1、黑龙江省实验中学2020-2021学年高二数学上学期期末考试试题 理考试时间：120分钟 总分：150分 卷（选择题 共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1已知点，则直线的倾斜角为（ ）A30B45C120D1352设，则“”是“”的（ ）条件A充分不必要B必要不充分C充要D既不充分也不必要3已知椭圆上任意一点到两焦点的距离之和为6，且椭圆的离心率为，则椭圆方程为（ ）ABCD4已知直线与圆心为的圆相切，则圆的方程为（ ）ABCD5已知双曲线的焦点在轴上，焦距为，且一条渐近线方程为，则双曲线的标准方程是（ ）ABCD6已知正三角形ABC的顶点A(1,1)，B(1,3)
2、，顶点C在第一象限，若点（x，y）在ABC内部，则z=x+y的取值范围是（ ）A(1，2)B(0，2)C(1，2)D(0，1+)7抛物线上一点到其焦点的距离为6，则点M到y轴的距离为（ ）A B6C4 D8一动点C在曲线x2+y21上移动时，它和定点B(3，0)连线的中点P的轨迹方程是（ ）A(x+3)2+y2 =4B(x-3)2+y2 =1C(x+)2+y2=1 D(2x3)2 +4y2 =19已知O为坐标原点，点F是双曲线的右焦点，过点F且倾斜角为的直线与双曲线C在第一象限交于点P，若为正三角形，则双曲线C的离心率为（ ）A BCD10若过椭圆内一点的弦被该点平分，则该弦所在直线方程为（
3、）ABCD11三棱锥SABC的各顶点均在球O的球面上，SC为该球的直径，ACBC2，ACB120，且三棱锥SABC的体积为2，则球O的半径为（ ）A BCD312设分别是椭圆的左、右焦点，若在直线上存在点P，使线段的中垂线过点，则椭圆离心率的取值范围是（ ）ABC D卷（非选择题 共90分）二、 填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13命题“”的否定是_14若双曲线C经过点(2，2)，且与双曲线具有相同渐近线，则双曲线C的标准方程为 15已知直线yax与圆C：x2y26y60相交于A，B两点，C为圆心.若ABC为等边三角形，则a的值为_.16已知过抛物线焦点的直线交抛物线于，两点，交
4、圆于，两点，其中，位于第一象限，则的最小值为_三、解答题（本大题共6题，共70分）17（本小题满分10分）已知在平面直角坐标系中，直线的参数方程为为参数），曲线的方程为，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系（1）求直线和曲线的极坐标系方程；（2）曲线分别交直线和曲线于，求的最大值18.（本小题满分12分）如图，在直三棱柱中，为的中点.（1）证明：平面；（2）求直线与平面所成角的正弦值.19.（本小题满分12分）已知抛物线过焦点且平行于轴的弦长为2.点，直线与交于两点.（1）求抛物线的方程；（2）若不平行于轴，且(为坐标原点)，证明：直线过定点.20.（本小题满分12分）如图，四棱锥的
5、底面为矩形，是四棱锥的高，与平面PAD所成角为45，是的中点，E是BC上的动点（1）证明：PEAF；（2）若BC=2AB，PE与AB所成角的余弦值为，求二面角D-PE-B的余弦值21.（本小题满分12分）在平面直角坐标系中以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，直线的参数方程为（为参数），其中，直线与曲线相交于、两点.（1）求曲线的直角坐标方程；（2）若点满足，求的值.22.（本小题满分12分）已知椭圆的左右焦点分别是离心率为，点P为椭圆上的一个动点，面积的最大值为.（）求椭圆的方程；（）若是椭圆上不重合的四个点，与相交于，求的最小值.高二数学期末理科一、单选题1已
6、知点，则直线的倾斜角为（ ）A30B45C120D1352设，则“”是“”的（ ）条件A充分不必要B必要不充分C充要D既不充分也不必要3已知椭圆上任意一点到两焦点的距离之和为6，且椭圆的离心率为，则椭圆方程为（ ）ABCD4已知直线与圆心为的圆相切，则圆的方程为（ ）ABCD5已知双曲线的焦点在轴上，焦距为，且一条渐近线方程为，则双曲线的标准方程是（ ）ABCD6已知正三角形ABC的顶点A(1,1)，B(1,3)，顶点C在第一象限，若点（x，y）在ABC内部，则z=x+y的取值范围是A(1，2)B(0，2)C(1，2)D(0，1+)7抛物线上一点到其焦点的距离为6，则点M到y轴的距离为AB6C
7、4D8一动点C在曲线x2+y21上移动时，它和定点B(3，0)连线的中点P的轨迹方程是（ ）A(x+3)2+y2 =4B(x-3)2+y2 =1C(x+)2+y2=1 D(2x3)2 +4y2 =19已知O为坐标原点，点F是双曲线的右焦点，过点F且倾斜角为的直线与双曲线C在第一象限交于点P，若为正三角形，则双曲线C的离心率为（ ）ABCD10若过椭圆内一点的弦被该点平分，则该弦所在直线方程为（ ）ABCD11三棱锥SABC的各顶点均在球O的球面上，SC为该球的直径，ACBC2，ACB120，且三棱锥SABC的体积为2，则球O的半径为（ ）ABCD312设分别是椭圆的左、右焦点，若在直线上存在点
8、P，使线段的中垂线过点，则椭圆离心率的取值范围是（ ）ABC D二、填空题13命题“”的否定是_14若双曲线C经过点(2，2)，且与双曲线具有相同渐近线，则双曲线C的标准方程为 15已知直线yax与圆C：x2y26y60相交于A，B两点，C为圆心.若ABC为等边三角形，则a的值为_.16已知过抛物线焦点的直线交抛物线于，两点，交圆于，两点，其中，位于第一象限，则的最小值为_三、解答题17已知在平面直角坐标系中，直线的参数方程为为参数），曲线的方程为，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系（1）求直线和曲线的极坐标系方程；（2）曲线分别交直线和曲线于，求的最大值18如图，在直三棱柱中，为
9、的中点. （1）证明：平面；（2）求直线与平面所成角的正弦值. 19已知抛物线过焦点且平行于轴的弦长为2.点，直线与交于两点.（1）求抛物线的方程；（2）若不平行于轴，且(为坐标原点)，证明：直线过定点.20如图，四棱锥的底面为矩形，是四棱锥的高，与平面PAD所成角为45，是的中点，E是BC上的动点 （1）证明：PEAF；（2）若BC=2AB，PE与AB所成角的余弦值为，求二面角D-PE-B的余弦值21在平面直角坐标系中以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，直线的参数方程为（为参数），其中，直线与曲线相交于、两点.（1）求曲线的直角坐标方程；（2）若点满足，求的值
10、.22已知椭圆的左右焦点分别是离心率为，点P为椭圆上的一个动点，面积的最大值为.（）求椭圆的方程；（）若是椭圆上不重合的四个点，与相交于，求的最小值.答案1C【分析】先根据斜率公式得，进而根据斜率与倾斜角的关系直线的倾斜角为.2A，则，即，充分的，反之时，若，则不成立，不必要故应是充分不必要条件 3B解：由题意得：，则，又离心率，所以，所以椭圆的方程为：，故选：B4B由于直线与圆相切，则圆的半径，因此，圆的方程为.故选：B.5C设双曲线的标准方程为，由已知条件可得，解得，因此，该双曲线的标准方程为.故选：C.6A【解析】试题分析：作出可行域如图中阴影部分所示，由题知C（，2），作出直线：，平移
11、直线，由图知，直线过C时，=1，过B（0,2）时，=3-1=2，故z的取值范围为（1，2），故选C. 考点：简单线性规划解法，数形结合思想 7C由抛物线定义知，点到抛物线准线的距离为点到轴的距离为：本题正确选项：8D解：设中点，则动点，因为点在圆上，所以，即故选：D9C如图所示，设双曲线的左焦点为，若为正三角形，且，则易得又，则，所以，根据双曲线的定义可知：，所以离心率.故选：C 10A点差法：设交点为,则,故选：A.11A如图所示， 因为，可得的面积为，设的外接圆为圆，连接，则平面，作圆的直径，连接，因为分别为的中点，则，所以平面，所以三棱锥的体积为，解得，由正弦定理，可得，设球的半径为，则
12、，解得.故选：A. 12D由中垂线的性质可知，即，即，又因为 所以.故选：D1314【解析】试题分析：由题意设双曲线C的标准方程为，又过点(2，2)，所以15根据题意，圆C：x2y26y60即x2(y3)23，其圆心为(0，3)，半径r，直线yax与圆C：x2y26y60相交于A，B两点，若ABC为等边三角形，则圆心C到直线yax的距离，则有，解得.故答案为：.16圆可化为，圆心坐标为，半径为，抛物线的焦点，可设直线的方程为，设， 由，得，所以，又，所以，因为，所以，当且仅当时，等号成立.所以的最小值为.故答案为：17【答案】（1）；（2）.（1）由题可知直线的普通方程为，直线的极坐标方程为曲
13、线的普通方程为，因为，所以的极坐标方程为（2）直线的极坐标方程为，令，则，所以又，所以，因为，则的最大值为18（1）见解析 （2）（1）连接交于点，连接，因为四边形是矩形，所以点是的中点，又点为的中点，所以是的中位线，所以.因为平面，平面，所以平面. （2）由，可得，分别以，为轴、轴、轴建立如图所示的空间直角坐标系，则有，所以，设直线与平面所成角为，平面的法向量为，则，即，令，得，所以 .19已知抛物线过焦点且平行于轴的弦长为2.点，直线与交于两点.（1）求抛物线的方程；（2）若不平行于轴，且(为坐标原点)，证明：直线过定点.19（1）；（2）（1）抛物线过焦点且平行于轴的弦长为2，即，故抛物
14、线方程为：.（2）易知直线斜率存在，设，则，故，.，即，即，故，化简整理得到：，故.满足，故直线过定点.20（1）见解析；（2）【详解】（1）建立如图所示空间直角坐标系设，则，于是， 则，所以 （2）设则,若，则由得， 设平面的法向量为， 由，得：，于是，而设二面角D-PE-B为，则为钝角所以，21【答案】（1）；（2）解：（1）曲线的极坐标方程为，所以曲线的直角坐标方程是；（2）点在直线：（为参数）上，且恰好是直线所过的定点，将（为参数）代入，整理得，因为，又，令则有，即，又，所以，解得或（舍去）22()；().（I），解得椭圆的方程：=1 （II）（1）当AC，BD中有一条直线斜率为0，另一条斜率不存在时，=14 （2）当AC斜率k存在且时，AC：与椭圆联立，同理可求，=综上，的最小值（此时）
