1、第1讲 函数的图象与性质 考情分析 总纲目录 考点一 函数及其表示 考点二 函数图象及应用 考点三 函数性质及其应用 考点一 函数及其表示 1.函数的三要素:定义域、值域和对应关系.注意“定义域优先”的原则.2.分段函数:分段函数虽然由几部分组成,但它表示的是一个函数.典型例题 (1)(2017湖北武汉四月调研)已知函数f(x)满足f+f(-x)=2x(x0),则 f(-2)=()A.-B.C.D.-(2)(2017陕西宝鸡质量检测(一)已知函数f(x)=则f 的值等于()A.-1 B.1 C.D.(3)(2017课标全国,16,5分)设函数f(x)=则满足f(x)+f 1的x的取值范围是 .
2、1x1x729272922cos,0,(1)1,0,x xf xx4332521,0,2,0,xxxx12x解析(1)令x=2,可得f+f(-2)=4,令x=-,可得f(-2)-2f=-1,联立解得f(-2)=,故选C.(2)依题意f=f+1=f+1+1=2cos+2=2+2=1,选B.(3)当x0时,f(x)+f=x+1+x-+11,x-,-x0;当01恒成立;当x 时,f(x)+f=2x+1恒成立.1212121272431323231212x1214141212x121212x122x答案(1)C(2)B(3)1,4综上,x的取值范围为.1,4方法归纳解决分段函数求值问题的方法(1)在求
3、分段函数的函数值时,一定要注意自变量的值属于哪个区间,再代入相应的解析式求解.当自变量的值不确定时,要分类讨论.(2)对于分段函数,已知函数值或函数值范围求自变量的值或范围时,应根据每一段的解析式分别求解,但要注意检验所求自变量的值或范围是否符合相应段的自变量的取值范围.跟踪集训 1.已知函数f(x)=则f(f(3)=()A.B.C.-D.-3122,0,1 log,0,xxx x 432343答案A 因为f(3)=1-log23=log2 0,所以f(f(3)=,故选A.2322log13224log 32432.(2017山东,9,5分)设f(x)=若f(a)=f(a+1),则f=()A.
4、2 B.4 C.6 D.8,01,2(1),1.xxxx1a答案C 解法一:当0a1,f(a)=,f(a+1)=2(a+1-1)=2a.由f(a)=f(a+1)得 =2a,a=.此时f=f(4)=2(4-1)=6.当a1时,a+11,f(a)=2(a-1),f(a+1)=2(a+1-1)=2a.由f(a)=f(a+1)得2(a-1)=2a,无解.综上,f=6,故选C.解法二:当0 x0,y=1+x+1+x1,排除A、C.令f(x)=x+,则f(-x)=-x+=-f(x),f(x)=x+是奇函数,y=1+x+的图象关于点(0,1)对称,故排除B.故选D.(2)A中,当x+时,f(x)-,与题图不
5、符;B中的函数为偶函数,其图象与题图不符;C中,当x0+时,f(x)0,与题图不符,故选D.2sin xx2sin xx2sin()()xx2sin xx2sin xx(3)函数f(x)=的定义域为x|xR,且x1,其图象如图所示,由图可知f(x)的值域为(-,-1)(0,+),故错;在(0,1)和(1,+)上单调递减,在(0,+)上不是单调的,故错;f(x)的图象关于y轴对称,故正确;由于在每个象限都有图象,所以与过原点的直线y=ax(a0)至少有一个交点,故正确.1|1x 方法归纳函数图象识辨的常用方法函数图象的识辨可从以下方面入手:(1)由函数的定义域判断图象的左右位置;由函数的值域判断
6、图象的上下位置;(2)由函数的单调性判断图象的变化趋势;(3)由函数的奇偶性判断图象的对称性;(4)由函数的周期性识辨图象;(5)由函数的特殊点排除不符合要求的图象.跟踪集训1.(2017课标全国,8,5分)函数y=的部分图象大致为()sin 21 cosxx答案C 易知y=为奇函数,图象关于原点对称,故排除B选项;sin 2sin 120=,cos 1cos 60=,则f(1)=,故排除A选项;f()=0,故排除D选项,故选C.sin 21 cosxx3212sin 21cos13sin 21cos2.(2017贵州适应性考试)某地一年的气温Q(t)(单位:)与时间t(月份)之间的关系如图所
7、示.已知该年的平均气温为10,令C(t)表示时间段0,t的平均气温,下列四个函数图象中,最能表示C(t)与t之间的函数关系的是()答案A 若增加的数大于当前的平均数,则平均数增大;若增加的数小于当前的平均数,则平均数减小.因为12个月的平均气温为10,所以当t=12时,平均气温应该为10,故排除B;因为在靠近12月份时其温度小于10,因此12月份前的一小段时间内的平均气温应该大于10,排除C;6月份以后增加的温度先大于平均值后小于平均值,故平均气温不可能出现先减小后增加的情况,故排除D,故选A.3.设函数f(x)=|x+a|,g(x)=x-1,对于任意的xR,不等式f(x)g(x)恒成立,则实
8、数a的取值范围是 .答案-1,+)解析 如图,要使f(x)g(x)恒成立,则-a1,a-1.考点三 函数性质及其应用 1.函数的单调性:单调性是函数的一个局部性质,一个函数在不同的区间上可以有不同的单调性,判断函数的单调性常用定义法,图象法和导数法.2.函数的奇偶性奇偶性是函数的一个整体性质,判断函数的奇偶性,首先判断函数的定义域是否关于原点对称,然后再判断f(-x)与f(x)的关系,判断函数的奇偶性也可通过函数图象判断,图象关于原点对称的函数为奇函数;图象关于y轴对称的函数为偶函数.3.与函数周期性有关的3条结论(1)若f(x+T)=f(x),则T是f(x)的一个周期;(2)若f(x+T)=
9、,则2T是f(x)的一个周期;(3)若f(x+T)=-,则2T是f(x)的一个周期.1()f x1()f x典型例题 (1)(2017课标全国,5,5分)函数f(x)在(-,+)上单调递减,且为奇函数.若f(1)=-1,则满足-1f(x-2)1的x的取值范围是()A.-2,2 B.-1,1C.0,4 D.1,3(2)(2017山东,14,5分)已知f(x)是定义在R上的偶函数,且f(x+4)=f(x-2).若当x-3,0时,f(x)=6-x,则f(919)=.答案(1)D(2)6解析(1)已知函数f(x)在(-,+)上为单调递减函数,且为奇函数,则f(-1)=-f(1)=1,所以原不等式可化为
10、f(1)f(x-2)f(-1),则-1x-21,即1x3,故选D.(2)由f(x+4)=f(x-2)得f(x+6)=f(x),故f(x)是周期为6的函数.所以f(919)=f(6153+1)=f(1).因为f(x)为R上的偶函数,所以f(1)=f(-1).又x-3,0时,f(x)=6-x,所以f(-1)=6-(-1)=6.从而f(1)=6,故f(919)=6.方法归纳函数三个性质的应用(1)奇偶性:具有奇偶性的函数在关于原点对称的区间上其图象、函数值、解析式和单调性联系密切,研究问题时可转化到只研究部分(一半)区间上.尤其注意偶函数f(x)的性质:f(|x|)=f(x).(2)单调性:可以比较
11、大小,求函数最值,解不等式,证明方程根的唯一性.(3)周期性:利用周期性可以转化函数的解析式、图象和性质,把不在已知区间上的问题,转化到已知区间上求解.跟踪集训 1.(2017湖南长沙四校模拟(二)若f(x)=是R上的奇函数,则实数a的值为()A.0 B.1 C.2 D.3(21)221xxa答案B 函数f(x)是R上的奇函数,f(0)=0,=0,解得a=1.经检验,符合题意.222a 2.(2017四川成都第一次模拟)已知函数f(x)的定义域为R,当x-2,2时,f(x)单调递减,且函数f(x+2)为偶函数.则下列结论正确的是()A.f()f(3)f()B.f()f()f(3)C.f()f(
12、3)f()D.f()f()f(3)2222答案C 因为函数f(x+2)为偶函数,所以函数f(x)的图象关于直线x=2对称,又当x-2,2时,f(x)单调递减,所以当x2,6时,f(x)单调递增,f()=f(4-),因为24-3,所以f()f(3)2时,f(x)=f(x-4),故其周期为4,则f(-2 017)=f(2 017)=f(2 016+1)=f(1)=e.2.(2017河南郑州第二次质量检测)已知函数f(x)=asin x+b+4,若f(lg 3)=3,则f=()A.B.-C.5 D.83 x1lg 31313答案C 由f(lg 3)=asin(lg 3)+b+4=3得asin(lg
13、3)+b=-1,而f=f(-lg 3)=-asin(lg 3)-b+4=-asin(lg 3)+b+4=1+4=5.故选C.3 lg33 lg31lg 33 lg33 lg33.函数y=x3+ln(-x)的图象大致为()21x 答案B 由题意知函数的定义域为R,关于原点对称,令y=f(x),因为f(-x)=(-x)3+ln-(-x)=-x3+ln(+x)=-x3+ln=-x3-ln(-x)=-x3+ln(-x)=-f(x),所以函数y=x3+ln(-x)为奇函数,其图象关于原点对称,排除C,D;当x=1时,y=13+ln(-1)=1+ln(-1)=lne(-1)ln 1=0,排除A;故选B.2()1x21x 211xx 21x 21x 21x 211224.(2017新疆第二次适应性检测)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,当x0时,f(x)=x2,若对任意的xm-2,m,不等式f(x+m)-9f(x)0恒成立,则m的取值范围是 .答案 4,+)解析 依题意得,函数f(x)在R上单调递增,且当xm-2,m时,f(x+m)9f(x)=f(3x),所以x+m3x,x 恒成立,于是有 m-2,解得m4,即实数m的取值范围是4,+).2m2m
