1、上海市七宝中学2020届高三数学下学期4月月考试题（含解析）一、填空题（本大题共有12题，1-6题每题4分，7-12题每题5分）1.设全集UR，若Ax|1，则UA_【答案】x|0x1【解析】【分析】先解得不等式,再根据补集的定义求解即可【详解】全集UR,若Ax|1,所以,整理得,解得x1或x0,所以UAx|0x1故答案为：x|0x1【点睛】本题考查解分式不等式,考查补集的定义2.某校三个年级中，高一年级有学生400人，高二年级有学生360人，高三年级有学生340人，现采用分层抽样的方法从高一年级学生中抽出20人，则从高三年级学生中抽取的人数为_.【答案】17【解析】分析】由于分层抽样是按比例抽
2、取，若设高三年级的学生抽取了 人，则有，求出的值即可【详解】解：设高三年级的学生抽取了 人，则由题意得，解得故答案为：17【点睛】此题考查分层抽样，属于基础题.3.过点且到原点距离最大的直线方程为_.【答案】【解析】【分析】若设点的坐标为，则所求的直线为过点且与垂直的直线，先求出直线的斜率，则可得所求直线的斜率，然后利用点斜式可求得直线方程.【详解】解：设点的坐标为，则过点且到原点距离最大的直线方程为与垂直的直线，因为，所以所求直线的斜率为，所以所求的直线方程为，即故答案为：【点睛】此题考查两直线的位置关系，直线方程的求解，属于基础题.4.设无穷等比数列的公比为，首项，则公比的取值范围是_【答
3、案】【解析】【分析】利用无穷等比数列极值的运算法则、化简，即可求解，得到答案【详解】因为，又且，解得【点睛】本题主要考查了无穷等比数列的极限，以及数列极限运算法则的应用，考查计算能力，属于基础题5.满足约束条件的目标函数的最大值是_.【答案】2【解析】【分析】作出可行域，再作目标函数对应的直线，平移该直线可得最优解【详解】作出约束条件所表示的平面区域如图所示(阴影部分), 易知在点(-2，0)上取得最大值，此时，故答案为：2.【点睛】本题考查简单的线性规划，解题关键是作出可行域本题可行域不是直接用二元一次方程组给出，而是由绝对值不等式给出，因此要由绝对值定义转化得到6.若复数满足且复数对应的点
4、的轨迹是椭圆，则复数满足的条件是_.【答案】【解析】【分析】根据椭圆的定义可知，从而得到复数满足的条件是复数在以为圆心，4为半径的圆的内部.【详解】解：因为复数满足且复数对应的点的轨迹是椭圆，所以，根据复数差的几何意义可知表示复数到的距离小于4，即复数满足的条件是复数在以为圆心，4 为半径的圆的内部，如图所示故答案为：【点睛】此题考查了椭圆的定义，以及复数的几何意义，属于中档题.7.函数的图像与函数的图像所有交点的横坐标之和等于_.【答案】【解析】试题分析：函数的图象与的图象都关于点对称，所以它们四个交点横坐标也分别成对关于点对称，每对和为2，所以总和为4考点：函数图像与性质8.函数，在区间上
5、的最大值为，最小值为.则_.【答案】【解析】【分析】可将原函数化为，可设，可判断为奇函数，再根据奇函数与最值性质进行求解即可【详解】因为 设，所以 ； 则是奇函数， 所以在区间上的最大值为，即，在区间上的最小值为，即， 是奇函数， 则 .故答案为：2【点睛】本题主要考查奇函数的性质，利用奇函数最值性质进行转化是解决本题的关键属于中档题9.已知，若数列、是一个单调递增数列，则的最大值为_.【答案】【解析】【分析】先由展开式通项求得，根据可得最大，由此求得的最大值.【详解】，展开式通项为，由于数列、是一个单调递增数列，即，解得，因此，的最大值为.故答案为：.【点睛】本题主要考查二项式定理的应用，考
6、查项的系数最大值的求法，属于中档题10.设，满足，则的最小值为_.【答案】【解析】【分析】令，将用表示，转化为求关于函数的最值.【详解】，令，则，当且仅当时等号成立.故答案为:.【点睛】本题考查指对数间的关系，以及对数换底公式，注意基本不等式的应用，属于中档题.11.在正方体中，点M和N分别是矩形ABCD和的中心，若点P满足，其中，且，则点P可以是正方体表面上的点_.【答案】（或C或边上的任意一点）【解析】【分析】因为点P满足，其中，且，所以点三点共面，只需要找到平面与正方体表面的交线即可.【详解】解：因为点P满足，其中，且，所以点三点共面，因为点M和N分别是矩形ABCD和的中心，所以,连接，
7、则,所以即为经过三点的平面与正方体的截面，故点P可以是正方体表面上的点（或C或边上的任意一点）故答案为：（或C或边上的任意一点）【点睛】此题考查空间向量基本定理及推论，同时考查了学生的直观想象、逻辑推理等数学核心素养，属于中档题.12.设、的定义域都为R，且是周期为4的奇函数，当时，的周期为2，且，其中.若关于x的方程在区间上有8个不同的实数根，则k的取值范围是_.【答案】【解析】【分析】由已知函数解析式结合周期性作出图像，数形结合即可.【详解】解：作出函数与的图像如图，由图可知，函数与仅有2个实数根；要使关于的方程有8个不同的实数根，则，与的图像有2个不同的交点，由到直线距离为1，得，解得，
8、因为两点连线的斜率，所以即k的取值范围为，故答案为：【点睛】此题考查函数零点的判断，考查分段函数的应用，体现了数形结合的解题思想方法，属于中档题.二、选择题（本大题共有4题，满分20分，每题5分）13.在中，内角、所对应的边分别为、，则“”是“是以、为底角的等腰三角形”的（ ）.A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件C. 充要条件D. 既非充分也非必要条件【答案】B【解析】【分析】化简得到或，再判断充分必要性.【详解】，根据正弦定理得到：故或，为等腰或者直角三角形.所以“”是“是以、为底角的等腰三角形”的必要非充分条件故选B【点睛】本题考查了必要非充分条件，化简得到或是解题的关键，漏解是容易
9、发生的错误.14.已知函数为上单调函数，是它的反函数，点和点均在函数的图像上，则不等式的解集为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】由给出的已知两点确定单调性，再由与的对应关系进一步求解即可【详解】由和为上的单调函数，可得为上的单调递减函数，则在定义域内也为单调递减函数；原函数过点和点，则过则，解得故选A【点睛】本题考查原函数与反函数的性质，原函数若单调，则原函数与反函数单调性相同，原函数定义域（值域）与反函数值域（定义域）相同，属于中档题15.有红色、黄色小球各两个，蓝色小球一个，所有小球彼此不同，现将五球排成一行，颜色相同者不相邻，不同的排法共有( )A. 24种B. 4
10、8种C. 72种D. 120种【答案】B【解析】【分析】由排列组合及简单的计数问题得，将五个球排成一行，颜色相同者不相邻，不同的排法共有.【详解】解：将五个球排成一行共有种不同的排法，当两个红色球相邻共有种不同的排法，当两个黄色球相邻共有种不同的排法，当两个黄色球、两个红色球分别相邻共有种不同的排法，则将五个球排成一行，颜色相同者不相邻，不同的排法共有种，故选：B【点睛】此题考查了排列组合及简单的计数问题，属于中档题.16.如图为正方体，动点从点出发，在正方体表面沿逆时针方向运动一周后，再回到运动过程中，点与平面的距离保持不变，运动的路程与之间满足函数关系，则此函数图象大致是( )A. B.
11、C. D. 【答案】C【解析】【分析】先由题意，得到点在的边上沿逆时针方向运动，设正方体的棱长为，取线段的中点为，根据题意确定当动点运动到点时，同理得到动点运动到线段或的中点时，也符合上式，根据变化情况，结合选项，即可得出结果.【详解】由题意可知：点在的边上沿逆时针方向运动，设正方体的棱长为，取线段的中点为，则当动点运动到点时，同理，当动点运动到线段或的中点时，计算得.符合C选项的图像特征.故选C【点睛】本题主要考查空间几何体中的轨迹问题，熟记空间几何体的结构特征即可，属于常考题型.三、解答题（本大题共有5题，满分76分）解答下列各题必须写出必要的步骤17.如图，是圆锥的顶点，是底面圆的一条直
12、径，是一条半径.且，已知该圆锥的侧面展开图是一个面积为的半圆面.（1）求该圆锥的体积：（2）求异面直线与所成角的大小.【答案】（1）（2）【解析】【分析】(1)运用圆锥的体积公式求解；(2)建立空间直角坐标系，运用空间向量的夹角公式求解.【详解】解：（1）设该圆锥的母线长为，底面圆半径为，高为，由题意，底面圆周长，因此，该圆锥的体积；（2）如图所示，取弧的中点，则，因为垂直于底面，所以、两两垂直以为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系，计算得，所以，设与所成角的大小为，则，所以，即异面直线与所成角的大小为.【点睛】本题考查圆锥的体积和异面直线所成的角，属于基础题.18.已知函数（，为常数且），函数
13、的图像关于直线对称.（1）求函数的最小正周期；（2）在中，角、的对边分别为、，若，求的最大值.【答案】（1）； （2）【解析】【分析】(1)利用降幂公式及两角和与差的正弦公式化简函数得，由正弦型函数的对称性即可求出，最后代入周期计算公式即可得解； (2)由 求出角A，利用余弦定理及均值不等式求出，利用与bc有关的面积公式求得的面积的最大值.【详解】(1)因为函数的图像关于直线对称，所以，即，又，所以，最小正周期为；(2) 因为，所以，因，则，所以，代入得，即，当且仅当时取等号，所以，所以的面积的最大值为.【点睛】本题考查了三角恒等变换化简函数，涉及降幂公式及两角和与差的正弦公式，正弦型函数的对
14、称性，考查了余弦定理与均值不等式，属于中档题.19.某工厂在制造产品时需要用到长度为698mm的A型和长度为518mm的B型两种钢管，工厂利用长度为4000mm的钢管原材料，裁剪成若干A型和B型钢管。假设裁剪时损耗忽略不计，裁剪后所剩废料与原材料的百分比称为废料率.（1）有两种裁剪方案的废料率小于4.5%，请说明这两种方案并计算它们的废料率；（2）工厂现有100根原材料钢管，一根A型和一根B型钢管为一套毛胚。按（1）中的方案裁剪，最多可裁剪多少套毛胚？最终的废料率为多少？【答案】（1）方案一：，废料率最小为，方案二：，废料率第二小为；（2）最多可裁剪320套毛胚，最终的废料率为2.72%【解析
15、】【分析】（1）设每根原材料可裁剪成根A型钢管和根B型钢管，则，得到方案再计算废料率得到答案.（2）设用方案一裁剪根原材料，用方案二裁剪根原材料，共裁剪得套毛胚，得到时，再计算废料率得到答案.【详解】（1）设每根原材料可裁剪成根A型钢管和根B型钢管，则，方案一：，废料率最小为； 方案二：，废料率第二小为； （2）设用方案一裁剪根原材料，用方案二裁剪根原材料，共裁剪得套毛胚，则， 当，套，废料率为 综上：最多可裁剪320套毛胚，最终的废料率为2.72% .【点睛】本题考查了方案问题，意在考查学生的应用能力和解决问题的能力.20.已知椭圆：的右焦点为，短轴长为2，过定点的直线交椭圆于不同的两点、（
16、点在点，之间）.（1）求椭圆的方程；（2）若，求实数的取值范围；（3）若射线交椭圆于点（为原点），求面积的最大值.【答案】(1) ;(2) ;(3) 【解析】【分析】(1)根据椭圆的基本量之间的关系求解即可.(2)分直线斜率存在于不存在两种情况,当斜率存在时,联立方程利用韦达定理与从而找到韦达定理与的不等式再求解即可.(3) 的面积为的两倍,故求得面积最值即可.【详解】(1)因为右焦点为,故.又短轴长为2,故,解得 故椭圆的方程：(2)当直线斜率不存在时, 直线,此时,故,此时,当直线斜率存在时,设直线,.联立直线与椭圆有,此时,. .又,即 ,故又即,又因为,故,即,故有基本不等式,故计算得
17、,又,故综上(3) ,令 ,则故面积的最大值为【点睛】本题主要考查直线与椭圆的位置关系,联立方程列出韦达定理再表示题中所给的信息计算求解.其中用去建立与韦达定理之间的关系,的面积利用两倍的面积去代换,属于难题.21.对于数列，若存在，使得对任意都成立，则称数列为“折叠数列”.（1）若，判断数列，是否是“ 折叠数列”，如果是，指出m的值；如果不是，请说明理由；（2）若，求所有的实数q，使得数列是3-折叠数列；（3）给定常数，是否存在数列使得对所有，都是折叠数列，且的各项中恰有个不同的值，证明你的结论.【答案】（1）是“折叠数列”，不是“折叠数列”，理由见解析；（2）或或；（3）存在，证明见解析.
18、【解析】【分析】（1）由给的定义进行求解；（2）根据题中所给定义，列方程讨论q的取值可得出结果；（3）只需列举出例子即可证明，结合定义，数列的图象有无数条对称轴，可联想三角函数求解.【详解】解：（1）若数列为“ 折叠数列”，则，所以，所以，得，所以为“ 折叠数列”， ；若数列是“ 折叠数列，则，所以，得，所以数列不是“ 折叠数列；（2）要使通项公式为的数列是3-折叠数列，只需，当时， ，显然成立，当时，由，得，（），所以或，综上，或；（3）对给定的，都是折叠数列，故有多条对称轴，其中都是数列的对称轴，设，由（）得对称轴为，且的周期为，满足给定常数，使得对所有，都是折叠数列，是周期函数，周期为，在这个周期内，为对称轴，故对应函数值的个数与对应的函数值个数相等，即时， 所以在上单调递增，因为，所以各项中共有个不同的值，综上，给定常数，存在数列，使得对所有，都是折叠数列，且的各项中恰有个不同的值【点睛】此题考查了数列，三角函数等知识，用到了分类讨论思想，函数思想，属于难题.