1、高2014级第五期10月阶段性考试数学试题（理）一. 选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1. 已知全集，集合，那么( ) A B C D2. 复数(为虚数单位)所对应复平面内的点在( ) A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限3. 已知是平面内的两条不同直线，直线在平面外，则是的（ ）A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件4.若表示不超过的最大整数，如，执行如图所示的程序框图，记输出的值为，则( )A. -1 B. 0 C. 1 D. 25. 函数的图像向左平移个单位后
2、关于原点对称, 则等于（ ） A. B. C. D. 6. 若等差数列的公差, 前项和为, 若, 都有, 则( ) A. , B. C. D. 7.某公司庆祝活动需从甲、乙、丙等5名志愿者中选2名担任翻译，2名担任向导，还有1名机动人员，为来参加活动的外事人员提供服务，并且翻译和向导都必须有一人选自甲、乙、丙，则不同的选法有 （ ）A B C D8. 已知点在直线上, 点在直线上, 线段的中点为, 且, 则的取值范围是( ) A. B. C. D. 正视侧视俯视9.已知某几何体的三视图如图所示, 三视图是边长为1的等腰直角三角形和边长为1的正方形, 则该几何体的体积为( ) A. B. C.
3、D. 10. 已知函数, 则使得成立的的取值范围是( ) A. B. C. D. 11. 设分别为具有公共焦点的椭圆和双曲线的离心率, 是椭圆和双曲线的一个公共点, 且满足, 则( ) A. B. C. D. 112.在锐角中, 所对边分别为, 且, 则的取值范围为( ) A. B. C. D. 二. 填空题（每小题5分，共20分）13.二项式的展开式的第四项的系数为, 则的值为 .14. 已知正数满足，则的最小值为 .15.过直线上的一点作圆的两条切线， 当直线关于对称时，它们之间的夹角为_.16. 已知函数, , 两个函数图象的公切线恰为3条, 则实数的取值范围为 . 三. 解答题（共70
4、分）17. （12分）已知数列的前项和满足其中(1)求数列的通项公式；（2）设求数列的前项的和。18. （12分）为了解人们对于国家颁布的“房产新政策”的热度，现在某市进行调查，随机抽调了50人，他们年龄的频数分布及支持“房产新政策”人数如下表：年龄频数510151055支持“房产新政策”4512821(1) 由以上统计数据填下面2乘2列联表, 并问是否有99%的把握认为以45岁为分界点对“房产新政策”的支持度有差异；年龄不低于45岁的人数年龄低于45岁的人数合计支持不支持合计(2) 若对年龄在，的被调查人中各随机选取两人进行调查，记选中的4人中不支持“房产新政策”人数为，求随机变量的分布列及
5、数学期望.附表：0.0500.0100.0013.8416.63510.82819. （12分）在如图所示的几何体中, 四边形为正方形, 平面, . (1) 求与平面所成角的正弦值; (2) 在棱上是否存在一点, 使得平面平面? 如果存在, 求的值; 如果不存在, 说明理由.20. （12分）已知椭圆的中心在原点, 焦点在轴上, 离心率为, 椭圆上的点到右焦点的最大距离为3.(1) 求椭圆的标准方程；(2) 斜率存在的直线与椭圆交于两点, 并且满足, 求直线在轴上截距的取值范围.21. （12分）设函数, 其中, 和是实数, 曲线恒与轴相切于坐标原点. (1) 求常数的值； (2)当时，讨论函
6、数的单调性； （3）当时关于的不等式恒成立, 求实数的取值范围. 选做题：请在22、23、24题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分,做答时请写清题号22. （本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图，OAB是等腰三角形，AOB=120.以O为圆心，OA为半径作圆.(1)证明：直线AB与O相切；(2)点C,D在O上，且A,B,C,D四点共圆，证明：ABCD. 23.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系中，以为原点，轴为极轴，单位长度不变，建立极坐标系，直线的的极坐标方程为：，曲线C的参数方程为：.（1）写出直线和曲线的普通方程； （2）若直线和曲线相交于
7、两点，定点，求线段和的值.24.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知不等式的解集与关于的不等式的解集相同.（1）求实数的值；（2）求函数的最大值.高2014级第五期10月阶段性考试数学试题参考答案(理)1.C 2.C. 3. B. 4.A. 5. D. 6.D 7. C. 8.D. 9.A. 10. D 11.A. 12.B 13. 3 14. 15. 16. 17.解: (1) , 当时, , ,当时, , , 得, 即. 又, 对都成立, 所以是等比数列, .(2) , 即.18. 解: (1) 2乘2列联表年龄不低于45岁的人数年龄低于45岁的人数合计支持32不支持18合计10
8、4050.所以没有99%的把握认为以45岁为分界点对“房产新政策”支持度有差异。(2) 所有可能取值有, , , ,所以的期望是.19. 解(1)如图, 建立空间直角坐标系, 则, , , , . 所以, , . 设平面的法向量为. 则, 令, 则, 所以. 设与平面所成的角为, 则. 所以与平面所成角的正弦值是.(2) 假设点存在, 连接, 可设, 则, . 设平面的法向量为, 则, 令, 则, 所以. 因为平面平面, 所以, 即, 所以, 点. 所以.20. 解: (1) 设椭圆的方程为, 半焦距为.依题意, 由椭圆上的点到右焦点的最大距离3, 得, 解得, 所以 , 所以椭圆的标准方程是
9、.(2) 设直线的方程为, 由, 得, 化简得.设, , 则.若成立, 等价于,所以, 即, 则, , 化简得.将代入中, ,解得. 又由, 从而或.所以实数的取值范围是.21. (1) 对求导得: , 根据条件知, 所以. (2) 设 则, , . 单减, 单增, 单减.(3) 由(1)得, , . 当时, 由于, 所以, 于是在上单调递增, 从而, 因此在上单调递增, 即, 而且仅有; 当时, 由, 有, 于是在上单调递减, 即, 而且仅有; 当时, 令, 当时, , 于是在上单调递减, 从而, 因此在上单调递减, 即， 而且仅有，综上可知, 所求实数的取值范围是.22：（）设是的中点，连结，因为，所以，在中，即到直线的距离等于O半径，所以直线与相切（）因为，所以不是四点所在圆的圆心，设是四点所在圆的圆心，作直线由已知得在线段的垂直平分线上，又在线段的垂直平分线上，所以同理可证，所以23. (1) (2),24. 解: （1）（2）由柯西不等式得：.当且仅当时等号成立，即时，.所以函数的最大值为.
