1、第二章 圆锥曲线与方程 2.4 抛物线2.4.1 抛物线及其标准方程学 习 目 标核 心 素 养 1掌握抛物线的定义及焦点、准线的概念(重点)2掌握抛物线的标准方程及其推导过程(易错点)3明确p的几何意义，并能解决简单的求抛物线标准方程问题(难点)1通过抛物线定义的学习，培养数学抽象核心素养2通过抛物线定义及标准方程的应用，培养学生的直观想象、数学建模等核心素养自 主 预 习 探 新 知 1抛物线的定义 平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)距离相等的点的轨迹叫做点F叫做抛物线的，直线l叫做抛物线的抛物线焦点准线思考1：抛物线的定义中，若点F在直线l上，那么点的轨迹是什么？提示 点的
2、轨迹是过点F且垂直于直线l的直线 2抛物线的标准方程 图形标准方程焦点坐标准线方程_ _ y22px(p0)Fp2，0 xp2y22px(p0)Fp2，0 xp2_ _ x22py(p0)F0，p2yp2x22py(p0)F0，p2yp2思考 2：(1)抛物线方程中 p(p0)的几何意义是什么？(2)根据抛物线方程如何确定焦点的位置？提示(1)p 的几何意义是焦点到准线的距离(2)根据抛物线方程中一次式2px，2py 来确定焦点位置，“x，y”表示焦点在 x 轴或 y 轴上，系数“2p”的正负确定焦点在坐标轴的正半轴或负半轴上1抛物线 x28y0 的焦点坐标是()A(0,2)B(0，2)C(0
3、,4)D(0，4)B 抛物线x28y的焦点在y轴的负半轴上，且 p2 2，因此焦点坐标是(0，2)2抛物线y28x的焦点到准线的距离是()A1 B2 C4 D8C 由y28x得p4，即焦点到准线的距离为43抛物线 x4y2 的准线方程是()Ay12By1Cx 116Dx18C 由 x4y2 得 y214x，故准线方程为 x 1164抛物线 y212x 上与焦点的距离等于 9 的点的坐标是_(6,6 2)或(6，6 2)由 y212x 知 p6，准线方程为 x3，设抛物线上点 P(x，y)，由抛物线定义可知x39，x6，将 x6 代入 y212x，得 y6 2，所以满足条件的点为(6,6 2)或
4、(6，6 2)合 作 探 究 释 疑 难 求抛物线的标准方程【例 1】根据下列条件分别求出抛物线的标准方程：(1)准线方程为 y23；(2)焦点在 y 轴上，焦点到准线的距离为 5；(3)经过点(3，1)；(4)焦点为直线 3x4y120 与坐标轴的交点思路探究：(1)(2)(3)(4)写出焦点坐标 解(1)因为抛物线的准线交 y 轴于正半轴，且p223，则 p43，所以所求抛物线的标准方程为 x283y(2)已知抛物线的焦点在 y 轴上，可设方程为 x22my(m0)，由焦点到准线的距离为 5，知|m|5，m5，所以满足条件的抛物线有两条，它们的标准方程分别为 x210y 和 x210y(3
5、)点(3，1)在第三象限，设所求抛物线的标准方程为 y22px(p0)或 x22py(p0)若抛物线的标准方程为 y22px(p0)，则由(1)22p(3)，解得 p16；若抛物线的标准方程为 x22py(p0)，则由(3)22p(1)，解得 p92 所求抛物线的标准方程为 y213x 或 x29y(4)对于直线方程 3x4y120，令 x0，得 y3；令 y0，得 x4，抛物线的焦点为(0，3)或(4,0)当焦点为(0，3)时，p23，p6，此时抛物线的标准方程为 x212y；当焦点为(4,0)时，p24，p8，此时抛物线的标准方程为 y216x 所求抛物线的标准方程为 x212y 或 y2
6、16x 1用待定系数法求抛物线标准方程的步骤2求抛物线的标准方程时需注意的三个问题(1)把握开口方向与方程间的对应关系(2)当抛物线的类型没有确定时，可设方程为y2mx或x2ny，这样可以减少讨论情况的个数(3)注意p与p2的几何意义跟进训练1若抛物线y22px(p0)的焦点是椭圆 x23p y2p 1的一个焦点，则p()A2 B3C4D8答案 D抛物线的定义的应用【例2】(1)已知抛物线的顶点在原点，焦点在y轴上，抛物线上一点M(m，3)到焦点的距离为5，求m的值、抛物线方程和准线方程；(2)已知抛物线y24x的焦点是F，点P是抛物线上的动点，对于定点A(4,2)，求|PA|PF|的最小值，
7、并求出取最小值时的P点坐标；(3)已知动圆M与直线y2相切，且与定圆C：x2(y3)21外切，求动圆圆心M的轨迹方程思路探究：(1)利用抛物线定义先求抛物线的方程，再求m和准线方程(2)利用抛物线的定义，把|PF|转化为到准线的距离(3)利用|MC|的长度比点M到直线y2的距离大1求解 解(1)设所求抛物线方程为x22py(p0)，由p235得p4，因此抛物线方程为x28y，其准线方程为y2，由m224得m2 6(2)如图，作PNl于N(l为准线)，作ABl于B，则|PA|PF|PA|PN|AB|，当且仅当P为AB与抛物线的交点时，取等号(|PA|PF|)min|AB|415 此时yP2，代入
8、抛物线得xP1，P(1,2)(3)设动圆圆心为M(x，y)，半径为r，则由题意可得M到圆心C(0，3)的距离与直线y3的距离相等 由抛物线的定义可知：动圆圆心的轨迹是以C(0，3)为焦点，以y3为准线的一条抛物线，其方程为x212y 抛物线定义的两种应用 1实现距离转化.根据抛物线的定义，抛物线上任意一点到焦点的距离等于它到准线的距离，因此，由抛物线定义可以实现点点距与点线距的相互转化，从而简化某些问题.2解决最值问题.在抛物线中求解与焦点有关的两点间距离和的最小值时，往往用抛物线的定义进行转化，即化折线为直线解决最值问题.跟进训练2(1)已知点P是抛物线y22x上的一个动点，则点P到点A(0
9、,2)的距离与P到该抛物线准线的距离之和的最小值为()A 172 B3C 5D92A 由抛物线的定义可知，抛物线上的点到准线的距离等于到焦点的距离由图可得，点P到准线x12的距离d|PF|，易知点A(0,2)在抛物线y22x的外部，连接AF，交y22x于点P，欲使所求距离之和最小，只需A，P，F共线，其最小值为|AF|0122202 172(2)若位于y轴右侧的动点M到F12，0 的距离比它到y轴的距离大12求点M的轨迹方程解 由于位于y轴右侧的动点M到F12，0 的距离比它到y轴的距离大12，所以动点M到F12，0 的距离与它到直线l：x 12 的距离相等由抛物线的定义知动点M的轨迹是以F为
10、焦点，l为准线的抛物线(不包含原点)，其方程应为y22px(p0)的形式，而 p2 12，所以p1,2p2，故点M的轨迹方程为y22x(x0)抛物线的实际应用 探究问题已知抛物线，如何建系，才能使抛物线方程为标准方程？提示 以抛物线的顶点为坐标原点，以抛物线的对称轴为坐标轴建系【例3】河上有抛物线型拱桥，当水面距拱顶5米时，水面宽为8米，一小船宽4米，高2米，载货后船露出水面上的部分高 34 米，问水面上涨到与抛物线拱顶相距多少米时，小船开始不能通航？思路探究：建系设方程解方程求出相关量 解决问题 解 如图，建立坐标系，设拱桥抛物线方程为x22py(p0)，由题意，将B(4，5)代入方程得p
11、85，抛物线方程为x2165 y 当船的两侧和拱桥接触时船不能通航 设此时船面宽为AA，则A(2，yA)，由22165 yA，得yA54 又知船露出水面上部分为 34 米，设水面与抛物线拱顶相距为h，则h|yA|34 2(米)，即水面上涨到距抛物线拱顶2米时，小船不能通航 求抛物线实际应用的五个步骤 1建立适当的坐标系.2设出合适的抛物线标准方程.3通过计算求出抛物线的标准方程.4求出需要求出的量.5还原到实际问题中，从而解决实际问题.跟进训练3某大桥在涨水时有最大跨度的中央桥孔，已知上部呈抛物线型，跨度为20米，拱顶距水面6米，桥墩高出水面4米现有一货船欲过此孔，该货船水下宽度不超过18米，
12、目前吃水线上部中央船体高5米，宽16米，且该货船在现有状况下还可多装1 000吨货物，但每多装150吨货物，船体吃水线就要上升004米若不考虑水下深度，问：该货船在现在状况下能否直接或设法通过该桥孔？为什么？解 如图所示，以拱顶为原点，过拱顶的水平直线为x轴，竖直直线为y轴，建立直角坐标系 因为拱顶距水面6米，桥墩高出水面4米，所以A(10，2)设桥孔上部抛物线方程是x22py(p0)，则1022p(2)，所以p25，所以抛物线方程为 x250y，即 y 150 x2 若货船沿正中央航行，船宽 16 米，而当 x8 时，y 150821.28，即船体在 x8 之间通过，B(8，1.28)，此时
13、 B 点距水面 6(128)4.72(米)而船体高为 5 米，所以无法通行 又因为 54.72028(米)，0.280.047，15071 050(吨)，所以若船通过增加货物通过桥孔，则要增加 1 050 吨，而船最多还能装 1 000 吨货物，所以货船在现在状况下不能通过桥孔课 堂 小 结 提 素 养 1焦点在x轴上的抛物线，其标准方程可以统设为y2mx(m0)，此时焦点为Fm4，0，准线方程为xm4；焦点在y轴上的抛物线，其标准方程可以统设为x2my(m0)，此时焦点为F0，m4，准线方程为ym42设M是抛物线上一点，焦点为F，则线段MF叫做抛物线的焦半径若M(x0，y0)在抛物线y22p
14、x(p0)上，则根据抛物线的定义，抛物线上的点到焦点的距离和到准线的距离可以相互转化，所以焦半径|MF|x0p23对于抛物线上的点，利用定义可以把其到焦点的距离转化为到准线的距离，也可以把其到准线的距离转化为到焦点的距离，因此可以解决有关距离的最值问题1已知抛物线C：y2x的焦点为F，A(x0，y0)是C上一点，|AF|54x0，则x0等于()A1 B2C4D8A 14x054x0，x012已知抛物线ymx2(m0)的焦点与椭圆4y29 x22 1的一个焦点重合，则m的值为_12 将抛物线ymx2(m0)的方程化为标准方程是x2 1m y，所以其焦点是0，14m，因为抛物线ymx2(m0)的焦
15、点与椭圆4y29 x22 1的一个焦点重合，因此94214m2，解得m123已知抛物线y22px(p0)的焦点F1，若点A(2，4)在抛物线上，则点A到焦点的距离为_4 把点(2，4)代入抛物线y22px，得164p，即p4，从而抛物线的焦点为(2,0)故点A到焦点的距离为44求顶点在原点，对称轴是坐标轴，且焦点在直线3x5y360上的抛物线方程解 因为焦点在直线3x5y360上，且抛物线的顶点在原点，对称轴是坐标轴，所以焦点A的坐标为(12,0)或0，365 设抛物线方程为y22px(p0)，求得p24，所以此抛物线方程为y248x；设抛物线方程为x22py(p0)，求得p725，所以此抛物线方程为x21445 y 综上所求抛物线方程为y248x或x21445 y点击右图进入 课 时 分 层 作 业 Thank you for watching!
