1、第二十三教时教材：复习二实数与向量的数量积（续） 目的：继续复习有关知识，提高学生数形结合、解决实际问题的能力。过程：ABCNM一、 继续复习实数与向量的积、向量共线的充要条件、平面向量的基本定理平几问题1 如图：已知MN是ABC的中位线，求证：MN=BC, 且MNBC证：MN是ABC的中位线，, MN=BC, 且MNBC2 证明：三角形重心与顶点的距离等于它到对边中点的距离的两倍。 A B C E F D G证：设= b，= a，则=+= b+a, =A, G, D共线，B, G, E共线可设=，= ,则=(b+a)=b+a, = = (b+a)=b+a, 即：b + (b+a) =b+a(
2、-)a + (-+)b = 0 a, b不平行， 即：AG = 2GD 同理可化：AG = 2GD , CG = 2GF3 设=(a+5b)，=-2a + 8b，=3(a -b)，求证：A,B,D三点共线。证：=+=(a+5b) + ( -2a + 8b) + 3(a -b)= (1+)a + (5 + 5)b = (1+)(a + 5b)而=(a+5b) = (+ 1)又, 有公共点 A,B,D三点共线4 求证：起点相同的三个非零向量a、b、3a -2b的终点在同一直线上。证：依题意，可设= a, = b, = 3a -2b =-= b - a , =-= 3a -2b - a = 2(a
3、- b)= -2 由于,起点均为A，三点A,B,C共线，即起点相同的三个非零向量a、b、3a -2b的终点在同一直线上5 已知：平面上三点O、A、B不共线，求证：平面上任一点C与A、B共线的充要条件是存在实数和，使=+ ，且+ = 1。证：必要性：设A,B,C三点共线，则可设= t (tR)则=+=+ t=+ t(-) = (1-t)+ t令1-t =，t = ，则有：=+ ，且+ = 1充分性：=-=+ -= (-1)+ = -+ = (-) = 三点A、B、C共线6 某人骑车以每小时a公里的速度向东行驶，感到风从正东方向吹来，而当速度为2a时，感到风从东北方向吹来，试求实际风速和方向。 P B A Ovv-2a解：设a表示此人以每小时a公里的速度向东行驶的向量，无风时此人感到风速为-a，设实际风速为v，那么此时人感到的风速为v - a，设= -a，= -2a+= = v - a，这就是感到由正北方向吹来的风速，+= = v -2a，于是当此人的速度是原来的2倍时所感受到由东北方向吹来的风速就是，由题意：PBO = 45, PABO, BA = AO从而，POB为等腰直角三角形，PO = PB =a 即：|v | =a实际风速是a的西北风二、 作业： 导学创新 5.3
