1、通榆一中高二下学期第四次考试数学试卷(理科)命题人 高二备课组一、选择题（本大题共12小题，共60分）1. 若为a实数，且2+ai1+i=3+i，则a=()A. -4B. -3C. 3D. 42. 在同一坐标系中，将曲线y=2sin3x变为曲线的伸缩变换公式是()A. x=3xy=2yB. x=3xy=2yC. x=3xy=12yD. x=3xy=12y3. 极坐标方程(-1)(-)=0(p0)表示的图形是()A. 两个圆B. 两条直线C. 一个圆和一条射线D. 一条直线和一条射线4. 在极坐标系中，点(2,4)到曲线cos(+4)=2的距离等于( )A. 1B. 2C. 22D. 25. 将
2、参数方程x=2+sin2y=sin2(为参数)化为普通方程是()A. y=x-2B. y=x+2C. y=x-21x3D. y=x+20y16. 已知曲线fx=xcosx+3x在点0,f0处的切线与直线ax+4y+1=0垂直，则实数a的值为( )A. -4B. -1C. 1D. 47. 已知函数f(x)=x2-5x+2lnx，则函数f(x)的单调递增区间是()A. 0,12和(1,+)B. (0,1)和(2,+)C. 0,12和(2,+)D. (1,2)8. 若f(x)=-ex,x1x,x1(e为自然对数的底数)，则02f(x)dx= ( )A. 12+e2-eB. 12+eC. 12+e-e
3、2D. -12+e-e29. 若a0，b0，且函数f(x)=4x3-ax2-2bx-2在x=1处有极值，则ab的最大值( )A. 2B. 3C. 6D. 910. 若函数f(x)=x2ex-a恰有三个零点，则实数a的取值范围是()A. (4e2,+)B. (0,4e2)C. (0,4e2)D. (0,+)11. 有5名同学进行投篮比赛，决出第1名至第5名的不同名次，教练在公布成绩前透露，五名同学中的甲、乙名次相邻，丙不是第一名，丁不是最后一名，根据教练的说法，这5名同学的名次排列最多有()种不同的情况A. 28B. 32C. 54D. 6412. 若函数fx的定义域是R，则不等式的exf(x)
4、ex+1的解集为( )A. (-,0)B. (-,-1)(1,+)C. (0,+)D. (-,0)(0,+)二、填空题（本大题共4小题，共20分）13. (x-111)12的展开式中第三项的系数为_14. 由数字2，0，1，7组成没有重复数字的四位偶数的个数为_ 15. 若(1+2x)5=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5，则a0+a2+a4=_16. 直线x=2-22ty=-1+22t(t为参数)与圆x2+y2=1有两个交点A，B，若点P的坐标为(2,-1)，则|PA|PB|=_三、解答题（本大题共6小题，共70分）17. 求下列函数的导数：(；()y=x3ex18. 已知
5、函数f(x)=x3-3x()求f(2)的值；()求函数f(x)的单调区间和极值19. 已知4名学生和2名教师站在一排照相，求：(1)中间二个位置排教师，有多少种排法？(2)两名教师不能相邻的排法有多少种？(3)两名教师不站在两端，且必须相邻，有多少种排法？20. 已知函数f(x)=ax+1x+lnx在点(1,f(1)处的切线方程是y=bx+5(1)求实数a，b的值；(2)求函数f(x)在1e,e上的最大值和最小值(其中e是自然对数的底数)21. 设常数a0，函数(1)令g(x)=xf(x)(x0)时，求g(x)的最小值，并比较g(x)的最小值与零的大小；(2)求证：f(x)在(0,+)上是增函
6、数；(3)求证：当x1时，恒有xln2x-2alnx+122. 已知曲线C的极坐标方程为以极点为原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线l的参数方程为x=12ty=32t+2,(t为参数)(1)求曲线C的直角坐标方程和直线l的普通方程；(2)求直线l被曲线C所截得的弦长参考答案1.【答案】D【解答】解：由2+ai1+i=3+i，得2+ai=(1+i)(3+i)=2+4i，则a=4，故选D2.【答案】C【解答】解：将曲线y=2sin3x经过伸缩变换变为y=sinx即y=sinx设伸缩变换公式是x=xy=y0,0，把伸缩变换关系式代入式得：y=sinx与的系数对应相等得到：=3=12变换
7、关系式为x=3xy=12y. 故选C3.【答案】C【解析】解：极坐标方程(-1)(-)=0(0)，可得=1或=方程表示的图形是一个圆和一条射线故选：C极坐标方程(-1)(-)=0(0)，可得=1或=.即可得出本题考查了极坐标方程的应用，考查了推理能力与计算能力，属于基础题4.【答案】B【解答】解：在极坐标系中，点(2,4)化为直角坐标为2cos4,2sin4，即为(1,1)，曲线cos(+4)=2即22cos-22sin=2，化为直角坐标方程为x-y-2=0，则(1,1)到直线x-y-2=0的距离等于1-1-22=2故选B5.【答案】C【解答】解：由第一个方程，可得1x3，两个方程，消去，可得
8、y=x-2，将参数方程x=2+sin2y=sin2(为参数)化为普通方程是y=x-21x3，故选C6.【答案】C【解析】【分析】本题考查导数的运用：求切线的斜率，考查两直线垂直的条件，化简运算能力，属于基础题求得f(x)的导数，可得切线的斜率，由两直线垂直的条件可得a的方程，解方程可得所求值【解答】解：f(x)=xcosx+3x的导数为f(x)=cosx-xsinx+3，可得在点(0,f(0)处的切线斜率为cos0-0+3=4，由切线与直线ax+4y+1=0垂直，可得-a4=-14，即a=1故选：C7.【答案】C【解答】解：由题意得，函数f(x)的定义域是(0,+)，令fx=2x-5+2x=2
9、x2-5x+2x=x-22x-1x0，解得：0x2，故函数的单调递增区间是0,12和(2,+)故选C8.【答案】C【解答】解：由f(x)=-ex,x1x,x1，所以02f(x)dx=01xdx+_12(-ex)dx=x22|01+(-ex)|12=12+e-e2故选C9.【答案】D【解答】解：函数f(x)=4x3-ax2-2bx-2的导数f(x)=12x2-2ax-2b，由于函数f(x)=4x3-ax2-2bx-2在x=1处有极值，则有f(1)=0，即有a+b=6，(a,b0)，由于a+b2ab，即有ab(a+b2)2=9，当且仅当a=b=3取最大值9故选：D10.【答案】B【解答】解：函数y
10、=x2ex的导数为y=2xex+x2ex=xex(x+2)，令y=0，则x=0或-2，y0，x0，y0，-2xex+1可转化为gx0，则g(x)=exf(x)+exfx-ex=exfx+fx-1，f(x)+f(x)1，g(x)=exfx+fx-10的解集为-,0，则不等式exf(x)ex+1的解集为-,0故选A13.【答案】6【解析】【分析】本题主要考查二项式展开式的通项公式，属基础题利用通项即求解【解答】解：(x-111)12的展开式中第三项，通项公式Tr+1=Cnran-rbr可得T3=T2+1=C122x12-2(-111)2第三项的系数为C122(-111)2=6故答案为614.【答案
11、】10【解答】解：根据题意，要求的是四位偶数，则个位数字必须是0或2，分2种情况分析：、0在个位，将2、1、7三个数字全排列，安排在前三位数字即可，有A33=6个四位偶数，、2在个位，由于0不能在千位，则千位数字有2种情况，将剩余的2个数字全排列，安排在百位、十位，有A22=2种情况，则此时有22=4个四位偶数，则一共有6+4=10个四位偶数，故答案为1015.【答案】121【解答】解：令x=1，则a0+a1+a2+a3+a4+a5=35；再令x=-1，则a0-a1+a2-a3+a4-a5=-1，a0+a2+a4=35+(-1)2=121，故答案为12116.【答案】4【解析】【分析】本题考查
12、直线的参数方程，直线与圆相交的性质，属于基础题将x=2-22ty=-1+22t化为一般形式，代入圆x2+y2=1，得到一个一元二次方程，求出解，求得|PA|PB|的值【解答】解：由直线参数方程x=2-22ty=-1+22t,化为：x+y=1，代入圆x2+y2=1，得：x=0y=1或x=1y=0所以|PA|PB|=2-12+-1-022-02+-1-12=4，故答案为417.【答案】()解：，由导数的计算公式，可得()解：y=x3ex，由导数的乘法法则，可得【解析】本题主要考查了导数的计算，熟练掌握导数的计算公式是解题的关键，属于基础题()由导数的计算公式进行计算，即可得解；()由导数的乘法法则
13、进行计算、变形，即可得解18.【答案】解：()f(x)=3x2-3，所以f(2)=9；()f(x)=3x2-3，令f(x)0，解得x1或x-1，令f(x)0，解得：-1x0，f(x)0，即可得单调区间，由极值定义可求得极值19.【答案】解：(1)4名学生和2名教师站在一排照相，中间两个位置排教师，先排老师再排学生，有A22A42=48种排法(2)两名教师不能相邻，先排四名学生，再利用插空法排2名老师，有A44A52=480种排法(3)两名教师不站在两端，且必须相邻，先在中间四个位置选两个相邻位置排老师，再排学生，有A22C31A44=144种排法【解析】本题考查不同的排法种数的求法，考查排列组
14、合知识等基础知识，考查运算求解能力，是中档题(1)先排教师有A22种方法，再排学生有A44种方法，再根据分步计数原理求得结果;(2)先排4名学生，有A44种方法；再把2个教师插入4个学生形成的5个空中，方法有A52种根据分步计数原理，求得结果(3)将两个老师看做一个整体，有A22种排法，再给老师选个位置C31，最终将学生排进A44；20.【答案】解：(1)因为f(x)=ax+1x+lnx，f(x)=-ax2+1x=x-ax2，则f(1)=1-a，f(1)=2a，函数f(x)在点1,f1处的切线方程为：y-2a=(1-a)(x-1)，(直线y=bx+5过1,f1点，则f(1)=b+5=2a)，由
15、题意得1-a=b,3a-1=5即a=2，b=-1.(2)由(1)得f(x)=2x+2x+lnx，函数f(x)的定义域为0,+，因为f(x)=-2x2+1x=x-2x2，所以f(x)00x0x2，所以f(x)=2x+2x+lnx在0,2上单调递减，在2,+上单调递增故f(x)在1e,2上单调递减，在2,+)上单调递增，所以f(x)在1e,e上的最小值为f(2)=3+ln2又f(1e)=2e+1，f(e)=3+2e，且f(1e)f(e)所以f(x)在1e,e上的最大值为f(1e)=2e+1综上，f(x)在1e,e上的最大值为2e+1，最小值为3+2e【解析】本题考查导数的几何意义以及求函数再定义域
16、上的最值(1)根据f(1)=1-a，f(1)=2a以及在点(1,f(1)处的切线方程是y=bx+5可得1-a=b,3a-1=5解出结果；(2)根据导数求出函数f(x)在1e,e的最值即可21.【答案】解：(1)因为，所以所以，所以g(x)=1-2x=x-2x，令g(x)=0，得x=2列表如下：x(0,2)2(2,+)g(x)-0+g(x)减极小值g(2)增所以g(x)在x=2处取得极小值g(2)=2-2ln2+2a，即g(x)的最小值为g(2)=2-2ln2+2a=2(1-ln2)+2a，因为ln20，又a0，所以g(2)0(2)由(1)知，g(x)的最小值为正数，所以对一切x(0,+)，恒有
17、g(x)=xf(x)0从而当x0时，恒有f(x)0，故f(x)在(0,+)上是增函数(3)由(2)知f(x)在(0,+)上是增函数，所以当x1时，f(x)f(1)又f(1)=1-ln21+2aln1-1=0，所以f(x)0，即x-ln2x+2alnx-10，所以xln2x-2alnx+1，故当x1时，恒有xln2x-2alnx+1【解析】本题考查了利用导数研究函数的单调性、利用导数研究闭区间上函数的最值和导数中的恒成立性问题，是中档题(1)先求导得g(x)=xf(x)=x-2lnx+2a,(x0)，利用导数研究最值；(2)由(1)知，g(x)的最小值为正数，从而当x0时，恒有f(x)0，即可得
18、证；(3)由(2)知f(x)在(0,+)上是增函数，所以当x1时，f(x)f(1)又f(1)=1-ln21+2aln1-1=0，所以f(x)0，即可得证22.【答案】解：(1)曲线C的极坐标方程可化为，且， 曲线C的直角坐标方程为x2+y2-2y=0，直线l:x=12ty=32t+2,(t为参数)的普通方程为y=3x+2；(2)圆心0,1到直线l:y=3x+2的距离为d=|-1+2|1+32=12，又半径为1，弦长为21-(12)2=3【解析】本题考查极坐标与直角坐标的互化、参数方程与普通方程的互化、直线与圆相交的弦长公式(1)消去参数t，即可求出直线的普通方程，利用，即可求出曲线C的直角坐标方程；(2)求出圆心到直线的距离，利用弦长公式，即可求出结果
