1、考点测试7函数的奇偶性与周期性 高考概览 考纲研读1结合具体函数，了解函数奇偶性的含义2会运用函数图象理解和研究函数的奇偶性3了解函数周期性、最小正周期的含义，会判断、应用简单函数的周期性一、基础小题1若函数f(x)为奇函数，则实数a()A B C D1答案A解析函数f(x)的定义域为xx且xa奇函数定义域关于原点对称a故选A2已知定义在R上的函数f(x)是奇函数，且是以2为周期的周期函数，则f(1)f(4)f(7)()A1 B0 C1 D4答案B解析由题意知f(x)f(x)且f(x2)f(x)，所以f(1)f(4)f(7)f(1)f(0)f(1)0故选B3已知f(x)为奇函数，在3，6上是增
2、函数，且在3，6上的最大值为8，最小值为1，则2f(6)f(3)()A15 B13 C5 D5答案A解析因为函数在3，6上是增函数，所以f(6)8，f(3)1又因为函数为奇函数，所以2f(6)f(3)2f(6)f(3)28115故选A4已知函数f(x)为奇函数，当x0时，f(x)x2x，则当x0时，函数f(x)的最大值为()A B C D答案B解析解法一：设x0，所以f(x)x2x，又函数f(x)为奇函数，所以f(x)f(x)x2x2，所以当x0时，f(x)x2x2，最小值为，因为函数f(x)为奇函数，所以当xf(3) Bf(2)f(5)Cf(3)f(5) Df(3)f(6)答案D解析由yf(
3、x4)为偶函数，得f(x4)f(x4)，则f(2)f(6)，f(3)f(5)，C错误；又f(x)在(4，)上为减函数，则f(5)f(6)，即f(3)f(2)，A错误；f(5)f(2)，B错误；f(3)f(6)，D正确故选D9已知函数yf(x)是定义在R上的偶函数，且在(，0上是增函数，若不等式f(a)f(x)对任意x1，2恒成立，则实数a的取值范围是()A(，1 B1，1C(，2 D2，2答案B解析因为函数f(x)为偶函数，且在(，0上是增函数，所以函数f(x)在0，)上是减函数，则不等式f(a)f(x)对任意x1，2恒成立等价于f(a)f(x)maxf(1)，所以|a|1，解得1a1，即实数
4、a的取值范围为1，1，故选B10已知函数f(x)满足f(xy)f(xy)2f(x)f(y)，且f(0)0，则f(x)()A为奇函数 B为偶函数C为非奇非偶函数 D奇偶性不能确定答案B解析令xy0，则2f(0)2f2(0)，又f(0)0，所以f(0)1令x0，则f(y)f(y)2f(0)f(y)，即f(y)f(y)，所以函数f(x)是偶函数故选B11若f(x)(xa)(x4)为偶函数，则实数a_答案4解析因为f(x)(xa)(x4)为偶函数，所以f(x)f(x)对于任意的x都成立，即(xa)(x4)(xa)(x4)，所以x2(a4)x4ax2(4a)x4a，所以a44a，即a412设函数f(x)
5、x3cosx1若f(a)11，则f(a)_答案9解析记g(x)x3cosx，则g(x)为奇函数，故g(a)g(a)f(a)110，故f(a)g(a)19二、高考小题13(2018全国卷)已知f(x)是定义域为(，)的奇函数，满足f(1x)f(1x)若f(1)2，则f(1)f(2)f(3)f(50)()A50 B0 C2 D50答案C解析因为f(x)是定义域为(，)的奇函数，且f(1x)f(1x)，所以f(1x)f(x1)，所以f(3x)f(x1)f(x1)，所以T4，因此f(1)f(2)f(3)f(50)12f(1)f(2)f(3)f(4)f(1)f(2)，因为f(3)f(1)，f(4)f(2
6、)，所以f(1)f(2)f(3)f(4)0，因为f(2)f(2)f(2)，所以f(2)0，从而f(1)f(2)f(3)f(50)f(1)2，故选C14(2017全国卷)函数f(x)在(，)单调递减，且为奇函数若f(1)1，则满足1f(x2)1的x的取值范围是()A2，2 B1，1C0，4 D1，3答案D解析f(x)为奇函数，f(x)f(x)f(1)1，f(1)f(1)1故由1f(x2)1，得f(1)f(x2)f(1)又f(x)在(，)单调递减，1x21，1x3故选D15(2017天津高考)已知奇函数f(x)在R上是增函数，g(x)xf(x)若ag(log251)，bg(208)，cg(3)，则
7、a，b，c的大小关系为()Aabc BcbaCbac Dbca答案C解析依题意ag(log251)(log251)f(log251)log251f(log251)g(log251)因为奇函数f(x)在R上是增函数，可设0x1x2，则0f(0)f(x1)f(x2)从而x1f(x1)x2f(x2)，即g(x1)g(x2)所以g(x)在(0，)上亦为增函数又log2510，2080，30，且log251log283，208213，而20821log24log251，所以3log2512080，所以cab故选C16(2016山东高考)已知函数f(x)的定义域为R当x时，ff则f(6)()A2 B1 C
8、0 D2答案D解析当x时，由ff，可得当x0时，f(x)f(x1)，所以f(6)f(1)，而f(1)f(1)，f(1)(1)312，所以f(6)f(1)2，故选D17(2018全国卷)已知函数f(x)ln (x)1，f(a)4，则f(a)_答案2解析f(x)f(x)ln (x)1ln (x)1ln (1x2x2)22，f(a)f(a)2，f(a)4，f(a)218(2016江苏高考)设f(x)是定义在R上且周期为2的函数，在区间1，1)上，f(x)其中aR若ff，则f(5a)的值是_答案解析f(x)是周期为2的函数，fff，fff又ff，所以ff，即a，解得a，则f(5a)f(3)f(41)f
9、(1)1三、模拟小题19(2018河南洛阳一模)已知函数yf(x)满足yf(x)和yf(x2)是偶函数，且f(1)，设F(x)f(x)f(x)，则F(3)()A B C D答案B解析由yf(x)和yf(x2)是偶函数知f(x)f(x)，且f(x2)f(x2)，则f(x2)f(x2)，则f(x)f(x4)所以F(3)f(3)f(3)2f(3)2f(1)2f(1)故选B20(2018河北石家庄一模)已知奇函数f(x)在x0时单调递增，且f(1)0，若f(x1)0，则x的取值范围为()Ax|0x2 Bx|x2Cx|x3 Dx|x1答案A解析奇函数f(x)在(0，)上单调递增，且f(1)0，函数f(x
10、)在(，0)上单调递增，且f(1)0，则1x1时，f(x)0；x1或0x1时，f(x)0即1x11，解得0x2，故选A21(2018湖北荆州一模)下列函数是奇函数且在定义域内是增函数的是()Ayex BytanxCyx3x Dyln 答案D解析函数yex不是奇函数，不满足题意；函数ytanx是奇函数，但在整个定义域内不是增函数，不满足题意；函数yx3x是奇函数，当x，时，y3x210，为减函数，不满足题意；函数yln 是奇函数，在定义域(2，2)内，函数t1为增函数，函数yln t也为增函数，故函数yln 在定义域内为增函数，满足题意故选D22(2018山西太原一模)已知定义在R上的函数f(x
11、)满足f(x)f(x)4x22，设g(x)f(x)2x2，若g(x)的最大值和最小值分别为M和m，则Mm()A1 B2 C3 D4答案B解析由g(x)f(x)2x2，得g(x)f(x)2x2，两式相加，可得g(x)g(x)2，故g(x)的图象关于(0，1)对称，其最高点、最低点也关于(0，1)对称，所以Mm2，故选B23(2018湖南祁阳二模)已知偶函数fx，当x，时，f(x)xsinx，设af(1)，bf(2)，cf(3)，则()Aabc BbcaCcba Dcab答案D解析当x，时，ysinx单调递增，yx也为增函数，函数f(x)xsinx也为增函数函数fx为偶函数， fxfx，f(x)的
12、图象关于x对称，f(2)f(2)，f(3)f(3)，0312，f(3)f(1)f(2)，即ca0且a1)是定义域为R的奇函数(1)求k的值；(2)若f(1)，不等式f(3xt)f(2x1)0对x1，1恒成立，求实数t的最小值解(1)f(x)是定义在R上的奇函数，f(0)2k110，解得k1(2)由(1)知f(x)axax，因为f(1)，所以a，解得a或a(舍去)，故f(x)xx，则易知函数yf(x)是R上的减函数，f(3xt)f(2x1)0，f(3xt)f(2x1)，3xt2x1，tx1，即tx1在1，1上恒成立，则t2，即实数t的最小值是22(2018安徽合肥质检)已知函数f(x)是奇函数(
13、1)求实数m的值；(2)若函数f(x)在区间1，a2上单调递增，求实数a的取值范围解(1)设x0，所以f(x)(x)22(x)x22x又f(x)为奇函数，所以f(x)f(x)，于是x0时，f(x)x22xx2mx，所以m2(2)要使f(x)在1，a2上单调递增，结合f(x)的图象(如图所示)知所以10，且a1)(1)求函数f(x)g(x)的定义域；(2)判断函数f(x)g(x)的奇偶性，并予以证明；(3)求使f(x)g(x)0成立的x的集合解(1)由题意得1x1，所求定义域为x|1x1(2)函数f(x)g(x)为奇函数，令H(x)f(x)g(x)，则H(x)loga(x1)loga(1x)lo
14、ga，H(x)logalogaH(x)，函数H(x)f(x)g(x)为奇函数(3)f(x)g(x)loga(x1)loga(1x)loga(1x2)1时，01x21，0x1或1x0当0a1，不等式无解，综上，当a1时，使f(x)g(x)0成立的x的集合为x|0x1或1xxm恒成立，求实数m的取值范围解(1)函数f(x)是奇函数，f(x)f(x)，即loglog，整理得1x21a2x2，a21，解得a1，当a1时，1，不符合题意舍去，a1(2)证明：由(1)可得f(x)log，设x1，x2(1，)，且x1x11，x1x20，0，log，即f(x2)f(x1)f(x)是(1，)上的增函数(3)依题意得mlogx在3，4上恒成立，设u(x)logx，x3，4，由(2)知函数u(x)logx在3，4上单调递增，当x3时，u(x)有最小值，且u(x)minu(3)，所以m故实数m的取值范围为，
