1、高三数学模拟试题一一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。)1. (文)设集全AxZ|0x5，Bx|x，kA，则集合AB( )A0，1，2B0，1，2，3C0，1，3DB(理)已知，则2的取值范围是( )A.(，)B.(，)C.(，)D.(0，)2. 在空间，下列命题正确的是( )若两直线a、b分别与直线l平行，则ab。若直线a与平面内的一条直线b平行，则a。若直线a与平面内的两条直线b、c都垂直，则a。若平面内的一条直线a垂直平面，则。(A)(B)(C)(D)3. 直线l的方程为ykx1，双曲线C的方程为x2y21，若l与C的右
2、支相交于不重合的两点，则实数k的取值范围是( )(A)(，)(B)(1，)(C)，)(D)1，)4. 在正三棱柱ABCA1B1C1中，M为A1B1的中点，侧棱长与底面边长均为a，则点M到BC的距离为( )(A)a(B)a(C)a(D)a5. 已知点P为抛物线2x2y10上的动点，点A的坐标为(0，1)，点M在直线PA上，且点M分的比为2，则点M的轨迹方程为( )(A)18x23y10(B)18y23x10(C)9x23y10(D)3x2y106. 在一个正方体的一个面所在平面内，任意画一条直线，则与这条直线异面的正方体的棱的条数为A.4或5或6或7B.4或6或7或8C.6或7或8D.4或5或6
3、7. 若集合A1、A2满足A1A2A，则称(A1，A2)为集合A的一种分拆，并规定：当且仅当A1A2时，(A1，A2)与(A2，A1)为集合A的同一种分拆，则集合Aa1，a2，a3的不同分拆种数是( )(A)27(B)26(C)9(D)88. 直线axbyc0(abc0)与直线pxqym0(pqm0)关于y轴对称的充要条件是A.B.C.D.9. 四面体的顶点和各棱的中点共10个点，在其中取4个点，则这四个点不共面的概率为( )(A)(B)(C)(D)10. 将抛物线y4x2绕着焦点逆时针方向旋转90后所得的抛物线的准线方程为( )(A)x2(B)y2(C)x(D)x11. 如图，用5种不同的颜
4、色着色，相邻部分不能用同一种颜色，但同一种颜色可以反复使用，则所有不同的着方法有( )种。(A)540 (B)180 (C)270 (D)13512. 在等式1左边的两个括号中填入两个正整数，试的这两个正整数的和最小，则这个最小值为( )A.10 B.14 C.16D.20二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中横线上。)13. 圆x2y21上的点到直线3x4y250距离的最小值为_。14. (文)设(1xx2)na0a1xa2x2a2nx2n，则a0a2a4a2n_。(理)定义运算adbc，那么满足条件32i的复数z_15. 由方程|x6|y|所围成的图形的面积是_.
5、16. 、是两个不同的平面，m，n是不在与内的两条不同直线，给出四个论断：mn；n；m。以其中三个论断作为条件，余下一个论断作为结论，写出你认为正确的一个命题：( )( )( ) ( )。(填序号)三、解答题(本大题共6小题，共74分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。)17. (本题满分12分)某班数学兴趣小组有男生和女生各3名，现从中任选2名学生去参加数学竞赛. 求：（1）恰有一名参赛学生是男生的概率；（2）至少有一名参赛学生是男生的概率；（3）至多有一名参赛学生是男生的概率. 18. (本题满分12分)已知向量(sinx，2)，(2sinx，)，(cos2x，1)，(1，2)，又二
6、次函数f(x)的开口向上，其对称轴为x1，当x0，时，求使不等式f()f()成立的x的范围.19. 通过研究学生的学习行为，心理学家发现，学生接受能力依赖于老师引入概念和描述问题所用的时间，讲座开始时，学生的兴趣激增，中间有一段不太长的时间，学生的兴趣保持理想的状态，随后学生的注意力开始分散.分析结果和实验表明，用f(x)表示学生掌握和接受概念的能力(f(x)的值越大，表示接受能力越强)，x表示提出和讲授概念的时间(单位：分)，可以有以下公式：f(x)(1)开讲多少分钟后，学生的接受能力最强？能维持多少分钟？(2)开讲5分钟与开讲20分钟比较，学生的接受能力何时强一些？(3)一个数学难题，需要
7、55的接受能力以及13分钟的时间，老师能否及时在学生一直达到所需接受能力的状态下讲授完这个难题？PNCBMAD20. (本题满分12分)如图，在二面角l中，A、B，C、Dl，ABCD为矩形，P，PA，且PAAD，M、N依次是AB、PC的中点.求二面角l的大小；求证：MN是异面直线AB、PC的公垂线；求异面直线PA与MN所成角的大小.21. (本小题满分12分)函数y2x33(12a)x212ax1在x处取极小值，x处取极大值，且2. (1)求a； (2)求函数的极大值与极小值的和.22. (本题满分14分)已知双曲线的一个焦点为F1(，0)，且渐近线为yx。过点A(2，1)的直线l与该双曲线交
8、于P1、P2两点。(1)求线段P1P2的中点P的轨迹方程；(2)过点B(1，1)能否作直线l，使l与已知双曲线交于两点Q1、Q2，且B是线段Q1Q2的中点？请说明理由。参考答案1 (文)A A0，1，2，3，4，5，于是B0，1，2，AB0，1，2.选A(理)解：由已知：，则点(,)在坐标平面内的可行域如图所示记z2，它是斜率为2的直线系且在轴上的截距为z；从图中不难得到取值范围为(，).2 C 是公理四，正确；中，直线a可能在平面内，错误；中，若b、c是平行直线，则无法判定；是面面垂直的判定定理，正确；故选C3 B l过定点(0，1)，与右支相切时，k而l与右支有一个与两个公共点的分界处为l
9、与渐近线yx平行，即k1时，故k(1，)是满足条件.选BA1C1B1CABMNR4 D 如图，作MNAB于N，再作NRBC于R，连结MR，有三垂线定理可得MRBC即MR为所求M点到BC的距离MNa，且N是AB中点，故NRa故MRa.选D法二：取A1C1中点P，连结BM、MP、PC可以证明BCPM为等腰梯形，所求距离即为梯形的高.(以下略)5 A 设M(x，y)，P(x0，y0)，则2x02y010 且x，y故x03x，y03y2代入式得：2(3x)2(3y2)10化简得：18x23y10.选A6 B A BA BD CD CA BA BD CD CA BA BD CD CA BA BD CD
10、C解：有下面的四个图形所表示的四种情况可知答案选B 4条 6条 7条 8条7 A 由于A1A2A，不妨设全集为A，则元素a1，a2，a3每一个可能出现在A1(AA2)，或(AA1)A2，或(AA1)(AA2)中的某一个，且只出现在其中一个因此每个元素有三种不同的位置可能，三个元素共有3327种可能对应着27种不同的分拆种数.选A8 D 直线axbyc0关于y轴对称的直线方程为axbyc0该方程与pxqym0表示的直线重合，对应系数成比例，选D9 D 10个点中任取4个的所有可能种数为C210种，其中四点共面的情况有：同一表面的6个点，任取4点都共面，共有4C60种；一条棱上三点与相对棱的中点共
11、面，有6种情况；6条棱的6个中点中，四点共面的情况有3种.以上4点共面的情况共计69种，故不共面情况共141种，概率为.选D10 C 将抛物线写成标准形式：x2y，故焦点为(0，)，开口向上，绕焦点逆时针旋转90后，顶点从原点旋转到(，)，开口向左，准线方程为x.选C11 A 不妨就按照A、B、C、D、E的顺序着色，依次有5、4、3、3、3种方法共计54333540种.选A12 C 满足条件的一种填法是1，可以验证在所有满足条件的填法中，41216最小本题的代数背景是：已知x、y是正实数(或正整数)，且1，求xy的最小值.同学们可以利用重要不等式或函数的思想来解决它.13 圆心(0，0)到直线
12、3x4y250的距离为d5，且圆的半径为1故圆上的点到直线的最小距离为51412 xy04 63314 (文)原式中令x1，得a0a1a2an3n， 再令x1得a0a1a2a2n1两式相加得：2(a0a2a4a2n)3n1故a0a2a4a2n(理)由题意：2ziz32i于是(2i1)z32iz15 解：当x0时，得|y|6，无解当0x6时，得|y|6，为两条线段当x6时，得|y|6，为两条线段围成的图形如图，面积为24.16 或17 （1）恰有一名男生的概率为4分 （2）至少有一名男生的概率为8分 （3）至多有一名男生的概率为12分18 依题意有，当x1时，f(x)是增函数(sinx，2)(2
13、sinx，)2sin2x11 (cos2x，1)(1，2)cos2x21f()f() f(2sin2x1)f(cos2x2) 6分 2sin2x1cos2x2 1cos2x1cos2x2 cos2x00x x即为所求 12分19 解：(1)当0x10时，f(x)0.1x22.6x430.1(x13)259.9故f(x)在0x10时递增，最大值为f(10)0.1(1013)259.959当10x16时，f(x)59当x16时，f(x)为减函数，且f(x)59因此，开讲10分钟后，学生达到最强接受能力(为59)，能维持6分钟时间. 4分(2)f(5)0.1(513)259.953.5 f(20)3
14、201074753.5故开讲5分钟时学生的接受能力比开讲20分钟时要强一些. 7分(3)当0x10时，令f(x)55，解得x6或20(舍) 当x16时，令f(x)55，解得x17因此学生达到(含超过)55的接受能力的时间为1761113(分)老师来不及在学生一直达到所需接受能力的状态下讲授完这个难题. 12分20 解：连接PD，由三垂线定理可得：PDl，即PDA为所求二面角的平面角又PAAD，PA，PAAD，PAD是等腰直角三角形，PDA45 4分证法一：取CD中点E，连接ME、NE，则MEAD，NEPD，由有PDCD于是有MECD，且NECD CD面MNE，又MN面MNE MNCD MNAB
15、又PAADBC，M是AB中点故PA2AM2BC2BM2，即PMCM，所以PMC是等腰三角形而N是PC中点，所以MNPC.故MN是异面直线AB、PC的公垂线 9分证法二：取PD中点F，连接NF、AF，则NFDCAB且FNAM由知CD面PDA， 四边形AMNF是矩形，PNCBMADEF MNAM，即MNAB同时有MNCD又PAAD，F是PD中点，故AFPD，即MNPD所以MN面PCD MNPC故MN是异面直线AB、PC的公垂线 9分证法三：连接PM、CM，在PAM和BCM中可得PMCM又N是PC中点， MNPC取PD中点F，由知，PAD是等腰直角三角形， AFPD，又NFDCAB且FNAM， 四边
16、形AMNF是平行四边形 MNPD MN面PCD MNCD MNAB故MN是异面直线AB、PC的公垂线 9分证法四：以DA、AB、AP为x、y、z轴建立空间直角坐标系，并设PAAD2a，AB2b则P(0，0，2a)，M(0，b，0)，B(0，2b，0)，C(2a，2b，0)，N(a，b，a)(a，0，a)，(0，2b，0)，(2a，2b，2a)可得：0，0故MNAB，MNPC.故MN是异面直线AB、PC的公垂线 9分(3)证法一：由(2)证法二知：MNAF，故PAF为所求PA与MN所成的角而在RtPAD中，PAAD，F是PD中点，故PADF45即PA与MN所成的角为45. 12分证法二：(0，0
17、，2a)，(a，0，a)cos故向量与所成角为即异面直线AP与MN所成角为. 12分21 (1)y6x26(12a)x12a6(x1)(x2a)2分由y0，得x1或x2a 3分若1，2a，则122a，a此时，y6(x1)20，不存在极值； 5分若2a，1，则(2a)21得a或a(舍)当a时，x(，1)，y0；x(1，1)，y0；x(1，)，y0满足题设条件综合，a 7分(2)由(I)知1，1，y极小5，y极大310分所以y极小y极大2 12分22 (1)双曲线的方程为x21 3分设P1、P2的坐标分别为(x1，y1)、(x2，y2)，中点P(x，y)则x121 x221 得，2(x1x2)(x1x2)(y1y2)(y1y2)当x1x2，y0时， 5分P1、P2、P、A四点共线 由、得，即2x2y24xy0 7分当x1x2时，x2，y0满足此方程。中点P的轨迹方程是 2x2y24xy0 9分(2)假设存在直线l，同(1)可得l的斜率为2，l的方程为y2x1.11分无解，与假设矛盾，满足条件的直线l不存在。 14分
