1、巧解反函数问题反函数是中学数学教学的难点，也是中学函数知识体系的重要组成部分。在高考复习中，在理解反函数概念的基础上掌握一些常规方法是不可缺少的。除了通法，为了在考场中节省时间、提高效率，也可活学活用，掌握一点解题技巧。一.利用反函数的概念求函数值例1.若f(2x-1)=x+1，则= 。分析：令x+1=2，则x=1，则2x-1=1即f(1)=2，因此=1.点评：由上解答看出求反函数的解析式是不必要的。充分利用反函数的性质：f(a)=b即可解决此类问题。二.求原函数与其反函数的交点例2.若f(x)=与都过（1，2）点，则f(x)与图象交点的个数为 个。分析：解方程组解得a=-3,b=7，则f(x
2、)=。由f(x)与的图象关于直线y=x对称知f(x)与均过（2，1）点，又因为2条曲线与y=x交点也是同一点，故共有3个交点。点评：函数f(x)与的交点若为（a,b），则点（b,a）也为它们的交点；三. 利用反函数求函数值域.在反函数存在为前提下, 某些函数运用反函数法求函数的值域的确是一种好方法。例3 求函数的值域.分析： 由函数可求得反函数为，其反函数定义域为,从而原函数的值域为点评：反函数的定义域就是原函数的值域。四.利用函数与其反函数的图象的对称性例4.函数f(x)=，y=的单调减区间是 。分析：（1）设u=4-x2，=，令u0，4- x20，得-2x2。当x(-2,0)时，u是增函数
3、，而=为减函数，则是单调递减函数。即（-2，0）。（2）f(x)在定义域内为减函数，由于原函数与其反函数的图象关于y=x对称，单调性不变，则其反函数在定义域内也为减函数；因此只需考虑4- x2的增区间，由复合函数“同增异减”可得4- x2的增区间即为的减区间。解法同上。点评：（1）函数y=f(g(x)，若y=f(x)是递减的，则u=g(x)的增区间就是y=f(g(x)的减区间，u=g(x)的减区间就是y=f(g(x)的增区间；（2）互为反函数的两个函数在对应的区间内的单调性相同（对应区间指原函数的定义域区间对应为反函数的值域区间）。当然，有关反函数的一些常识应该熟悉，例如：1、 f(a)=b。2、 f-1f(x)=x， ff-1(x)=x。3、 y=f-1(x)与y= f(x)的图像关于y=x对称。4、 若点P（a ，b）在y=f-1(x)的图像上，则P1（b，a）在y= f(x)的图像上。5、 原函数在其定义域上的单调性与其反函数在相应定义域上的单调性相同。6、 奇函数的反函数也是奇函数。7、 定义域为非单元素集的偶函数不存在反函数；8、 周期函数不存在反函数。以上只是本人在高三教学中的一点看法。当然学生是学习的“主体”；教师在教学中是“主导”，引导学生主动去探索问题，发现问题，思考问题，解决问题，提高教学效率才是最根本的。此文发表于数学教学通讯2010第7期
