1、第二章 圆锥曲线与方程 章末综合提升 巩 固 层 知 识 整 合 提 升 层 题 型 探 究 圆锥曲线的定义及应用【例1】(1)已知动点M的坐标满足方程5x2y2|3x4y12|，则动点M的轨迹是()A椭圆 B双曲线C抛物线D以上都不对(2)已知双曲线C的离心率为2，左、右焦点分别为F1，F2，点A在C上若|F1A|2|F2A|，则cosAF2F1()A13B14C 23D 24(1)C(2)B(1)把轨迹方程5 x2y2|3x4y12|写成 x2y2|3x4y12|5 动点M到原点的距离与它到直线3x4y120的距离相等点M的轨迹是以原点为焦点，直线3x4y120为准线的抛物线(2)由 ec
2、a2，得 c2a，如图，由双曲线的定义得|F1A|F2A|2a，又|F1A|2|F2A|，故|F1A|4a，|F2A|2a又|F1F2|2c4a，所 以 cosAF2F1|AF2|2|F1F2|2|AF1|22|AF2|F1F2|4a216a216a222a4a14故选 B“回归定义”解题的三点应用 应用一：在求轨迹方程时，若所求轨迹符合某种圆锥曲线的定义，则根据圆锥曲线的定义，写出所求的轨迹方程；应用二：涉及椭圆、双曲线上的点与两个定点构成的三角形问题时，常用定义结合解三角形的知识来解决；应用三：在求有关抛物线的最值问题时，常利用定义把到焦点的距离转化为到准线的距离，结合几何图形，利用几何意
3、义去解决.提醒：应用定义解题时注意圆锥曲线定义中的限制条件.跟进训练1已知双曲线：x2a2y2b21(a0，b0)的左、右焦点分别为F1，F2，焦距为2c，直线y3(xc)与双曲线的一个交点M满足MF1F22MF2F1，则双曲线的离心率为()A 2B 3C2D 31D 直线y 3(xc)过左焦点F1(c,0)，由于其斜率为 3，tanMF1F2 3，MF1F260 又MF1F22MF2F1，MF2MF1且|MF1|12|F1F2|c，|MF2|3c由双曲线定义得，|MF2|MF1|3cc2a，双曲线的离心率eca231 31圆锥曲线的方程【例2】(1)已知椭圆与双曲线 y24 x212 1的焦
4、点相同，且它们的离心率的乘积等于85，则此椭圆的方程为()Ax29y2251Bx225y291Cx25y21Dx2y251(2)已知过抛物线y22px(p0)的焦点F的直线交抛物线于点A，B，交其准线于点C，若|BC|2|BF|(其中B位于A，C之间)，且|AF|4，则抛物线的方程为()Ay28xBy24xCy26xDy22x(1)A(2)B(1)因为双曲线的焦点为(0，4)，(0,4)，离心率为e1422，所以椭圆的离心率e285245 设椭圆的标准方程为y2a2x2b21(ab0)，则ca45，c4，a2b2c2，解得a5，b3，所以椭圆的方程为y225x291故选A(2)如图，过A，B分
5、别作AD，BE垂直于抛物线的准线，垂足为D，E，G为准线与x轴的交点，由抛物线的定义，得|BF|BE|，|AF|AD|4 因为|BC|2|BF|，所以|BC|2|BE|，则在RtBCE中，BCE30，所以|AC|2|AD|8，所以|CF|844，所以|GF|CF|2 2，即p|GF|2，所以抛物线的方程为y24x求圆锥曲线方程的一般步骤,一般求已知曲线类型的曲线方程问题，可采用“先定形，后定式，再定量”的步骤.1定形指的是二次曲线的焦点位置与对称轴的位置.2定式根据“形”设方程的形式，注意曲线系方程的应用，如当椭圆的焦点不确定在哪个坐标轴上时，可设方程为mx2ny21m0，n0.3定量由题设中
6、的条件找到“式”中待定系数的等量关系，通过解方程得到量的大小.跟进训练2(1)以x轴为对称轴，通径长为8，顶点为坐标原点的抛物线方程是()Ay28xBy28xCy28x或y28xDx28y或x28yC 由题意知2p8，故选C(2)焦点在x轴上，右焦点到短轴端点的距离为2，到左顶点的距离为3的椭圆的标准方程是()Ax24y231Bx24y21Cy24x231Dx2y241A 依题意，得a2，ac3，故c1，b 2212 3，故所求椭圆的标准方程是x24y231圆锥曲线的几何性质【例 3】(1)如图所示，F1，F2 是椭圆 C1：x24y21 与双曲线C2 的公共焦点，A，B 分别是 C1，C2
7、在第二、四象限的公共点若四边形 AF1BF2 为矩形，则 C2 的离心率是()A 2 B 3C32D 62(2)已知 ab0，椭圆 C1 的方程为x2a2y2b21，双曲线 C2 的方程为x2a2y2b21，C1 与 C2 的离心率之积为 32，则 C2 的渐近线方程为_思路探究：(1)由椭圆可求出|AF1|AF2|，由矩形求出|AF1|2|AF2|2，再求出|AF2|AF1|即可求出双曲线方程中的a，进而求得双曲线的离心率(2)根据离心率的关系列出关于a，b的方程，求出 ba，再求渐近线方程(1)D(2)x 2y0(1)由椭圆可知|AF1|AF2|4，|F1F2|2 3因为四边形 AF1BF
8、2 为矩形，所以|AF1|2|AF2|2|F1F2|212，所以 2|AF1|AF2|(|AF1|AF2|)2(|AF1|2|AF2|2)16124，所以(|AF2|AF1|)2|AF1|2|AF2|22|AF1|AF2|1248，所以|AF2|AF1|2 2，因此对于双曲线有 a 2，c 3，所以 C2 的离心率 eca 62 (2)设椭圆C1和双曲线C2的离心率分别为e1和e2，则e1a2b2a，e2 a2b2a因为e1e2 32，所以 a4b4a2 32，即ba414，所以ba 22 故双曲线的渐近线方程为ybax 22 x，即x 2y0求解离心率的三种方法 1定义法：由椭圆双曲线的标准
9、方程可知，不论椭圆双曲线的焦点在x轴上还是y轴上都有关系式a2b2c2a2b2c2以及eca，已知其中的任意两个参数，可以求其他的参数，这是基本且常用的方法.2方程法：建立参数a与c之间的齐次关系式，从而求出其离心率，这是求离心率的十分重要的思路及方法.3几何法：求与过焦点的三角形有关的离心率问题，根据平面几何性质以及椭圆双曲线的定义、几何性质，建立参数之间的关系，通过画出图形，观察线段之间的关系，使问题更形象、直观.跟进训练3已知椭圆 x2a2 y2b2 1(ab0)的半焦距是c，A，B分别是长轴、短轴的一个端点，O为原点，若ABO的面积是3 c2，则这一椭圆的离心率是()A12 B 32C
10、 22D 33A 12 ab3 c2，即a2(a2c2)12c4，所以(a23c2)(a24c2)0，所以a24c2，a2c，故eca12直线与圆锥曲线的位置关系【例4】已知椭圆x2a2y2b21(ab0)经过点(0，3)，离心率为12，左、右焦点分别为F1(c,0)，F2(c,0)(1)求椭圆的方程；(2)若直线l：y 12 xm与椭圆交于A，B两点，与以F1F2为直径的圆交于C，D两点，且满足|AB|CD|5 34，求直线l的方程思路探究：(1)利用定义解题(2)利用勾股定理和弦长公式来解 解(1)由题设知b 3，ca12，b2a2c2，解得a2，b 3，c1，椭圆的方程为x24y231(
11、2)由(1)知，以F1F2为直径的圆的方程为x2y21，圆心到直线l的距离d2|m|5，由d1得|m|0直线与椭圆相交；0直线与双曲线相交，但直线与双曲线相交不一定有0，如当直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线相交且只有一个交点，故0是直线与双曲线相交的充分不必要条件；0直线与抛物线相交，但直线与抛物线相交不一定有0，当直线与抛物线的对称轴平行时，直线与抛物线相交且只有一个交点，故0也仅是直线与抛物线相交的充分条件，而不是必要条件.2相切：0直线与椭圆相切；0直线与双曲线相切；0直线与抛物线相切.3相离：0直线与椭圆相离；0直线与双曲线相离；0直线与抛物线相离.跟进训练4已知椭圆E：x2a
12、2y2b21(ab0)，其焦点为F1，F2，离心率为 22，直线l：x2y20与x轴，y轴分别交于点A，B(1)若点A是椭圆E的一个顶点，求椭圆的方程；(2)若线段AB上存在点P满足|PF1|PF2|2a，求a的取值范围解(1)由椭圆的离心率为 22，得a 2c，由A(2,0)，得a2，c 2，b 2，椭圆方程为x24y221(2)由e 22，设椭圆方程为x2a22y2a2 1，联立x2a22y2a2 1，x2y20，得6y28y4a20，若线段AB上存在点P满足|PF1|PF2|2a，则线段AB与椭圆E有公共点，等价于方程6y28y4a20在y0,1上有解 设f(y)6y28y4a2，0，f00，即a243，4a20，43a24，故a的取值范围是2 33，2 Thank you for watching!
