1、2014-2015学年浙江省湖州市菱湖中学高二（上）10月月考数学试卷（文科）一、选择题（每小题5分，共50分）1空间四点最多可确定平面的个数是（） A 1 B 2 C 3 D 42已知直线a平面，直线b平面，则（） A ab B a与b异面 C a与b相交 D a与b无公共点3若直线l不平行于平面，且l，则（） A 内存在直线与l异面 B 内存在与l平行的直线 C 内存在唯一的直线与l平行 D 内的直线与l都相交4某几何体的三视图如图所示，它的体积为（） A 72 B 48 C 30 D 245已知水平放置的ABC的直观图ABC（斜二测画法）是边长为a的正三角形，则原ABC的面积为（） A
2、a2 B a2 C a2 D a26，是两个不重合的平面，在下列条件中，可判断平面，平行的是（） A m，n是平面内两条直线，且m，n B 内不共线的三点到的距离相等 C ，都垂直于平面 D m，n是两条异面直线， m，n，且m，n7如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，异面直线A1D与D1C所成的角为（） A 30 B 45 C 60 D 908将正三棱柱截去三个角如图1所示A、B、C分别是GHI三边的中点，得到几何体如图2，则该几何体按图2所示方向的侧视图为（） A B C D 9若一个圆柱的正视图与其侧面展开图相似，则这个圆柱的侧面积与全面积之比为（） A B C D 10如果，正方
3、体的底面与正四面体的底面在同一平面上，且ABCD，正方体的六个面所在的平面与直线CE，EF相交的平面个数分别记为m，n，那么m+n=（） A 8 B 9 C 10 D 11二、填空题（每小题4分，共32分）11棱柱至少有个面，面数最少的一个棱锥有个顶点12一个球的体积为，则此球的表面积为13圆锥表面积为a，其侧面展开图是一个半圆，则圆锥底面半径为14若直线ab，a平面，则直线b与平面的位置关系是15一个体积为的正三棱柱的三视图如图所示，则这个三棱柱的左视图的面积为16球面上有四个点P、A、B、C，若PA，PB，PC两两互相垂直，且PA=PB=PC=1，则该球的表面积是17a，与相交，则a与的位
4、置关系是18下面四个正方体图形中，A、B为正方体的两个顶点，M、N、P分别为其所在棱的中点，能得出AB平面MNP的图形是三、解答题（共68分）19如图，ABC中，ACB=90，ABC=30，BC=，在三角形内挖去一个半圆（圆心O在边BC上，半圆与AC、AB分别相切于点C、M，与BC交于点N），将ABC绕直线BC旋转一周得到一个旋转体（1）求该几何体中间一个空心球的表面积的大小；（2）求图中阴影部分绕直线BC旋转一周所得旋转体的体积20已知几何体由正方体和直三棱柱组成，其三视图和直观图（单位：cm）如图所示设两条异面直线A1Q和PD所成的角为，求cos的值21如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中
5、，AC=3，BC=4，AB=5，AA1=4，点D是AB的中点（1）求证：AC1平面CDB1；（2）求异面直线AC与BC1所成角的大小22如图，已知四棱锥PABCD中，PA平面ABCD，底面ABCD是直角梯形，且DAB=90，ABC=45，CB=，AB=2，PA=1（1）求证：AB平面PCD；（2）求证：BC平面PAC；（3）若M是PC的中点，求三棱锥CMAD的体积2014-2015学年浙江省湖州市菱湖中学高二（上）10月月考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（每小题5分，共50分）1空间四点最多可确定平面的个数是（） A 1 B 2 C 3 D 4考点： 构成空间几何体的基本元素专题
6、： 空间位置关系与距离分析： 空间四点确定的直线的位置关系进行分类：空间四点确定的两条直线平行或有且只有三点共线；四点确定的两条直线异面；空间四点在一条直线，故可得结论解答： 解：根据题意知，空间四点确定的直线的位置关系有三种：当空间四点确定的两条直线平行或有且只有三点共线时，则四个点确定1个平面；当四点确定的两条直线异面时，四点不共面，如三棱锥的顶点和底面上的顶点，则四个点确定4个平面当空间四点在一条直线上时，可确定0个平面故空间四点最多可确定4个平面故选：D点评： 本题的考点是平面的基本性质及推论，主要利用平面的基本性质进行判断，考查分类讨论的数学思想，考查空间想象能力2已知直线a平面，直
7、线b平面，则（） A ab B a与b异面 C a与b相交 D a与b无公共点考点： 空间中直线与平面之间的位置关系专题： 阅读型分析： 根据空间直线与平面平行的定义，判断直线与平面内的直线有平行与异面两种位置关系，从而判定答案解答： 解：a平面，b，直线a与直线b的位置关系是：ab或a与b异面，选项A、B、C错误，D正确故选D点评： 本题考查空间直线与平面之间的位置关系3若直线l不平行于平面，且l，则（） A 内存在直线与l异面 B 内存在与l平行的直线 C 内存在唯一的直线与l平行 D 内的直线与l都相交考点： 直线与平面平行的性质；平面的基本性质及推论专题： 空间位置关系与距离分析： 根
8、据线面关系的定义，我们根据已知中直线l不平行于平面，且l，判断出直线l与的关系，利用直线与平面相交的定义，我们逐一分析四个答案，即可得到结论解答： 解：直线l不平行于平面，且l，则l与相交l与内的直线可能相交，也可能异面，但不可能平行故B，C，D错误故选A点评： 本题考查线线、线面位置关系的判定，考查逻辑推理能力和空间想象能力其中利用已知判断出直线l与的关系是解答本题的关键4某几何体的三视图如图所示，它的体积为（） A 72 B 48 C 30 D 24考点： 由三视图求面积、体积专题： 空间位置关系与距离；立体几何分析： 由题意，结合图象可得该几何体是圆锥和半球体的组合体，根据图中的数据即可
9、计算出组合体的体积选出正确选项解答： 解：由图知，该几何体是圆锥和半球体的组合体，球的半径是3，圆锥底面圆的半径是3，圆锥母线长为5，由圆锥的几何特征可求得圆锥的高为4，则它的体积V=V圆锥+V半球体=30故选C点评： 本题考查由三视图求体积，解题的关键是由三视图得出几何体的几何特征及相关的数据，熟练掌握相关几何体的体积公式也是解题的关键5已知水平放置的ABC的直观图ABC（斜二测画法）是边长为a的正三角形，则原ABC的面积为（） A a2 B a2 C a2 D a2考点： 斜二测法画直观图；三角形的面积公式；平面图形的直观图专题： 计算题；作图题分析： 根据斜二测法画直观图的步骤，把给出的
10、直观图还原回原图形，然后直接利用三角形的面积公式求解解答： 解：把边长为a的正三角形ABC 还原回原三角形如图，过C作CD垂直于x轴于D，因为ABC是边长为a的正三角形，所以，过C作CE平行于x轴交y轴于E，则，所以，C对应的原图形中的点C在平面直角坐标系xoy下的坐标为，即原三角形ABC底边AB上的高为，所以，故选D点评： 本题考查了斜二测画直观图的方法，运用斜二侧画法画水平放置的平面图形的直观图时，在原坐标系下平行于坐标轴或在坐标轴上的线段在新系下仍然平行于坐标轴或在坐标轴上，平行于x轴或在x轴上的长度不变，平行于y轴或在y轴上的，长度变为原来的一半，该类问题有个二级结论，即原平面图形的面
11、积和其直观图的面积比为，此题是基础题6，是两个不重合的平面，在下列条件中，可判断平面，平行的是（） A m，n是平面内两条直线，且m，n B 内不共线的三点到的距离相等 C ，都垂直于平面 D m，n是两条异面直线，m，n，且m，n考点： 空间中直线与平面之间的位置关系专题： 证明题分析： A：根据面面平行的判定定理可得：或者与相交B：根据面面得位置关系可得：或者与相交C：则根据面面得位置关系可得：或者与相交D：在直线n上取一点Q，过点Q作直线m 的平行线m，所以m与n是两条相交直线，m，n，且m，n，根据面面平行的判定定理可得解答： 解：A：若m，n是平面内两条直线，且m，n，则根据面面平行
12、的判定定理可得：或者与相交所以A错误B：若内不共线的三点到的距离相等，则根据面面得位置关系可得：或者与相交所以B错误C：若，都垂直于平面，则根据面面得位置关系可得：或者与相交所以C错误D：在直线n上取一点Q，过点Q作直线m 的平行线m，所以m与n是两条相交直线，m，n，且m，n，根据面面平行的判定定理可得，所以D正确故选D点评： 本题考查平面与平面平行的判定与性质，考查学生严密的思维能力和空间想象能力7如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，异面直线A1D与D1C所成的角为（） A 30 B 45 C 60 D 90考点： 异面直线及其所成的角专题： 空间角分析： 在正方体ABCDA1B1C
13、1D1中，由D1CA1B，知DA1B是异面直线A1D与D1C所成的角，由此能求出结果解答： 解：在正方体ABCDA1B1C1D1中，D1CA1B，DA1B是异面直线A1D与D1C所成的角，A1D=A1B=BD，A1BD是等边三角形，DA1B=60，异面直线A1D与D1C所成的角是60故选：C点评： 本题考查异面直线所成的角的求法，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养8将正三棱柱截去三个角如图1所示A、B、C分别是GHI三边的中点，得到几何体如图2，则该几何体按图2所示方向的侧视图为（） A B C D 考点： 简单空间图形的三视图专题： 空间位置关系与距离分析： 因为光线从几何体的左面向右
14、面正投影，得到投影图叫做几何体的侧视图据此我们可以过D作一个平面与ED垂直，可知ED、HG、CB在此平面上的正射影为一个点，进而由图1和图2可知图2 的侧视图应是一个直角梯形，其上底是ABC的边BC上的高，下底为DEF的边DE上的高，直角腰为AED的边ED上的高，根据以上分析可得出答案解答： 解：由图1和图2可知图2 的侧视图应是一个直角梯形，其上底是ABC的边BC上的高，下底为DEF的边DE上的高，直角腰为AED的边ED上的高，故侧视图为A故选A点评： 理解侧视图的定义及正投影的含义是解决问题的关键9若一个圆柱的正视图与其侧面展开图相似，则这个圆柱的侧面积与全面积之比为（） A B C D
15、考点： 旋转体（圆柱、圆锥、圆台）专题： 空间位置关系与距离分析： 设圆柱的底面半径为r，高为h，则，进而求出圆柱的侧面积与全面积，可得答案解答： 解：设圆柱的底面半径为r，高为h，则，则，则S侧=2rh=，S全=，故圆柱的侧面积与全面积之比为，故选B点评： 本题考查的知识点是旋转体，圆柱的侧面积与全面积，其中根据已知分析出圆柱的底面半径r，高h，满足，是解答的关键10如果，正方体的底面与正四面体的底面在同一平面上，且ABCD，正方体的六个面所在的平面与直线CE，EF相交的平面个数分别记为m，n，那么m+n=（） A 8 B 9 C 10 D 11考点： 平面的基本性质及推论专题： 计算题；空
16、间位置关系与距离分析： 判断CE与EF与正方体表面的关系，即可推出正方体的六个面所在的平面与直线CE，EF相交的平面个数分别记为m，n，求出m+n的值解答： 解：由题意可知直线CE与正方体的上底面平行在正方体的下底面上，与正方体的四个侧面不平行，所以m=4，直线EF与正方体的左右两个侧面平行，与正方体的上下底面相交，前后侧面相交，所以n=4，所以m+n=8故选A点评： 本题考查直线与平面的位置关系，基本知识的应用，考查空间想象能力二、填空题（每小题4分，共32分）11棱柱至少有5个面，面数最少的一个棱锥有4个顶点考点： 棱柱的结构特征专题： 常规题型；空间位置关系与距离分析： 棱柱有两个底面，
17、至少有三个侧面，故至少有5个面，棱锥至少有4个面，即三棱锥解答： 解：棱柱有两个底面，至少有三个侧面，故至少有5个面，棱锥至少有4个面，即三棱锥，此时有4个顶点故答案为：5，4点评： 本题考查了棱柱与棱锥的结构特征，属于基础题12一个球的体积为，则此球的表面积为4考点： 球的体积和表面积专题： 计算题；空间位置关系与距离分析： 根据球的体积公式，可算出球的半径R=1，再结合球的表面积公式即可算出该球的表面积解答： 解：设球的半径为R，则球的体积为，R3=，解之得R=1由此可得球的表面积为S=4R2=4故答案为：4点评： 本题给出球的体积，求它的表面积，着重考查了球的表面积、体积公式及其应用的知
18、识，属于基础题13圆锥表面积为a，其侧面展开图是一个半圆，则圆锥底面半径为考点： 旋转体（圆柱、圆锥、圆台）专题： 计算题；空间位置关系与距离分析： 设出圆锥的底面半径，由它的侧面展开图是一个半圆，分析出母线与半径的关系，结合圆锥的表面积为a，构造方程，可求出半径解答： 解：设圆锥的底面的半径为r，圆锥的母线为l，则由l=2r得l=2r，而S=r2+r2r=3r2=a故r2=解得r=故答案为：点评： 本题综合考查有关扇形和圆锥的相关计算解题思路：解决此类问题时要紧紧抓住两者之间的两个对应关系：（1）圆锥的母线长等于侧面展开图的扇形半径；（2）圆锥的底面周长等于侧面展开图的扇形弧长正确对这两个关
19、系的记忆是解题的关键14若直线ab，a平面，则直线b与平面的位置关系是b或b考点： 空间中直线与平面之间的位置关系专题： 空间位置关系与距离分析： 利用线面平行的判定定理和性质定理即可判断出位置关系解答： 解：ab，a与b可以确定平面若，则b；若=l，a平面，al取l为b，则b故答案为b或b点评： 熟练掌握线面平行的判定定理和性质定理是解题的关键15一个体积为的正三棱柱的三视图如图所示，则这个三棱柱的左视图的面积为考点： 简单空间图形的三视图专题： 计算题；图表型分析： 此几何体是一个正三棱柱，正视图即内侧面，底面正三角形的高是，由正三角形的性质可以求出其边长，由于本题中体积已知，故可设出棱柱
20、的高，利用体积公式建立起关于高的方程求高，再由正方形的面积公式求侧视图的面积即可解答： 解：设棱柱的高为h，由左视图知，底面正三角形的高是，由正三角形的性质知，其边长是4，故底面三角形的面积是=4由于其体积为，故有h=，得h=3由三视图的定义知，侧视图的宽即此三棱柱的高，故侧视图的宽是3，其面积为3=故答案为：点评： 本题考点是简单空间图形的三视图，考查根据作三视图的规则几何体的直观图的能力以及利用体积公式建立方程求参数的能力，三视图的投影规则是：“主视、俯视 长对正；主视、左视高平齐，左视、俯视 宽相等”三视图是高考的新增内容，不时出现在高考试题中，应予以重视16球面上有四个点P、A、B、C
21、，若PA，PB，PC两两互相垂直，且PA=PB=PC=1，则该球的表面积是3考点： 球内接多面体；球的体积和表面积专题： 计算题；空间位置关系与距离分析： 根据题意，分别以PA、PB、PC为长、宽、高作出正方体，求出该正方体的外接球表面积，即为本题所求表面积解答： 解：PA、PB、PC两两互相垂直，且PA=PB=PC=1，分别以PA、PB、PC为长、宽、高，作出正方体设所得正方体的外接球为球O，则P、A、B、C四点所在的球面就是球O表面就是正方体的对角线长等于球O的直径即2R=，得R=球O的表面积为S=4R2=4（）2=3故答案为：3点评： 本题给出两两垂直且相等的线段PA、PB、PC，求则P
22、、A、B、C四点所在的球的表面积，着重考查了球内接多面体和球的表面积公式等知识，属于基础题17a，与相交，则a与的位置关系是平行、包含、相交考点： 空间中直线与平面之间的位置关系专题： 空间位置关系与距离分析： 以正方体为载体，利用空间中线线、线面、面面间的位置关系求解解答： 解：在正方体ABCDA1B1C1D1中，AA1平面BCC1B1，平面BCC1B1平面CDD1C1=CC1，AA1平面平面CDD1C1；AA1平面BCC1B1，平面BCC1B1平面ABB1A1=BB1，AA1平面ABB1A1；AA1平面BCC1B1，平面BCC1B1平面ABCD=BC，AA1与平面ABCD相交a，与相交，a
23、与的位置关系为平行、包含、相交故答案为：平行、包含、相交点评： 本题考查空间中直线与平面的位置关系的判断，是基础题，解题时要注意空间思维能力的培养18下面四个正方体图形中，A、B为正方体的两个顶点，M、N、P分别为其所在棱的中点，能得出AB平面MNP的图形是考点： 直线与平面平行的判定专题： 空间位置关系与距离分析： 分别根据平面MNP的位置确定直线AB是否与平面平行解答： 解：连结BC，则平面ABC平面MNP，所以AB平面MNP所以正确取底面正方形对角线的中点O，则ONAB，所以AB与面PMN相交，不平行，所以不合适AB与面PMN相交，不平行，所以不合适因为ABNP，所以AB平面MNP所以正
24、确故答案为：点评： 本题主要考查线面平行的判定，利用线面平行的判定，只要直线AB平行于平面MNP内的一条直线即可三、解答题（共68分）19如图，ABC中，ACB=90，ABC=30，BC=，在三角形内挖去一个半圆（圆心O在边BC上，半圆与AC、AB分别相切于点C、M，与BC交于点N），将ABC绕直线BC旋转一周得到一个旋转体（1）求该几何体中间一个空心球的表面积的大小；（2）求图中阴影部分绕直线BC旋转一周所得旋转体的体积考点： 旋转体（圆柱、圆锥、圆台）；棱柱、棱锥、棱台的体积；球的体积和表面积专题： 空间位置关系与距离分析： 根据旋转体的轴截面图，利用平面几何知识求得球的半径与AC长，再利
25、用面积公式与体积公式计算即可解答： 解：（1）连接OM，则OMAB设OM=r，OB=r，在BMO中，sinABC=r=S=4r2=（2）ABC中，ACB=90，ABC=30，BC=，AC=1V=V圆锥V球=AC2BCr3=点评： 本题考查旋转体的表面积与体积的计算S球=4r2；V圆锥=r320已知几何体由正方体和直三棱柱组成，其三视图和直观图（单位：cm）如图所示设两条异面直线A1Q和PD所成的角为，求cos的值考点： 异面直线及其所成的角专题： 空间角分析： 由PQCD，且PQ=CD，知PDQC，得A1QC为异面直线A1Q、PD所成的角（或其补角）由此能求出两条异面直线A1Q和PD所成的角的
26、大小解答： 解：由PQCD，且PQ=CD，知PDQC，故A1QC为异面直线A1Q、PD所成的角（或其补角）由题设知，取BC中点E，则QEBC，且QE=3，QC2=QE2+EC2=32+12=10由余弦定理，得=两条异面直线A1Q和PD所成的角=arccos点评： 本题考查两条异面直线所成角的大小的标法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养21如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，AC=3，BC=4，AB=5，AA1=4，点D是AB的中点（1）求证：AC1平面CDB1；（2）求异面直线AC与BC1所成角的大小考点： 直线与平面平行的判定；异面直线及其所成的角专题： 空间位置关系与距
27、离分析： （I）设BC1与CB1交于点O，连接OD，利用三角形中位线性质，证明ODAC1，利用线面平行的判定，可得AC1平面CDB1（）因为ACA1C1，得到异面直线AC与BC1所成角为BC1A1，通过勾股定理的逆定理可求为90解答： （I）证明：设BC1与CB1交于点O，则O为BC1的中点在ABC1中，连接OD，D，O分别为AB，BC1的中点，OD为ABC1的中位线，ODAC1，又AC1平面CDB1，OD平面CDB1，AC1平面CDB1（）解：ACA1C1，异面直线AC与BC1所成的角为BC1A1，在直三棱柱ABCA1B1C1中，AC=3，BC=4，AB=5，AA1=4，A1B2=AA12+
28、AB2=41，BC12=CC12+BC2=32，A1C12=9，A1B2=BC12+A1C12，A1C1B=90，异面直线AC与BC1所成角的大小为90点评： 本题考查了直三棱柱中的线面关系以及线线关系，熟练直棱柱的性质是解答的关键22如图，已知四棱锥PABCD中，PA平面ABCD，底面ABCD是直角梯形，且DAB=90，ABC=45，CB=，AB=2，PA=1（1）求证：AB平面PCD；（2）求证：BC平面PAC；（3）若M是PC的中点，求三棱锥CMAD的体积考点： 棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的判定专题： 计算题；空间位置关系与距离分析： （1）利用线面平行的判定定理证明；（2）
29、利用勾股定理证明BCAC，由PA平面ABCD，可得PABC从而可证得BC平面PAC：（3）在直角梯形ABCD中，过C作CEAB于点E，则四边形ADCE为矩形，AE=DC，AD=EC求得CE，计算ACD的面积，根据M到平面ADC的距离是P到平面ADC距离的一半，求得棱锥的高，代入体积公式计算解答： 解：（1）底面ABCD是直角梯形，且DAB=90，ABC=45，ABCD，又AB平面PCD，CD平面PCD，AB平面PCD （2）ABC=45，CB=，AB=2，AC2=AB2+BC22ABBCcos45=2则AC2+BC2=AB2，BCAC PA平面ABCD，BC平面ABCD，PABC又PAAC=A，BC平面PAC （3）在直角梯形ABCD中，过C作CEAB于点E，则四边形ADCE为矩形，AE=DC，AD=EC在RtCEB中，可得BE=BCcos45=，CE=BCsin45=，AE=ABBE=21=1SADC=，M是PC的中点，M到平面ADC的距离是P到平面ADC距离的一半，VCMAD=VMACD=SACD（PA）=点评： 本题考查了线面平行的判定，线面垂直的判断，考查了三棱锥的换底性及棱锥的体积公式，涉及知识较多，对学生的推理论证能力有一定的要求
