1、第1讲 坐标系与参数方程 考情分析 总纲目录 考点一 极坐标方程及其应用 考点二 参数方程及其应用 考点三 极坐标方程与参数方程的综合问题 考点一 极坐标方程及其应用 1.圆的极坐标方程若圆心为M(0,0),半径为r,则圆的方程为:2-20cos(-0)+-r2=0.几个特殊位置的圆的极坐标方程:(1)当圆心位于极点,半径为r时:=r;(2)当圆心位于M(a,0),半径为a时:=2acos;(3)当圆心位于M,半径为a时:=2asin.20,2a 2.直线的极坐标方程若直线过点M(0,0),且与极轴所成的角为,则它的极坐标方程为sin(-)=0sin(0-).几个特殊位置的直线的极坐标方程:(
2、1)直线过极点的极坐标方程为=0和=+0;(2)直线过点M(a,0)且垂直于极轴的极坐标方程为cos=a;(3)直线过点M 且平行于极轴的极坐标方程为sin=b.,2b 3.极坐标与直角坐标的互化方法 点M直角坐标(x,y)极坐标(,)互化公式 x,ycossin 222xy,y(0)xtanx典型例题(2017课标全国,22,10分)选修44:坐标系与参数方程在直角坐标系xOy中,以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C1的极坐标方程为cos=4.(1)M为曲线C1上的动点,点P在线段OM上,且满足|OM|OP|=16,求点P的轨迹C2的直角坐标方程;(2)设点A的极坐标为,点
3、B在曲线C2上,求OAB面积的最大值.解析(1)设P的极坐标为(,)(0),M的极坐标为(1,)(10).由题设知|OP|=,|OM|=1=.由|OM|OP|=16得C2的极坐标方程为=4cos(0).2,34cos因此C2的直角坐标方程为(x-2)2+y2=4(x0).(2)设点B的极坐标为(B,)(B0).由题设知|OA|=2,B=4cos,于是OAB的面积S=|OA|BsinAOB=4cos =2 2+.当=-时,S取得最大值2+.所以OAB面积的最大值为2+.12sin33sin 23231233方法归纳(1)求曲线的极坐标方程的一般思路求曲线的极坐标方程问题通常可利用互化公式转化为直
4、角坐标系中的问题求解,然后再次利用互化公式即可转化为极坐标方程,熟练掌握互化公式是解决问题的关键.(2)解决极坐标问题的一般思路一是将极坐标方程化为直角坐标方程,求出交点的直角坐标,再将其化为极坐标;二是将曲线的极坐标方程联立,根据限制条件求出极坐标.跟踪集训 1.在极坐标系中,已知圆O:=cos+sin 和直线l:sin=(0,02).(1)求圆O和直线l的直角坐标方程;(2)当(0,)时,求直线l与圆O的公共点的极坐标.422解析(1)圆O:=cos+sin,即2=cos+sin,故圆O的直角坐标方程为x2+y2-x-y=0.直线l:sin=,即sin-cos=1,即直线l的直角坐标方程为
5、x-y+1=0.(2)由(1)知圆O与直线l的直角坐标方程,将两方程联立得 解得 即圆O与直线l在直角坐标系下的公共点为(0,1),将(0,1)转化为极坐标为,即为所求.422220,10,xyxyxy 0,1,xy1,22.(2017安徽合肥第二次质量检测)在直角坐标系xOy中,以坐标原点为极点,x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系,圆C的极坐标方程为=4cos.(1)求出圆C的直角坐标方程;(2)已知圆C与x轴相交于A,B两点,直线l:y=2x关于点M(0,m)(m0)对称的直线为l.若直线l上存在点P使得APB=90,求实数m的最大值.解析(1)由=4cos 得2=4cos,即x2+y2-4
6、x=0,故圆C的直角坐标方程为x2+y2-4x=0.(2)l:y=2x关于点M(0,m)对称的直线l的方程为y=2x+2m,而AB为圆C的直径,故直线l上存在点P使得APB=90的充要条件是直线l与圆C有公共点,故 2,解得-2-m-2,又m0,所以-2-m0或0b0)的参数方程为(为参数);双曲线-=1(a0,b0)的参数方程为(为参数);抛物线y2=2px(p0)的参数方程为(t为参数).22xa22ybcos,sinxayb22xa22yb,costanaxyb 22,2xptypt 典型例题(2017课标全国,22,10分)选修44:坐标系与参数方程在直角坐标系xOy中,曲线C的参数方
7、程为(为参数),直线l的参数方程为(t为参数).(1)若a=-1,求C与l的交点坐标;(2)若C上的点到l距离的最大值为,求a.解析(1)曲线C的普通方程为+y2=1.当a=-1时,直线l的普通方程为x+4y-3=0.由 3cos,sinxy4,1xatyt 1729x22430,19xyxy解得 或 从而C与l的交点坐标为(3,0),.(2)直线l的普通方程为x+4y-a-4=0,故C上的点(3cos,sin)到l的距离为d=.当a-4时,d的最大值为,由题设得=,所以a=8;当a-4时,d的最大值为,3,0 xy21,2524.25xy 21 24,25 25|3cos4sin4|17a9
8、17a 917a 17117a 由题设得=,所以a=-16.综上,a=8或a=-16.117a 17参数方程与普通方程的互化及参数方程的应用(1)将参数方程化为普通方程的过程就是消去参数的过程,常用的消参方法有代入消参、加减消参、三角恒等式消参等,往往需要对参数方程进行变形,为消去参数创造条件.(2)在与直线、圆、椭圆有关的题目中,参数方程的使用会使问题的解决事半功倍,尤其是求取值范围和最值问题,可将参数方程代入相关曲线的普通方程中,根据参数的取值条件求解.方法归纳跟踪集训 1.(2017云南昆明模拟)在平面直角坐标系xOy中,直线l的参数方程为(t为参数).以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极
9、轴建立极坐标系,曲线C1的极坐标方程为=.(1)写出直线l的普通方程和曲线C1的参数方程;(2)若将曲线C1上各点的横坐标缩短为原来的,纵坐标缩短为原来的,得到曲线C2,设点P是曲线C2上任意一点,求点P到直线l的距离的最小值.12,232xtyt 66622解析(1)直线l的普通方程为 x-y+2=0,曲线C1的参数方程为(为参数).(2)由题意知,曲线C2的参数方程为(为参数).可设点P(cos,sin),则点P到直线l的距离d=,所以dmin=,即点P到直线l距离的最小值为.336 cos,6sinxy cos,3sinxy3|3cos3sin2 3|3 132 sin2422 3622
10、 3622.(2017河南郑州质量预测(二)已知曲线C1的极坐标方程是=1,在以极点为坐标原点,极轴为x轴的正半轴的平面直角坐标系中,将曲线C1所有点的横坐标伸长为原来的3倍(纵坐标不变),得到曲线C2.(1)求曲线C2的参数方程;(2)直线l过点M(1,0),倾斜角为,与曲线C2交于A,B两点,求|MA|MB|的值.4解析(1)曲线C1的直角坐标方程为x2+y2=1,则曲线C2的直角坐标方程为+y2=1.曲线C2的参数方程为(为参数).(2)直线l的参数方程为(t为参数),代入曲线C2的直角坐标方程+y2=1,化简得5t2+t-8=0,设A,B对应的参数分别为t1,t2.依直线的参数方程中参
11、数的几何意义知|MA|MB|=|t1|t2|=|t1t2|,|MA|MB|=|t1t2|=.29x3cos,sinxy21cos1,4220sin 42xttytt 29x285考点三 极坐标方程与参数方程的综合问题 典型例题(2017课标全国,22,10分)在直角坐标系xOy中,直线l1的参数方程为(t为参数),直线l2的参数方程为(m为参数).设l1与l2的交点为P,当k变化时,P的轨迹为曲线C.(1)写出C的普通方程;(2)以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,设l3:(cos+sin)-=0,M为l3与C的交点,求M的极径.解析(1)消去参数t得l1的普通方程l1:y=k(x
12、-2);消去参数m得l2的普通方程l2:y=(x+2).2,xtykt2,xmmyk 21k设P(x,y),由题设得 消去k得x2-y2=4(y0).所以C的普通方程为x2-y2=4(y0).(2)C的极坐标方程为2(cos2-sin2)=4(02,).联立 得cos-sin=2(cos+sin).故tan=-,从而cos2=,sin2=,代入2(cos2-sin2)=4得2=5,(2),1(2).yk xyxk222(cossin)4,(cossin)2013910110所以交点M的极径为.5解决极坐标、参数方程的综合问题应关注三点(1)在对于参数方程或极坐标方程应用不够熟练的情况下,可以先
13、化成普通方程或直角坐标方程,这样思路可能更加清晰.(2)对于一些运算比较复杂的问题,用参数方程计算会比较简捷.(3)利用极坐标方程解决问题时,要注意题目所给的限制条件及隐含条件.方法归纳跟踪集训 1.(2017湖北四校联考)在直角坐标系xOy中,曲线C的参数方程为(为参数),以坐标原点O为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,直线l的极坐标方程为cos=.(1)求曲线C的普通方程与直线l的直角坐标方程;(2)设M为曲线C上的动点,求点M到直线l的距离的最大值.5cos1,5sin2xy 43 22解析(1)曲线C的普通方程为(x+1)2+(y-2)2=5.因为cos=,所以(cos-sin)=,
14、所以直线l的直角坐标方程为x-y-3=0.(2)设M(cos-1,sin+2),则点M到直线l的距离d=,所以dmax=3+.43 22223 2255|5cos5sin6|210 cos642252.(2017福建福州五校联考)在直角坐标系xOy中,直线l:.在以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线C:2=(02),若直线l与y轴正半轴交于点M,与曲线C交于A、B两点,其中点A在第一象限.(1)写出曲线C的直角坐标方程及点M对应的参数tM(用表示);(2)设曲线C的左焦点为F1,若|F1B|=|AM|,求直线l的倾斜角的值.2cos,sinxtyt ,02t为参数2312sin
15、 解析(1)由2=得2+22sin2=3,+y2=1,即曲线C的直角坐标方程为+y2=1.又由题意可知点M的横坐标为0,代入x=-+tcos,得tcos=,tM=.(2)由(1)知,F1的坐标为(-,0),则直线l过点F1.将 代入+y2=1,化简可得(1+2sin2)t2-2 cos t-1=0,设A,B对应的参数分别为t1,t2,|t1+t2|=|tM|,即=,2312sin cos,sin,xy23x23x222cos22cos,sinxtyt 23x222 2 cos12sin2cos得sin=,又0,=.12261.(2017安徽合肥模拟)已知曲线C的极坐标方程是=4cos.以极点为
16、平面直角坐标系的原点,极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系,直线l的参数方程是(t是参数).(1)将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程;(2)若直线l与曲线C相交于A、B两点,且|AB|=,求直线l的倾斜角的值.1cos,sinxtyt 14随堂检测 解析(1)由=4cos 得其直角坐标方程为(x-2)2+y2=4.(2)将 代入圆C的直角坐标方程得(tcos-1)2+(tsin)2=4,化简得t2-2tcos-3=0.设A、B两点对应的参数分别为t1、t2,则|AB|=|t1-t2|=,4cos2=2,故cos=,即=或.1cos,sinxtyt 121 22cos,3,ttt t 2121
17、 2()4ttt t24cos12 14224342.(2017河北石家庄质量检测(一)在平面直角坐标系xOy中,直线l的参数方程为(t为参数),以O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C的极坐标方程为2cos2+22sin2=12,且直线l与曲线C交于P,Q两点.(1)求曲线C的直角坐标方程及直线l恒过的定点A的坐标;(2)在(1)的条件下,若|AP|AQ|=6,求直线l的普通方程.2cos,sinxtyt解析(1)x=cos,y=sin,C:x2+2y2=12.直线l恒过的定点为A(2,0).(2)把直线l的参数方程代入曲线C的直角坐标方程中得:(sin2+1)t2+4cos t-8=0.设P,Q对应的参数分别为t1,t2,由t的几何意义知|AP|=|t1|,|AQ|=|t2|,点A在椭圆内,这个方程必有两个实根,t1t2=-,|AP|AQ|=|t1t2|=6,即=6,sin2=,(0,),28sin1 281sin 13sin=,cos=,直线l的斜率k=,因此,直线l的方程为y=(x-2)或y=-(x-2).3363222222
