1、章末综合检测（二）时间：120分钟，满分：150分）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1若平面平面，直线a平面，点B平面，则在平面内过点B的所有直线中（）A不一定存在与a平行的直线B一定不存在与a平行的直线C存在无数条与a平行的直线D存在唯一一条与a平行的直线解析：选D因为平面平面，直线a平面，点B平面，所以Ba，过直线a与点B作平面，则平面与平面的交线即为与a平行的唯一直线，故选D2给出下列命题：过平面外一直线有且仅有一个平面和这个平面平行；如果一个平面经过另一个平面的斜线，那么这两个平面不可能垂直；若直角三角形ABC在平面内的射影仍是
2、直角三角形，则平面ABC平面其中正确命题的个数为（）A0B1C2 D3解析：选A对于，平面外的直线有两类，其一是与平面相交的直线，其二是与平面平行的直线，显然不正确；对于，容易判断是错误的；对于，平面ABC与平面也有可能相交，因此不正确故选A3对两条不相交的空间直线a与b，必存在平面，使得（）Aa，b Ba，bCa，b Da，b解析：选B因为已知两条不相交的空间直线a和b，所以可以在直线a上任取一点A，则Ab，过A作直线cb，则过a，c必存在平面且使得a，b4在如图所示的四个正方体中，能得出ABCD的是（）解析：选AA中，因为CD平面AMB，所以CDAB；B中，AB与CD成60角；C中，AB与
3、CD成45角；D中，AB与CD夹角的正切值为5如图所示，将无盖正方体纸盒展开，直线AB，CD在原正方体中的位置关系是（）A平行B相交C异面D相交成60解析：选D如图所示，ABC为正三角形，故AB，CD相交成606设A、B、C、D是空间四个不同的点，在下列结论中，不正确的是（）A若AC与BD共面，则AD与BC共面B若AC与BD是异面直线，则AD与BC是异面直线C若ABAC，DBDC，则ADBCD若ABAC，DBDC，则ADBC解析：选C对于A选项，若AC与BD共面，则A，B，C，D四点共面，则AD与BC共面；对于B选项，若AC与BD是异面直线，则A，B，C，D四点不共面，则AD与BC是异面直线；
4、对于C选项，若ABAC，DBDC，则四边形ABCD可以是空间四边形，AD不一定等于BC；对于D选项，若ABAC，DBDC，可以证明ADBC7如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，D为A1B1的中点，ABBCBB12，AC2，则异面直线BD与AC所成的角为（）A30 B45C60 D90解析：选C如图，取B1C1的中点E，连接BE，DE，则ACA1C1DE，则BDE即为异面直线BD与AC所成的角由条件可知BDDEEB，所以BDE60，故选C8若空间中四条两两不同的直线l1，l2，l3，l4，满足l1l2，l2l3，l3l4，则下列结论一定正确的是（）Al1l4Bl1l4Cl1与l4既不垂直也不平
5、行Dl1与l4的位置关系不确定解析：选D如图，在长方体ABCDA1B1C1D1中，记l1DD1，l2DC，l3DA，若l4AA1，满足l1l2，l2l3，l3l4，此时l1l4，可以排除选项A和C若l4DC1，也满足条件，可以排除选项B故选D9在正方体ABCDA1B1C1D1中，O是底面ABCD的中心，B1HD1O，H为垂足，则B1H与平面AD1C的位置关系是（）A垂直 B平行C斜交 D以上都不对解析：选A如图，连接BD，B1D，B1D1，则平面DBB1D1平面AD1C，平面DBB1D1平面AD1CD1O因为B1HD1O，所以B1H平面AD1C10在等腰RtABC中，ABBC1，M为AC的中点
6、，沿BM把它折成二面角，折后A与C的距离为1，则二面角CBMA的大小为（）A30 B60C90 D120解析：选C如图所示，由ABBC1，ABC90，得AC因为M为AC的中点，所以MCAM，且CMBM，AMBM，所以CMA为二面角CBMA的平面角因为AC1，MCAM，所以CMA9011已知直二面角l，A，ACl，C为垂足，B，BDl，D为垂足若AB2，ACBD1，则D到平面ABC的距离等于（）A BC D解析：选C如图，作DEBC于点E，由l为直二面角，ACl，得AC，进而ACDE，又BCDE，BCACC，于是DE平面ABC，故DE为D到平面ABC的距离在RtBCD中，利用等面积法得DE12动
7、点P在正方体ABCDA1B1C1D1的对角线BD1上，过点P作垂直于平面BB1D1D的直线，与正方体表面相交于点M，N设BPx，MNy，则函数yf（x）的图象大致是（）解析：选B取AA1的中点E和CC1的中点F，连接EF，则MN在平面BFD1E内平行移动，且MNEF，当P点移动到BD1的中点时，MN有唯一的最大值，排除答案A，C；当P点移动时，由于总保持MNEF，所以x与y的关系是线性的（例如：取AA11，当x时，y2x同理，当x时，有y22x，排除答案D）二、填空题：本题共4小题，每小题5分13已知a，b表示直线，表示不重合平面若a，b，ab，则；若a，a垂直于内任意一条直线，则；若，a，b
8、，则ab；若a，b，ab，则上述命题中，正确命题的序号是解析：对可举反例，如图，需b才能推出；对可举反例说明，当不与，的交线垂直时，即可知a，b不垂直；根据面面、线面垂直的定义与判定知正确答案：14如图，在ABC中，ACB90，直线l过点A且垂直于平面ABC，动点Pl，当点P逐渐远离点A时，PCB的大小（填“变大”“变小”或“不变”）解析：由于直线l垂直于平面ABC，所以lBC，又ACB90，所以ACBC，所以BC平面APC，所以BCPC，即PCB为直角，与点P的位置无关答案：不变15如图，四面体PABC中，PAPB，平面PAB平面ABC，ABC90，AC8，BC6，则PC解析：取AB的中点E
9、，连接PE因为PAPB，所以PEAB又平面PAB平面ABC，所以PE平面ABC连接CE，所以PECEABC90，AC8，BC6，所以AB2，PE ，CE ，PC 7答案：716如图所示，在直四棱柱ABCDA1B1C1D1中，当四边形A1B1C1D1满足条件时，有A1CB1D1（注：填上你认为正确的一种情况即可，不必考虑所有可能的情况）解析：由直四棱柱可知CC1平面A1B1C1D1，所以CC1B1D1，要使得B1D1A1C，只要B1D1平面A1CC1，所以只要B1D1A1C1此题还可以填写四边形A1B1C1D1是菱形、正方形等条件答案：B1D1A1C1（答案不唯一）三、解答题：解答应写出文字说明
10、、证明过程或演算步骤17（本小题满分10分）在空间四边形ABCD中，E，H分别是AB，AD的中点，F，G分别是BC，CD上的点，且求证：（1）E，F，G，H四点共面；（2）三条直线EF，GH，AC交于一点证明：（1）在ABD中， E，H分别是AB和AD的中点，所以EHBD在CBD中，所以FGBD所以EHFG所以E，F，G，H四点共面（2）由第一问可知，EHFG，且EHFG，所以它们的延长线必相交于一点，设为点P因为AC是平面ABC和平面ADC的交线，EF平面ABC，GH平面ADC，平面ABC平面ADCP，所以由公理3知PAC所以三条直线EF，GH，AC交于一点18（本小题满分12分）如图，在正
11、方体ABCDA1B1C1D1中，S是B1D1的中点，E、F、G分别是BC、DC、SC的中点，求证：（1）直线EG平面BDD1B1；（2）平面EFG平面BDD1B1证明：（1）如图，连接SB，因为E、G分别是BC、SC的中点，所以EGSB又因为SB平面BDD1B1，EG平面BDD1B1，所以直线EG平面BDD1B1（2）连接SD，因为F、G分别是DC、SC的中点，所以FGSD又因为SD平面BDD1B1，FG平面BDD1B1，所以FG平面BDD1B1，且EG平面EFG，FG平面EFG，EGFGG，所以平面EFG平面BDD1B119（本小题满分12分）如图，直三棱柱ABCA1B1C1中，D，E分别是
12、AB，BB1的中点（1）证明：BC1平面A1CD；（2）设AA1ACCB2，AB2，求三棱锥CA1DE的体积解：（1）证明：连接AC1交A1C于点F，则F为AC1中点又D是AB中点，连接DF，则BC1DF因为DF平面A1CD，BC1平面A1CD，所以BC1平面A1CD（2）因为ABCA1B1C1是直三棱柱，所以AA1CD因为ACCB，D为AB的中点，所以CDAB又AA1AB，AA1ABA，所以CD平面ABB1A1由AA1ACCB2，AB2得ACB90，CD，A1D，DE，A1E3，故A1D2DE2A1E2，即DEA1D所以V三棱锥CA1DE120（本小题满分12分）如图，在四棱锥PABCD中，
13、侧面PAD是正三角形，且与底面ABCD垂直，底面ABCD是边长为2的菱形，BAD60，N是PB的中点，E为AD的中点，过A，D，N的平面交PC于点M求证：（1）EN平面PDC；（2）BC平面PEB；（3）平面PBC平面ADMN证明：（1）因为ADBC，BC平面PBC，AD平面PBC，所以AD平面PBC又平面ADMN平面PBCMN，所以ADMN又因为ADBC，所以MNBC又因为N为PB的中点，所以M为PC的中点，所以MNBC因为E为AD的中点，DEADBCMN，所以DEMN，所以四边形DENM为平行四边形，所以ENDM又因为EN平面PDC，DM平面PDC，所以EN平面PDC（2）因为四边形ABC
14、D是边长为2的菱形，且BAD60，E为AD中点，所以BEAD又因为PEAD，PEBEE，所以AD平面PEB因为ADBC，所以BC平面PEB（3）由第二问知ADPB又因为PAAB，且N为PB的中点，所以ANPB因为ADANA，所以PB平面ADMN又因为PB平面PBC，所以平面PBC平面ADMN21（本小题满分12分）如图所示，在五面体ABCDEF中，点O是矩形ABCD的对角线的交点，而CDE是等边三角形，棱EFBC（1）求证：FO平面CDE；（2）设BCCD，求证：EO平面CDF证明：（1）取CD的中点M，连接OM，EM，在矩形ABCD中，OMBC又EFBC，所以EFOM于是四边形EFOM为平行
15、四边形，所以FOEM因为FO平面CDE，EM平面CDE，所以FO平面CDE（2）连接FM由第一问知，在等边三角形CDE中，CMDM，所以EMCD且EMCDBCEF因此EFOM为菱形，所以EOFM因为CDOM，CDEM，所以CD平面EOM所以CDEO而FMCDM，所以EO平面CDF22（本小题满分12分）如图（1），在矩形ABCD中，已知AB2，AD2，M，N分别为AD和BC的中点，对角线BD与MN交于O点，沿MN把矩形ABNM折起，使两个半平面所成二面角为60，如图（2）（1）求证：BODO；（2）求AO与平面BOD所成角的正弦值解：（1）证明：翻折前，由于M，N是矩形ABCD的边AD和BC的
16、中点，所以AMMN，DMMN，折叠后垂直关系不变，所以AMD是两个半平面所成二面角的平面角，所以AMD60连接AD，由AMDM，可知MAD是正三角形，所以AD在RtBAD中，AB2，AD，所以BD，由题可知BOOD，由勾股定理可知三角形BOD是直角三角形，所以BODO（2）如图，设E，F分别是BD，CD的中点，连接EF，OE，OF，BC，又BD，BC，CD2，所以DCBC，则EFCD又OFCD，所以CD平面OEF，OECD又BOOD，所以OEBD，又BDCDD，所以OE平面ABCD又OE平面BOD，所以平面BOD平面ABCD过A作AHBD，由面面垂直的性质定理，可得AH平面BOD，连接OH，则OH是AO在平面BOD内的投影，所以AOH为AO与平面BOD所成的角又AH是RtABD斜边上的高，所以AH，又OA，所以sinAOH故AO与平面BOD所成角的正弦值为