1、向量数量积的坐标运算(20分钟35分)1.已知a=,2a+b=,则a与b的夹角的余弦值为()A.B.-C.D.-【解析】选C.因为a=,2a+b=,故可得b=,设向量a与b的夹角为,又=5,=13,则cos =.【补偿训练】若向量a=,b=,则2a+b与a-b的夹角等于()A.-B.C.D.【解析】选C.由题意得:2a+b=,a-b=,所以cos=,又,所以=.2.设x,yR,向量a=(x,1),b=(1,y),c=(2,-4)且ac,bc,则=()A.B.2C.D.10【解析】选C.因为向量a=(x,1),b=(1,y),c=(2,-4)且ac,bc,所以2x-4=0x=2,1(-4)-2y
2、=0y=-2,从而a+b=(2,1)+(1,-2)=(3,-1),因此=.3.已知=(2,3),=(3,t),=1,则=()A.-3B.-2C.2D.3【解析】选C.由=-=(1,t-3),=1,得t=3,则=(1,0),=(2,3)(1,0)=21+30=2.4.(2019北京高考)已知向量a=(-4,3),b=(6,m),且ab,则m=.【解析】因为ab,所以ab=-46+3m=0,所以m=8.答案:8【补偿训练】 已知a,b是同一平面内的两个向量,其中a=(1,2).若|b|=2,且ba,则b的坐标为.【解析】设b=(x,y),因为|b|=2,所以=2,所以x2+y2=20.由ba和|b
3、|=2,可得解得或故b=(2,4)或b=(-2,-4).答案:(2,4)或(-2,-4)5.若向量a=,b=,则的最小值为.【解析】因为a=,b=,所以a-b=-=,所以=.所以当x=1时,取最小值.答案:6.平面向量a=,b=,c=,已知ab,ac.(1)求向量b和向量c;(2)求b与c的夹角和.【解析】(1)因为a=,b=,c=,且ab,ac,所以解得因此,b=,c=;(2)因为bc=22-=0,所以bc,即b与c的夹角为.a+b=,因此,=.(30分钟60分)一、单选题(每小题5分,共20分)1.(2020伊春高一检测)已知向量a=(2,-1),b=(0,1),(a+kb)b=3,则k=
4、()A.-2B.2C.-4D.4【解析】选D.因为a=(2,-1),b=(0,1),ab=20+1=-1,所以(a+kb)b=ab+kb2=-1+k=3,解得k=4.2.已知向量m=,n=,则为()A.7B.5C.3D.1【解析】选C.由题意可知n=-m,由得出,所以=0,即q2=m2,因此,=3.3.若a=,b=,b方向上的单位向量为e.则a在b上的投影向量为()A.eB.eC.eD.e【解析】选A.由向量的投影计算公式可得,a在b上的投影向量为e=e=e.4.(2020郧阳高一检测)已知ABC是边长为4的等边三角形,P为ABC内一点,则(+)的最小值是()A.-8B.-4C.-3D.-6【
5、解析】选D.取BC中点O,将ABC放入平面直角坐标系中,如图所示,则A,设P,连接PO,则+=2,所以=,=,所以(+)=2=2=2,易知当x=0,y=时, (+)取得最小值-6.二、多选题(每小题5分,共10分,全部选对的得5分,选对但不全的得3分,有选错的得0分)5.已知向量a=(1,-2),ab,则b可能是()A.(4,8)B.(4,-8)C.(-4,-8)D.(-4,8)【解析】选BD.设b=(x,y),依题意有解得或【补偿训练】 设向量a=(1,0),b=,则下列结论中不正确的是()A. |a|=|b|B. ab=C. abD. a-b与b垂直【解析】选ABC.因为|a|=1,|b|
6、=,所以|a|b|.又ab=1+0=;易知a与b不共线,所以A,B,C均不正确.因为a-b=,且(a-b)b=+=0,所以(a-b)b.6.设向量a=,b=,则下列叙述错误的是()A.若k-2时,则a与b的夹角为钝角B.的最小值为2C.与b共线的单位向量只有一个为D.若=2,则k=2或-2【解析】选CD.对于A选项,若a与b的夹角为钝角,则ab0且a与b不共线,则解得k0).(1)若ABC=90,求m的值.(2)若|=3,且=2,求cosADC的值.【解析】(1)若ABC=90,则=0,因为=-=(3,m-2),所以=3+2m-4=0,所以m=.(2)因为|=3,所以=3,因为m0,所以m=5
7、,所以=(3,3),因为=2,所以=(1,1),=(2,2),而=+=(3,4),所以=(-3,-4),所以cosADC=-.1.已知向量a=(3,2),b=,且函数f(x)=(a+xb)(xa-b)的图象是一条直线,则|b|=()A. B. C.2 D.2【解析】选A.由题意得f=(a+xb)(xa-b)=x|a|2-ab+x2ab-x|b|2=abx2+x-ab,因为函数f(x)的图象是一条直线,所以ab=0,即3(-1)+2=0,解得m=-2,所以b=,|b|=.2.(2020南京高一检测)已知向量a=(1,m),b=(2,n).(1)若m=3,n=-1,且a(a+b),求实数的值; (2)若=5,求ab的最大值.【解析】(1)当m=3,n=-1时,a=(1,3),b=(2,-1),所以a+b=(1,3)+(2,-1)=(1+2,3-),若a(a+b),则a(a+b)=0,即(1+2)+3(3-)=0,解得=10.(2)因为a=(1,m),b=(2,n),所以a+b=(3,m+n),因为=5,所以32+(m+n)2=52,则(m+n)2=16,所以ab=12+mn2+(m+n)2=2+16=6, 当且仅当m=n=2时,等号成立,故当m=n=2或m=n=-2时,ab的最大值为6.
