1、第六节正弦定理和余弦定理考纲传真掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题(见学生用书第60页)1正弦定理和余弦定理定理正弦定理余弦定理内容2R.(R为ABC外接圆半径)a2b2c22bccos_Ab2c2a22cacos_Bc2a2b22abcos_C变形形式(1)a2Rsin_A，b2Rsin_B，c2Rsin_C；(2)abcsin_Asin_Bsin_C；(3)sin A，sin B，sin C.cos Acos Bcos C.解决问题(1)已知两角和任一边，求另一角和其他两条边；(2)已知两边和其中一边的对角，求另一边和其他两角.(1)已知三边，求各角；(2)已知两边和
2、它们的夹角，求第三边和其他两个角.2.三角形常用面积公式(1)Saha(ha表示边a上的高)；(2)Sabsin Cacsin Bbcsin A.(3)Sr(abc)(r为内切圆半径)1(固基升华)判断下列结论的正误(正确的打“”，错误的打“”)(1)在ABC中，AB必有sin Asin B()(2)在ABC中的六个量中，若已知三个量，则可求另外三个量()(3)ABC中，若b2c2a2，则ABC为锐角三角形()(4)在ABC中，若A60，a4，b4，则B45或B135()【解析】(1)中，sin Asin BabAB，(1)正确在(2)中，已知三个量中至少有一个边，才可求另外三个量，(2)错在
3、(3)中，A为锐角，ABC不一定是锐角三角形(3)不正确在(4)中，abBA，则B45，(4)不正确【答案】(1)(2)(3)(4)2(人教A版教材习题改编)已知ABC中，A，B，C的对边分别为a，b，c.若ac，且A75，则b()A2 B42C42 D.【解析】在ABC中，易知B30，由余弦定理b2a2c22accos 304.b2.【答案】A3(2014佛山质检)在ABC中，若A60，B45，BC3，则AC()A4 B2 C. D.【解析】在ABC中，根据正弦定理，得，AC2.【答案】B4(2013陕西高考)设ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若bcos Cccos Basi
4、n A，则ABC的形状为()A直角三角形 B锐角三角形C钝角三角形 D不确定【解析】由正弦定理，及bcos Cccos Basin A，得sin Bcos Csin Ccos Bsin2A，即sin(BC)sin2A，sin A1，得A(由于0A)，故ABC是直角三角形【答案】A5(2013合肥高三第二次质检)ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若C，3a2c6，则b的值为()A. B. C.1 D1【解析】因为3a2c6，所以a2，c3，由余弦定理知cos C，即cos ，得b1.【答案】D(见学生用书第60页)考向1利用正弦、余弦定理解三角形【例1】(2013山东高考)设ABC
5、的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且ac6，b2，cos B.(1)求a，c的值；(2)求sin(AB)的值【思路点拨】(1)由余弦定理，得关于a，c的方程，与ac6联立求解；(2)依据正弦定理求sin A，进而求cos A，sin B，利用两角差的正弦公式求值【尝试解答】(1)由余弦定理b2a2c22accos B，得b2(ac)22ac(1cos B)，又b2，ac6，cos B，所以ac9，解得a3，c3.(2)在ABC中，sin B，由正弦定理得sin A.因为ac，所以A为锐角所以cos A.因此sin(AB)sin Acos Bcos Asin B.,规律方法11.正弦定理
6、是一个连比等式，只要知道其比值或等量关系就可以运用正弦定理通过约分达到解决问题的目的2(1)运用余弦定理时，要注意整体思想的运用(2)在已知三角形两边及其中一边的对角，求该三角形的其它边角的问题时，首先必须判断是否有解，如果有解，是一解还是两解，注意“大边对大角”在判定中的应用变式训练1在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且bsin Aacos B.(1)求角B的大小；(2)若b3，sin C2sin A，求a，c的值【解】(1)由bsin Aacos B及正弦定理，得sin Bcos B.所以tan B，所以B.(2)由sin C2sin A及，得c2a.由b3及余弦定理b2a
7、2c22accos B，得9a2c2ac.由，联立，得a，c2.所以a，c2.考向2判定三角形的形状【例2】(2014西安质检)已知ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，向量m(4，1)，n(cos2，cos 2A)，且mn.(1)求角A的大小；(2)若bc2a2，试判断ABC的形状【思路点拨】(1)利用数量积的坐标表示及二倍角公式建立关于cos A的方程求解；(2)利用余弦定理建立关于b、c的方程，结合bc2求解【尝试解答】(1)m(4，1)，n(cos2，cos 2A)，mn4cos2cos 2A4(2cos2A1)2cos2A2cos A3.又mn，2cos2A2cos A
8、3，解得cos A.0A，A.(2)在ABC中，a2b2c22bccos A，且a，()2b2c22bcb2c2bc.又bc2，b2c，代入式整理得c22c30，解得c，b，于是abc，即ABC为等边三角形,规律方法21.判定三角形形状的途径：(1)化边为角，通过三角变换找出角之间的关系(2)化角为边，通过代数变形找出边之间的关系，正(余)弦定理是转化的桥梁2无论使用哪种方法，都不要随意约掉公因式；要移项提取公因式，否则会有漏掉一种形状的可能变式训练2在ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且2asin A(2bc)sin B(2cb)sin C.(1)求A的大小；(2)若sin B
9、sin C1，试判断ABC的形状【解】(1)由已知，根据正弦定理得2a2(2bc)b(2cb)c，即a2b2c2bc.由余弦定理，a2b2c22bccos A，bc2bc cos A，cos A.又0A，A.(2)由(1)知sin2Asin2Bsin2Csin Bsin C，sin2A(sin Bsin C)2sin Bsin C.又sin Bsin C1，且sin A，sin Bsin C，因此sin Bsin C.又B、C(0，)，故BC.所以ABC是等腰的钝角三角形考向3与三角形面积有关的问题【例3】(2013湖北高考)在ABC中，角A，B，C对应的边分别是a，b，c，已知cos 2A3
10、cos(BC)1.(1)求角A的大小；(2)若ABC的面积S5，b5，求sin Bsin C的值【思路点拨】(1)利用二倍角公式和诱导公式化简已知条件，求得cos A的值，进而得角A的大小；(2)由面积求出c，再利用余弦定理求出a，最后利用正弦定理求出sin Bsin C的值【尝试解答】(1)由cos 2A3cos(BC)1，得2cos2A3cos A20，即(2cos A1)(cos A2)0.解得cos A或cos A2(舍去)因为0A，所以A.(2)由Sbcsin Abcbc5，得bc20.又b5，所以c4.由余弦定理，得a2b2c22bccos A25162021，故a.又由正弦定理，
11、得sin Bsin Csin Asin Asin2A.,规律方法31.第(2)题求解的关键是将sin Bsin C转化为已知角A与边的关系，从而运用面积公式与余弦定理求值2(1)面积公式Sabsin C涉及边、角，容易和正、余弦定理联系起来(2)选择余弦定理和面积公式时，一般应选择角确定的一组变式训练3(2013课标全国卷)ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知abcos Ccsin B.(1)求B；(2)若b2，求ABC面积的最大值. 【解】(1)由已知及正弦定理得sin Asin Bcos Csin Csin B又A(BC)，故sin Asin(BC)sin Bcos Ccos
12、 Bsin C由和C(0，)得sin Bcos B.又B(0，)，所以B.(2)ABC的面积Sacsin Bac.由已知及余弦定理得4a2c22accos .又a2c22ac，故ac，当且仅当ac时，等号成立因此ABC面积的最大值为1.一条规律在ABC中，ABabsin Asin B.两种途径判定三角形的形状，主要有两种途径：(1)化边为角；(2)化角为边，并常用正弦(余弦)定理实施边、角转换两点注意1.已知两边及一边的对角，利用正弦定理求其它边或角可能有一解、两解、无解2在判定三角形形状时，等式两边一般不要约去公因式，以免漏解.(见学生用书第62页)从近两年的高考试题看，正弦定理、余弦定理是
13、高考的热点，常与三角函数，三角恒等变换等交汇命题，题型多样，属中、低档题目规范解答之五正、余弦定理在解三角形中的应用 (12分)(2013天津高考)在ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c.已知bsin A3csin B，a3，cos B.(1)求b的值；(2)求sin的值【规范解答】(1)由，可得bsin Aasin B.又由bsin A3csin B，可得a3c.由于a3，则c1.3分依据余弦定理，且cos B，b2a2c22accos B321266.于是b6分(2)由cos B，0B，得sin B，cos 2B2cos2B1，sin 2B2sin BcosB，9分所以sins
14、in 2Bcos cos 2Bsin.12分【解题程序】第一步：由条件和正弦定理，求c.第二步：利用余弦定理，求边b.第三步：根据倍角公式、同角关系式求cos 2B，sin 2B.第四步：运用两角差的正弦公式计算sin.易错提示：(1)应用正、余弦定理，不会选择公式，导致第(1)问求解复杂化，错求b值(2)错记倍角公式，弄混两角差正弦公式的符号防范措施：(1)熟练掌握两角和与差的正弦、余弦、正切公式及二倍角公式的正用、逆用及变形使用是解答三角函数题的基础，平时应加强训练，增强逆用公式的意识(2)应用余弦定理时，一般选择角度已知的那一组公式1(2013课标全国卷)已知锐角ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c,23cos2Acos 2A0，a7，c6，则b()A10 B9 C8 D5【解析】由23cos2Acos 2A0得23cos2A2cos2A10，解得cos A.A是锐角，cos A.又a2b2c22bccos A，49b2 362b6，b5或b(舍去)，b5.【答案】D2(2013安徽高考)设ABC的内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c.若bc2a,3sin A5sin B，则角C_.【解析】由3sin A5sin B，得3a5b.又因为bc2a，所以ab，cb，所以cos C.因为C(0，)，所以C.【答案】
