棱A1D1上一点，且，l0，1，N为线段AQ的中点，给出下列命题：CN与QM共面；三棱锥ADMN的体积跟l的取值无关；当时，AMQM；当时，过A，Q，M三点的平面截正方体所得截面的周长为其中正确的是（）A. B. C. D. 12. 若函数与的图象存在公共切线，则实数a的最大值为（）A. B. C. D. 二填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13. 若实数，满足，则的最大值为_14. 已知，则_.15. 已知数列满足，则数列的前项和为_16. 已知是双曲线的右焦点， 是轴正半轴上一点，以为直径的圆在第一象限与双曲线的渐近线交于点.若点三点共线，且的面积是面积的7倍，则双曲线
4、的离心率为_.三解答题（共70分，解答应写出文字说明证明过程或演算步骤.第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22，23题为选考题，考生根据要求作答）17. 在非直角中，角，对应的边分别，满足.（1）判断的形状；（2）若边上的中线长为2，求周长的最大值.18. 某小区物业为了让业主有一个良好的居住环境，特制定业主满意度电子调查表，调查表有生活服务小区环境等多项内容，将每项内容进行分值量化，调查表分值满分为100分.物业管理人员从中随机抽取了100份调查表将其分值作为样本进行统计，作出频率分布直方图如下.（1）根据频率分布直方图填写各分值段的业主人数表（不必说明理由）：分值人数（2）
5、在选取的100位业主中，男士与女士人数相同，规定分值在70分以上为满意，低于70分为不满意，据统计有32位男士满意.请列出列联表，并判断是否有95%的把握认为“业主满意度与性别有关”？（3）在（2）条件下，物业对满意度分值低于70分的业主进行回访，用分层抽样的方式选出8位业主进行座谈，并从中随机抽取2人为监督员，求恰好抽到男女各一人为监督员的概率.附：，其中.0.100.050.0100.0050.0012.7063.8416.6357.87910.82819. 如图，是边长为的等边三角形，分别在边上，且，为边的中点，交于点，沿将折到的位置，使.（1）证明：平面；（2）若平面内的直线平面，且与
6、边交于点，是线段的中点，求三棱锥的体积.20. 已知点A，B分别为椭圆左、右顶点，为椭圆的左、右焦点，P为椭圆上异于A，B的一个动点，的周长为12（1）求椭圆E的方程；（2）已知点，直线PM与椭圆另外一个公共点为Q，直线AP与BQ交于点N，求证：当点P变化时，点N恒在一条定直线上21. 已知函数.（1）讨论的单调性；（2）从下面两个条件中选一个，判断的符号，并说明理由.，；，.22. 在平而奁角坐标系xOy中，曲线的参数方程为 (为参数)，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线的极坐标方程为，曲线的极坐标方程为（1）求曲线和的直角坐标方程；（2）已知点是曲线上一点M，N分别是和上
7、的点，求的最大值.23. 已知函数.（1）当时，解不等式；（2）设不等式的解集为，若，求实数的取值范围.树德中学高2020级高三开学考试（文科数学）答案一选择题1.解：由题可知：故选：C2.解：由题意知，.故选：B3. 解：由题意可知：，代入可得，所以，可得，可得，即，所以，所以火箭的总质量（含燃料）的质量是火箭（除去燃料）的质量的倍，故选：A.4.解;由得：，由得，即得，故选：D5.解：当直线，且，则，或，与相交，故充分性不成立，当直线，且，时，故必要性成立，所以，“”是“”的必要而不充分条件.故选：B6.解:由题意可知，两圆圆心所在直线即为线段AB的垂直平分线，圆的圆心为，圆的圆心为，则过
8、两圆圆心的直线为，即.故选D.7. 解:设，则，故为奇函数，故C,D错误；而令时，在之间的函数零点有两个，故B错误，故选：A8.解如图，设O为正四棱锥的底面中心，E为BC的中点，连接,PO,OE,PE,则PO为四棱锥的高，PE为侧面三角形PBC的高，因为,故 ,则，设该四棱锥的内切球的半径为r，则 ，即 ，解得 ，故内切球的体积为 ,故选：B9. 解:，定义域为，所以是偶函数，令，则，所以在上单调递增，即在上，单调递增，因为，所以，即，故选：A10.解：当时，当时，所以.故，故选：D.11. 解：在中，因为M，N为AC，AQ的中点，所以，所以CN与QM共面，所以正确；由，因为N到平面ABCD的
9、距离为定值，且的面积为定值，所以三棱锥的体积跟的取值无关，所以正确；当时，,可得，取的中点分别为，连接,则在直角三角形中, 则，所以不成立，所以不正确当时，取,连接,则,又所以所以共面,即过A，Q，M三点正方体的截面为ACHQ，由,则ACHQ是等腰梯形,且所以平面截正方体所得截面的周长为，所以正确；所以正确的命题是，故选：B12. 解：，设公切线与的图象切于点，与曲线切于点，故，所以，故，设，则，在上递增，在上递减，实数a的最大值为e故选：B.二填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13. .解：画出可行域和目标函数，如图当经过点时，取得最大值，此时故答案为：614. 解：由所以则，所
10、以故答案为：15. 解：由题意，当为奇数时，所以数列是公差为，首项为的等差数列，所以，当为偶数时，所以数列是公差为，首项为的等差数列，所以，设数列的前项和为，.故答案为：16. 解：由题意结合面积的比值可得：，且：，据此可得：，将其代入双曲线方程可得：，然后利用几何关系可得：，且都在同一个圆上，据此有：结合可得：.三解答题（共70分， 17.（1）解，可得即根据正弦定理，得代入式，化简得即，为外接圆的半径）化简得，或，即或，又非直角，因此是等腰三角形（2）解在ABD和ABC中，由余弦定理可得，又，所以，所以，设，所以ABC的周长2a+ c=，所以当时，2a+ c有最大值为,即ABC周长的最大值
11、为.18. （1）解根据频率分布直方图知，分值在区间，内的频率分别为：0.12，0.16，0.20，0.24，0.18，0.10，各分值段的业主人数为：分值人数121620241810（2）解由(1)及已知得列联表如下：不满意满意总计男183250女302050总计4852100的观测值为：，所以有95%的把握认为“业主满意度与性别有关”.（3）解】由(2)知满意度分值低于70分的业主有48位，其中男士18位女士30位，用分层抽样方式抽取8位业主，其中男士3位女士5位，记男士为a，b，c，记女士为1，2，3，4，5，从中随机抽取两位为监督员事件为：，共计28个基本事件，其中抽到男女各一人有，共
12、15个基本事件，所以恰好抽到男女各一人为监督员的概率为.19. （1）为等边三角形，为中点，；，即，则在中，即；，为中点，又，；，平面，平面.（2）解连接，过在平面上作交于点，平面，平面，平面，此时四边形为平行四边形，即三棱锥的体积为.20.（1）解：设椭圆的焦距为2c，则，由得，即由的周长为12，得，所以，故椭圆E的方程为：（2）解：设直线PQ的方程：，（此处若设点斜式方程，需要讨论斜率是否存在，无讨论的扣1分，只讨论斜率不存在的情况给1分）联立方程组得，恒成立，即直线AP的方程：，直线的方程：，联立方程组消去y，得由得所以，当点P运动时，点N恒在定直线上方法二设，设直线AP的方程：，直线B
13、Q的方程：联立得又P，Q两点在椭圆E上，因此，故P，M，Q三点共线，所以，即由，得将其代入得所以，当点P运动时，点N恒在定直线上21.（1）解，令，则x=a或ln2，若，所以函数在R上为增函数；若，当或时，当时，所以函数在和上递增，在上递减；若，当或时，当时，所以函数在和上递增，在上递减；综上所述，当时，函数在R上增函数；当时，函数在和上递增，在上递减；当时，函数在和上递增，在上递减；（2）解选，当，时，由（1）知在上递增，在上递减，所以，令，则，当时，得函数在上单调递增，所以，即，则，所以，所以.选，当，时.由（1）得时，在上递减，在上递增，又，所以当时，所以.22.解：（1）由曲线的方程为（为参数），消去参数可得曲线的方程为，由曲线的极坐标方程为，曲线的极坐标方程，根据极坐标与直角坐标的互化公式，且，可得曲线直角坐标方程为，曲线的直角坐标方程.（2）由（1）知双曲线，则，可得，所以，由双曲线的定义，可得，因为点是曲线上一点、分别是和上的点，可得，所以，所以的最大值为.23. 解（1）当时，原不等式可化为.当时，解得：，；当时，解得：，；当时，解得：，；综上所述：不等式的解集为或.（2）由知：，在上恒成立，即，解得：，解得：，即实数的取值范围为.
