1、第3节万有引力理论的成就学习目标1.了解万有引力定律在天文学上的应用;2.会用万有引力定律计算天体的质量;3.掌握综合运用万有引力定律和圆周运动学知识分析具体问题的方法。自主预习万有引力定律:(1)内容是:。(2)表达式。(3)公式中的G=,G是由测定的。(4)适用条件:。【自主预习】1.若不考虑地球自转的影响,地面上质量为m的物体所受的重力mg等于对物体的,即mg=,式中M是地球的质量,R是地球的半径,也就是物体到地心的距离。由此可得出地球的质量M=。2.将行星绕太阳的运动近似看成运动,行星做圆周运动的向心力由提供,则有,式中M太是的质量,m是的质量,r是,也就是行星和太阳中心的距离,T是。
2、由此可得出太阳的质量为:。3.同样的道理,如果已知卫星绕行星运动的和卫星与行星之间的,也可以计算出行星的质量。4.太阳系中,观测行星的运动,可以计算的质量;观测卫星的运动,可以计算的质量。5.18世纪,人们发现太阳系的第七个行星天王星的运动轨道有些古怪:根据计算出的轨道与实际观测的结果总有一些偏差。据此,人们推测,在天王星轨道的外面还有一颗未发现的行星,它对天王星的使其轨道产生了偏离。和确立了万有引力定律的地位。6.应用万有引力定律解决天体运动问题的两条思路是:(1)把天体(行星或卫星)的运动近似看成是运动,向心力由它们之间的提供,即F万=F向,可以用来计算天体的质量,讨论行星(或卫星)的线速
3、度、角速度、周期等问题。基本公式:=。(2)地面及其附近物体的重力近似等于物体与地球间的,即F万=G=mg,主要用于计算涉及重力加速度的问题。基本公式:mg=(m在M的表面上),即GM=gR2。(G=6.6710-11Nm2/kg2)课堂探究一、“称量”地球的质量引导学生阅读教材55页“称量”地球的质量部分的内容,思考问题:1.推导出地球质量的表达式,说明卡文迪什为什么能把自己的实验说成是“称量地球的重量”?2.设地面附近的重力加速度g=9.8 m/s2,地球半径R=6.4106 m,引力常量G=6.6710-11Nm2/kg2,试估算地球的质量。3.总结称量地球质量的方法和原理。二、计算天体
4、的质量引导学生阅读教材56页“计算天体的质量”,结合教材知识以及前面所学匀速圆周运动的知识,加以讨论、综合,然后回答下列问题。1.应用万有引力定律求解天体质量的基本思路是什么?2.以某星球绕太阳运行为例,请你应用天体运动的动力学方程万有引力充当向心力,写出所有可能的表达式。3.根据上面的推导,某星球绕太阳运动的动力学方程有多个,如:F=m、F=m2r、F=mr,我们通常选择哪个方程来计算地球的质量?4.请你总结应用万有引力定律计算未知天体质量的方法。5.设中心天体的半径为R,若把中心天体看成球体,利用中心天体的质量M,怎样计算中心天体的密度?小结:应用万有引力定律解决天体运动问题的两条思路是:
5、(1)地面及其附近物体的重力近似等于物体与地球间的,即F万=G=mg,主要用于计算涉及重力加速度的问题。基本公式:mg=(m在M的表面上),即GM=gR2。(2)把天体(行星或卫星)的运动近似看成是运动,向心力由它们之间的提供,即F万=F向,可以用来计算天体的质量,讨论行星(或卫星)的线速度、角速度、周期等问题.基本公式:=。三、发现未知天体问题探究:阅读教材57页“发现未知天体”部分内容回答问题:1.应用万有引力定律可估算天体质量外,还可以在天文学上有何应用?2.应用万有引力定律发现了哪些行星?3.举例说说是怎样应用万有引力定律来发现未知天体的?发表你的看法。(交流讨论)拓展:下列说法正确的
6、是()A.海王星是人们直接应用万有引力定律计算的轨道而发现的B.天王星是人们依据万有引力定律计算的轨道而发现的C.海王星是人们经过长期的太空观测而发现的D.天王星的运行轨道与由万有引力定律计算的轨道存在偏差,其原因是天王星受到轨道外的行星的引力作用,由此,人们发现了海王星课堂练习1.若测得嫦娥四号在月球(可视为密度均匀的球体)表面附近沿圆形轨道运行的周期为T,已知引力常量G,半径为R的球体体积公式V=R3,则可估算月球的()A.密度B.质量C.半径D.自转周期2.一卫星绕某一行星表面附近做匀速圆周运动,其线速度大小为v。假设宇航员在该行星表面上用弹簧测力计测量一质量为m的物体重力,物体静止时,
7、弹簧测力计的示数为F。已知引力常量为G,则这颗行星的质量为()A.B.C.D.3.宇航员在某星球表面,将一小球从离地面为h高处以初速度v0水平抛出,测出小球落地点与抛出点间的水平位移为s,若该星球的半径为R,引力常量为G,则该星球的质量多大?核心素养专练1.若已知太阳的一个行星绕太阳运转的轨道半径为r,周期为T,引力常量为G,则可求得()A.该行星的质量B.太阳的质量C.该行星的平均密度D.太阳的平均密度2.某球状行星具有均匀的密度,若在赤道处随行星一起转动的物体对行星表面的压力恰好为零,则该行星自转周期为(万有引力常量为G)()A.B.C.D.3.(多选)已知引力常量G和下列各组数据,能计算
8、出地球质量的是A.地球绕太阳运行的周期及地球离太阳的距离B.月球绕地球运行的周期及月球离地球的距离C.人造卫星在地面附近绕行的速度和运行周期D.若不考虑地球自转,已知地球的半径及重力加速度4.地球公转轨道半径是R1,周期是T1,月球绕地球运转的轨道半径是R2,周期是T2,则太阳质量与地球质量之比是()A.B.C.D.5.(多选)天文学上把两个相距较近,由于彼此的引力作用而沿各自的轨道互相环绕旋转的恒星系统称为“双星”系统,设一双星系统中的两颗星保持距离不变,共同绕着连线上的某一点以不同的半径做匀速圆周运动,则()A.两子星的线速度的大小一定相等B.两子星的角速度的大小一定相等C.两子星受到的向
9、心力的大小一定相等D.两子星的向心加速度的大小一定相等6.设土星绕太阳的运动是匀速圆周运动,若测得土星到太阳的距离为R,绕太阳的周期为T,引力常量为G,则根据以上数据可计算出的物理量有。7.太阳系某行星到太阳的距离约等于地球到太阳距离的4倍,如果地球在轨道上的公转速度为30 km/s,则该行星在其轨道上公转的速度等于。8.在某行星上,宇航员用弹簧测力计称得质量为m的砝码重力为F。乘宇宙飞船在靠近该行星表面空间飞行,测得其环绕周期为T,则根据以上测量数据可求出该星球的质量为。9.月球的质量是地球的,月球半径是地球半径的,如果分别在地球上和月球上都用同一初速度竖直上抛一个物体(阻力不计),两者上升
10、高度比为多少?参考答案知识回顾(1)自然界中任意两物体之间都相互吸引,引力的方向在它们的连线上,引力的大小与物体的质量M和m的乘积成正比,与它们之间距离r的二次方成反比。(2)F=G(3)G=6.6710-11 Nm2/kg2英国物理学家卡文迪什(4)严格地说该公式只适用于质点之间,两物体的距离远远大于自身的大小两个球体之间一个球体和一个质点之间自主预习1.地球万有引力G2.匀速圆周万有引力F向=G=mr太阳行星两天体中心的距离行星公转周期M太=3.周期中心间的距离4.太阳行星5.万有引力定律吸引力海王星的发现哈雷彗星的“按时回归”6.(1)匀速圆周万有引力Gmrm2rm(2)万有引力G课堂探
11、究一、“称量”地球的质量1.由G=mg,解出M=。关系式GM=gR2称为“黄金代换”式。地面的重力加速度g和地球半径R在卡文迪什之前就已知道,一旦测得引力常量G,就可以算出地球的质量M。因此,卡文迪什把他自己的实验说成是“称量地球的重量”。2.答案:M地=6.01024 kg解:若忽略地球自转的影响,在地球表面上物体受到的重力等于地球对物体的万有引力。由G=mg得:M=,代入数据M地=6.01024 kg。3.已知天体(如地球)的半径R和天体(如地球)表面的重力加速度g。物体的重力近似等于天体(如地球)与物体间的万有引力:G=mg。忽略了天体自转,且g为天体表面的重力加速度。二、计算天体的质量
12、1.行星或卫星受到的万有引力充当向心力。2.G=mr=m2r=m3.F=mr4.中心天体质量:M=5.由G=mg,得M=。又V=R3,所以天体密度=。小结:1.万有引力G2.匀速圆周万有引力Gmrm2rm三、发现未知天体问题探究:英国剑桥大学的学生亚当斯和法国年轻的天文学家勒维耶相信未知行星的存在。他们根据天王星的观测资料,各自独立地利用万有引力定律计算出这颗“新”行星的轨道。1846年9月23日晚,德国的伽勒在勒维耶预言的位置附近发现了这颗行星,人们称其为“笔尖下发现的行星”。后来,这颗行星被命名为海王星。海王星的发现过程充分显示了理论对于实践的巨大指导作用,所用的“计算、预测和观察”的方法
13、指导人们寻找新的天体。拓展:D课堂练习1.A嫦娥四号在月球(可视为密度均匀的球体)表面附近沿圆形轨道运行,其轨道半径可视为等于月球半径,由G=mR,月球质量m月=;由于月球半径R未知,不能估算月球质量,也不能由题中信息得到月球半径和自转周期,选项B、C、D错误。由密度公式=得月球密度=,选项A正确。2.B设卫星的质量为m由万有引力提供向心力,得G=mmg=由已知条件,m的重力为F得F=mg由得:R=代入得:m行=,故A、C、D三项均错误,B正确。3.设该星球表面重力加速度为g,物体水平抛出后经时间t落地,则h=gt2s=v0t又由于g=由式得m星=。核心素养专练1.B2.C3.BCD4.B5.
14、BC6.土星的角速度、线速度、加速度、太阳质量7.15 km/s8.9.15.6学习目标1.了解万有引力理论的重要成就,掌握计算天体质量和密度的基本思路。2.掌握运用万有引力定律和圆周运动知识分析天体运动问题的基本思路。3.掌握天体的线速度、角速度、周期及向心加速度与轨道半径的关系。4.掌握双星系统的运动特点及其问题的分析方法。课堂探究知识回顾1.万有引力定律的内容、表达式。2.重力与万有引力的关系并完成相关练习。练习1:(多选)下列说法正确的是()A.万有引力定律F=G适用于两质点间的作用力计算B.据F=G,当r0时,物体m1、m2间引力F趋于无穷大C.把质量为m的小球放在质量为M、半径为R
15、的大球球心处,则大球与小球间万有引力F=GD.两个质量分布均匀的分离的球体之间的相互作用力也可以用F=G计算,r是两球体球心间的距离练习2:(多选)对于太阳与行星间的引力表达式F=G,下列说法正确的是()A.公式中的G为比例系数,与太阳、行星均无关B.M、m彼此受到的引力总是大小相等C.M、m彼此受到的引力是一对平衡力,合力等于0,M和m都处于平衡状态D.M、m彼此受到的引力是一对作用力与反作用力练习3:要使两物体间的万有引力减小到原来的,下列做法不可行的是()A.使两物体的质量各减小一半,距离不变B.使其中一个物体的质量减小到原来的,距离不变C.使两物体间的距离增大到原来的2倍,质量不变D.
16、两物体的质量和距离都减小到原来的一、“称量”地球质量提出问题1为什么说卡文迪什是“能称出地球质量”的人?卡文迪什测出了引力常量G=6.6710-11 Nm2/kg2后,称自己的实验是“称量”地球的质量,若要称量出地球的质量,我们应该选择哪个物体研究?忽略哪些次要因素?运用哪些物理规律?【例题1】已知重力加速度g=9.8 m/s2,地球半径R=6.4106 m,引力常量G=6.6710-11 Nm2/kg2,试估算地球的质量。二、天体质量的计算提出问题2行星绕中心天体转动的向心力来源是什么?设M为太阳(或某一天体)的质量,m是行星(或某一卫星)的质量,r是行星(或卫星)的轨道半径,T是行星(或卫
17、星)绕太阳(或天体)公转的周期,如何运用这些已知量推导太阳的质量?1.若已知天体(如地球)的半径R和表面的重力加速度g,根据物体的重力近似等于天体对物体的引力,得,解得天体质量为。2.借助绕中心天体做圆周运动的行星或卫星计算中心天体的质量,常见的情况:(1)已知卫星的轨道半径r和运行周期T,则有G=mr得M=。(2)已知卫星的轨道半径r和运行线速度v,则有G=m得M=。(3)已知卫星的半径r和角速度,则有G=m2r得M=。【例题2】地球绕太阳公转的轨道半径为1.491011 m,公转的周期是3.16107 s,太阳的质量是多少?拓展:天体密度的计算提出问题3若已知天体的半径为R,重力加速度为g
18、,如何计算密度?若天体的半径为R,则天体的密度=,将M=,代入上式可得=。注意:(1)计算天体的质量的方法不仅适用于地球,也适用于其他任何星体。要明确计算出的是中心天体的质量。(2)要注意R、r的区分。一般地R指中心天体的半径,r指行星或卫星的轨道半径。若绕“近地”轨道运行,则有R=r。【例题3】设卫星绕天体运动的轨道半径为r,周期为T,天体半径为R,求天体的密度?提出问题4如何掌握天体运动的分析与计算方法?(1)物体在天体表面时受到的万有引力等于物体重力=,整理可得:=,该公式通常被称为黄金代换式。(2)一般行星或卫星的运动可看作匀速圆周运动,所需向心力由中心天体对它的提供。G=。提出问题5
19、应用万有引力定律除可计算天体的质量外,在天文学上还有何应用?【小结】两个基本知识:(1)地球表面,不考虑(忽略)地球自转的影响,物体的重力近似等于万有引力:mg=G,地球质量M=。(2)建立模型求中心天体质量,围绕天体做圆周运动的向心力为中心天体对围绕天体的万有引力,通过围绕天体的运动半径和周期求中心天体的质量:=m2r=mr,中心天体质量,M=。核心素养专练一、选择题1.若已知某行星的一颗卫星绕其运转的轨道半径为r,周期为T,引力常量为G,则可求得()A.卫星的质量B.行星的质量C.该卫星的平均密度D.行星的平均密度2.火星的质量和半径分别约为地球的和,地球表面的重力加速度为g,则火星表面的
20、重力加速度约为()A.0.2gB.0.4gC.2.5gD.5g3.科学家们推测,太阳系有颗行星和地球在同一轨道上。从地球上看,它永远在太阳的背面,人类一直未能发现它,可以说是“隐居”着的地球的“孪生兄弟”。由以上信息我们可以推知()A.这颗行星的质量等于地球的质量B.这颗行星的密度等于地球的密度C.这颗行星的公转周期与地球公转周期相等D.这颗行星的自转周期与地球自转周期相等4.一物体从某行星表面某高度处自由下落。从物体开始下落计时,得到物体离行星表面高度h随时间t变化的图像如图所示,不计阻力。则根据h-t图像可以计算出()A.行星的质量B.行星的半径C.行星表面重力加速度的大小D.物体受到行星
21、引力的大小5.下列说法正确的是()A.海王星是人们直接应用万有引力定律计算出轨道而发现的B.天王星是人们依据万有引力定律计算出轨道而发现的C.海王星是人们经过长期的太空观测而发现的D.天王星的运行轨道与由万有引力定律计算出的轨道存在偏差,其原因是天王星受到轨道外的行星的引力作用,由此人们发现了海王星6.地球表面的平均重力加速度为g,地球半径为R,引力常量为G,用上述物理量估算出来的地球平均密度为()A.B.C.D.7.假设国际编号“3463”的小行星“高锟星”为均匀的球体,其质量为地球质量的,半径为地球半径的,则其表面的重力加速度与地球表面重力加速度的比值为()A.B.kqC.D.8.(多选)
22、已知引力常量G和下列各组数据,能计算出地球质量的是()A.人造卫星在地面附近运行的速度和运行周期B.月球绕地球运行的周期及月球距地球的距离C.地球绕太阳运行的周期及地球离太阳的距离D.考虑地球自转时,已知地球的半径及重力加速度9.(多选)宇宙中两颗靠得比较近的恒星,只受到彼此之间的万有引力互相绕转,称之为双星系统,设某双星系统A、B绕其连线上的O点做匀速圆周运动,如图所示。若AOOB,则()A.星球A的角速度一定大于B的角速度B.星球A的质量一定小于B的质量C.若双星间距离一定,双星的总质量越大,其转动周期越大D.若双星的质量一定,双星之间的距离越大,其转动周期越大10.设地球自转周期为T,质
23、量为M。引力常量为G。假设地球可视为质量均匀分布的球体,半径为R。同一物体在南极和赤道水平面上静止时所受到的支持力之比为()A.B.C.D.二、计算题(要有必要的文字说明和解题步骤,有数值计算的要标明单位)11.为了探测X星球,载着登陆舱的探测飞船在以该星球中心为圆心,半径为r1的圆轨道上运动,周期为T1,总质量为m1。随后登陆舱脱离飞船,变轨到离星球更近的半径为r2的圆轨道上运动,此时登陆舱的质量为m2,求:(1)X星球的质量M。(2)登陆舱在半径为r2的轨道上做圆周运动的周期T2。12.某行星半径为R,表面附近有一近地卫星,运行周期为T,设引力常量G为已知,求:(1)该行星的质量。(2)该
24、行星表面的重力加速度大小。13.据报道,“嫦娥三号”探测器已成功实施近月制动,顺利进入环月轨道。探测器环月运行轨道可视为圆轨道。已知探测器环月运行时可忽略地球及其他天体的引力,探测器绕月运行的速度大小为v,运行周期为T,引力常量为G,求:(1)探测器绕月运行的轨道半径;(2)探测器绕月运行的加速度的大小;(3)月球的质量。14.宇航员在某星球表面,将一小球从离地面为h高处以初速度v0水平抛出,测出小球落地点与抛出点间的水平位移为s,若该星球的半径为R,引力常量为G,则该星球的质量多大?课后探究作业完成课本课后习题和学案。参考答案课堂探究1.AD2.ABD3.D提出问题1在不考虑地球自转的影响(
25、即不需要引力分量提供向心力),物体在地球表面时受到的重力等于万有引力。由mg=G,M地地是地球的质量;R是地球的半径,也就是物体到地心的距离。则可得:M地=例题1:解:M地=61024 kg答:地球的质量约为61024 kg。提出问题21.mg=GM地=2.(1)(2)(3)例题2M太=1.961030 kg提出问题3例题3=提出问题4(1)mgGGMgR2(2)万有引力Gmanmmr2mr提出问题5发现未知天体、预言哈雷彗星的回归,牛顿还用月球和太阳的万有引力解释了潮汐现象,推测地球呈赤道处略为隆起的扁平形状,分析地球表面重力加速度微小差异的原因,以及指导重力探矿。核心素养专练1.答案:B解
26、析:利用万有引力定律,只能计算中心天体的质量,故已知卫星的轨道半径和周期,只能计算行星的质量,A、C项错误,B项正确。因不知行星的半径,故不能计算出行星的平均密度,D项错误。2.答案:B解析:在地球表面有mg=,设火星表面的重力加速度为g火,则=0.4,故B正确。3.答案:C解析:由题意知,该行星和地球一样绕太阳运行,且该行星、太阳、地球在同一直线上,说明该颗行星与地球有相同的公转周期,C选项正确;但根据所给条件,无法进一步判断这颗行星与地球的自转周期、质量、密度是否相同。4.答案:C解析:根据图像可得物体下落25 m,用的总时间为2.5 s,根据自由落体运动的位移公式可求得行星表面的重力加速
27、度,C项正确;根据行星表面的万有引力约等于重力,只能求出行星质量与行星半径二次方的比值,不能求出行星的质量和半径,A项和B项错误;因为物体质量未知,不能确定物体受到行星的引力大小,D项错误。5.答案:D解析:由行星的发现历史可知,天王星并不是根据万有引力定律计算出轨道而发现的;海王星不是通过观测发现,也不是直接由万有引力定律计算出轨道而发现的,而是人们发现天王星的实际轨道与理论轨道存在偏差,然后运用万有引力定律计算出“新”星的轨道,从而发现了海王星。由此可知,A、B、C错误,D正确。6.答案:A解析:联立以下三式:G=mg、V=R3、=,解得:=。7.答案:C解析:根据物体在行星表面所受重力约
28、等于行星对它的万有引力,有mg=,得g=,高锟星表面的重力加速度与地球表面重力加速度的比值=,C正确。8.答案:AB解析:A、根据线速度公式v=,结合线速度和周期,可以求出轨道半径r,再根据G=mr可以求出地球的质量M,故A正确;B、根据月球绕地球运行的周期及月球距地球的距离,根据万有引力提供月球运动的向心力有G=mr,故已知月球周期及月球轨道半径可以求出地球质量M,故B正确;C、根据万有引力提供圆周运动向心力可以求出中心天体的质量,故地球围绕太阳运动中心天体是太阳,故不能求出环绕天体地球的质量,故C错误;D、若考虑地球自转,地球表面重力加速度与万有引力不相等即mgG,由表达式可知,已知重力加
29、速度和地球半径不可以求出地球质量M,故D错误。9.答案:BD解析:A、双星靠相互间的万有引力提供向心力,具有相同的角速度,故A错误;B、双星靠相互间的万有引力提供向心力,具有相同的角速度,根据万有引力提供向心力公式得:=m12r1=m22r2,因为AOOB,即r1r2,所以m1m2,即A的质量一定小于B的质量,故B正确;C、根据万有引力提供向心力公式得:=m1r1=m2r2,解得周期为T=2,由此可知双星间距离一定,双星的总质量越大,其转动周期越小,故C错误;D、根据T=2可知双星的质量一定,双星之间的距离越大,其转动周期越大,故D正确;故选BD。【点睛】双星靠相互间的万有引力提供向心力,具有
30、相同的角速度,根据向心力公式判断质量关系,根据v=r判断线速度关系。根据万有引力提供向心力公式得出周期与总质量、距离之间的关系式,然后判断即可。10.答案:A解析:设物体质量为m,物体在南极受到的支持力为FN1,在赤道受到的支持力为FN2,则FN1=,FN2=-,=,A正确。11.答案:(1)(2)T1解析:(1)飞船绕X星球做匀速圆周运动,万有引力提供向心力,由牛顿第二定律知G=m1,解得:X星球的质量M=。(2)对m1有:G=m1r1对m2有:G=m2r2解得:T2=T112.答案:(1)(2)解析:(1)卫星绕行星做匀速圆周运动,由万有引力提供向心力,则有:G=mR可得:M=(2)行星表面的重力加速度大小等于卫星的向心加速度,则g=a=R=13.答案:(1)r=(2)an=(3)M=解析:(1)由公式v=可解得r=(2)根据F=ma=mr解得:an=(3)根据G=m解得M=14.答案:解析:设该星球表面重力加速度为g,物体水平抛出后经时间t落地,则h=gt2s=v0t又由于g=由式得m星=。
