1、2016年四川省德阳市高考数学三诊试卷（理科）一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分）1设集合A=x|x2+x60，B=x|x0，则ARB=（）Ax|0x2Bx|3x2Cx|6x0Dx|x02已知a，bR，且a1+（b+2）i=0i为虚数单位，则复数（a+bi）2在复平面内对应的点位于（）A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限3ABC的三个内角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，则asinAsinB+bcos2A=a是b=a的（）A充分不必要条件B充分必要条件C必要不充分条件D既不充分也不必要条件4在（x）5的展开式中x3的系数等于5，则该展开式中二项式系数最大的项的系数为（）A2
2、0B10C10，10D105已知P是圆（x1）2+y2=1上异于坐标原点O的任意一点，直线OP的倾斜角为，若|OP|=d，则函数d=f（）的大致图象是（）ABCD6一个几何体的三视图如图所示，则它的体积为（）ABC20D407若函数f（x）=3sinxcosx（xR）的图象向右平移个单位后与原图象重合，则正数的最小值为（）ABCD8若ABC是半径为的圆O的内接三角形，3+4+5=，则为（）A1B1C6D69设抛物线y2=2x的焦点为F，过点M（，0）的直线与抛物线相交于A、B两点，与抛物线的准线相交于点C，|BF|=2，则BCF与ACF的面积之比=（）ABCD10已知函数f（x）=x|xa|+
3、2x若存在a3，3，使得关于x的方程f（x）=tf（a）有三个不相等的实数根，则实数t的取值范围是（）ABCD二、填空题（共5小题，每小题5分，满分25分）11对任意非零实数a，b，若ab的运算原理如图所示，则（log2）（）2=_12已知双曲线C1：=1（a0，b0）的焦距是实轴长的2倍若抛物线C2：x2=2py（p0）的焦点到双曲线C1的渐近线的距离为2，则抛物线C2的方程为_13古代“五行”学说认为：“物质分金、木、土、水、火五种属性，金克木，木克土，土克水，水克火，火克金、”将五种不同属性的物质任意排成一列，设事件A表示“排列中属性相克的两种物质不相邻”，则事件A出现的概率是_（结果用
4、数值表示）14若x，y满足约束条件目标函数z=ax+2y仅在点（1，0）处取得最小值，则a的取值范围是_15已知有限集A=a1，a2，a3，an（n2）如果A中元素ai（i=1，2，3，n）满足a1a2an=a1+a2+an，就称A为“复活集”，给出下列结论：集合， 是“复活集”；若a1，a2R，且a1，a2是“复活集”，则a1a24；若a1，a2N*则a1，a2不可能是“复活集”；若aiN*，则“复合集”A有且只有一个，且n=3其中正确的结论是_（填上你认为所有正确的结论序号）三、解答题（共6小题，满分75分）16已知数列an的前n项和是Sn，且2Sn+an=2（nN+）（1）求数列an的通
5、项公式；（2）设bn=log3（1Sn+1）（nN+），求+17某学校为了选拔学生参加“XX市中学生知识竞赛”，先在本校进行选拔测试（满分150分），若该校有100名学生参加选拔测试，并根据选拔测试成绩作出如图所示的频率分布直方图（）根据频率分布直方图，估算这100名学生参加选拔测试的平均成绩；（）若通过学校选拔测试的学生将代表学校参加市知识竞赛，知识竞赛分为初赛和复赛，初赛中每人最多有5次答题机会，累计答对3题或答错3题即终止，答对3题者方可参加复赛假设参赛者甲答对每一个题的概率都是，求甲在初赛中答题个数的分布列和数学期望18已知向量=（cosx+sinx，1），=（sinx，），函数f（x
6、）=（1）求函数f（x）的最小周期T及单调递增区间；（2）已知a，b，c分别ABC内角A，B，C的对边a=2，c=4，且f（A）是函数f（x）在0，上的最大值，求ABC的面积S19如图，已知边长为6的菱形ABCD，ABC=120，AC与BD相交于O，将菱形ABCD沿对角线AC折起，使BD=3（1）若M是BC的中点，求证：在三棱锥DABC中，直线OM与平面ABD平行；（2）求二面角ABDO的余弦值；（3）在三棱锥DABC中，设点N是BD上的一个动点，试确定N点的位置，使得CN=420设椭圆E： =1（ab0）的右焦点到直线xy+2=0的距离为3，且过点（1，）（1）求E的方程；（2）设椭圆E的左
7、顶点是A，直线l：xmyt=0与椭圆E相交于不同的两点M，N（M，N均与A不重合），且以MN为直径的圆过点A，试判断直线l是否过定点，若过定点，求出该定点的坐标21已知函数f（x）=ex（1）若f（x）在0，+）上是增函数，求实数a的取值范围；（2）证明：当a1时，f（x）x+1；（3）对于在（0，1）中的任一个实数a，试探究是否存在x0，使得f（x）x+1成立？如果存在，请求出符合条件的一个x；如果不存在，请说明理由2016年四川省德阳市高考数学三诊试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分）1设集合A=x|x2+x60，B=x|x0，则ARB=（）Ax|0
8、x2Bx|3x2Cx|6x0Dx|x0【考点】交、并、补集的混合运算【分析】先解出集合A，再求ARB即可【解答】解：集合A=x|x2+x60=x|3x2，B=x|x0，RB=x|x0，ARB=x|0x2故选A2已知a，bR，且a1+（b+2）i=0i为虚数单位，则复数（a+bi）2在复平面内对应的点位于（）A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限【考点】复数的代数表示法及其几何意义【分析】利用复数的运算法则、几何意义即可得出【解答】解：a，bR，且a1+（b+2）i=0，解得a=1，b=2则复数（a+bi）2=（12i）2=34i在复平面内对应的点（3，4）位于第三象限故选：C3ABC的三个内
9、角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，则asinAsinB+bcos2A=a是b=a的（）A充分不必要条件B充分必要条件C必要不充分条件D既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断【分析】利用正弦定理、同角三角函数基本关系式、简易逻辑的判定方法即可判断出关系【解答】解：ABC中，asinAsinB+bcos2A=asinAsinAsinB+sinBcos2A=sinAsinB=sinAb=aasinAsinB+bcos2A=a是b=a的充要条件故选：B4在（x）5的展开式中x3的系数等于5，则该展开式中二项式系数最大的项的系数为（）A20B10C10，10D10【考点】二
10、项式定理的应用【分析】利用通项公式根据x3的系数等于5a=5求得a的值，可得该展开式中二项式系数最大的项的系数【解答】解：在（x）5的展开式中，通项公式为 Tr+1=（a）rx52r，令52r=3，求得r=1，可得x3的系数等于5a=5，a=1，则该展开式中二项式系数最大的项的系数为=10，故选：D5已知P是圆（x1）2+y2=1上异于坐标原点O的任意一点，直线OP的倾斜角为，若|OP|=d，则函数d=f（）的大致图象是（）ABCD【考点】圆的标准方程【分析】分两种情况考虑，当直线OP过第一象限与当直线OP过第四象限，画出函数图象，即可得到结果【解答】解：当直线OP过第一象限时，得到d=f（）
11、=2cos（0），当直线OP过第四象限时，得到d=f（）=2cos（）=2cos（），图象如图所示，故选：D6一个几何体的三视图如图所示，则它的体积为（）ABC20D40【考点】由三视图求面积、体积【分析】几何体是四棱锥，根据三视图判断相关几何量的数据，把数据代入棱锥的体积公式计算【解答】解：由三视图知：该几何体是四棱锥，如图：其中SA平面ABCD，SA=4，四边形ABCD为直角梯形，ADBC，AB=AD=4，BC=1几何体的体积V=（1+4）44=故选：B7若函数f（x）=3sinxcosx（xR）的图象向右平移个单位后与原图象重合，则正数的最小值为（）ABCD【考点】函数y=Asin（x+
12、）的图象变换【分析】由条件利用诱导公式、y=Asin（x+）的图象变换规律，可得=2k，kZ，由此求得正数的最小值【解答】解：函数f（x）=3sinxcosx=32sin（x+）（xR）的图象向右平移个单位后，所得图象对应的函数的解析式为y=32sin（x）+=32sin（x+），所得图象与原图象重合，=2k，kZ，=，则正数的最小值为，故选：A8若ABC是半径为的圆O的内接三角形，3+4+5=，则为（）A1B1C6D6【考点】平面向量数量积的运算【分析】把已知向量等式3+4+5=变形，两边平方后可得，再由=（），展开后得答案【解答】解：3+4+5=，5=（3+4），即，则=（）=（3+4）（
13、）=故选：B9设抛物线y2=2x的焦点为F，过点M（，0）的直线与抛物线相交于A、B两点，与抛物线的准线相交于点C，|BF|=2，则BCF与ACF的面积之比=（）ABCD【考点】抛物线的应用；抛物线的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题【分析】根据=，进而根据两三角形相似，推断出=，根据抛物线的定义求得=，根据|BF|的值求得B的坐标，进而利用两点式求得直线的方程，把x=代入，即可求得A的坐标，进而求得的值，则三角形的面积之比可得【解答】解：如图过B作准线l：x=的垂线，垂足分别为A1，B1，=，又B1BCA1AC、=，由拋物线定义=由|BF|=|BB1|=2知xB=，yB=，AB：y0=（x）
14、把x=代入上式，求得yA=2，xA=2，|AF|=|AA1|=故=故选A10已知函数f（x）=x|xa|+2x若存在a3，3，使得关于x的方程f（x）=tf（a）有三个不相等的实数根，则实数t的取值范围是（）ABCD【考点】根的存在性及根的个数判断【分析】当2a2时，f（x）在R上是增函数，则关于x的方程f（x）=tf（a）不可能有三个不等的实数根；当a（2，3时和当a3，2）时，等价转化f（x）的表达式，利用函数的单调性能得到实数t的取值范围【解答】解：当2a2时，f（x）在R上是增函数，则关于x的方程f（x）=tf（a）不可能有三个不等的实数根，则当a（2，3时，由f（x）=，得xa时，f
15、（x）=x2+（2a）x，对称轴x=a，则f（x）在xa，+）为增函数，此时f（x）的值域为f（a），+）=2a，+），xa时，f（x）=x2+（2+a）x，对称轴x=a，则f（x）在x（，为增函数，此时f（x）的值域为（，f（x）在x，a）为减函数，此时f（x）的值域为（2a，；由存在a（2，3，方程f（x）=tf（a）=2ta有三个不相等的实根，则2ta（2a，），即存在a（2，3，使得t（1，）即可，令g（a）=（a+4），只要使t（g（a）max即可，而g（a）在a（2，3上是增函数，（g（a）max=g（3）=，故实数t的取值范围为（1，）；同理可求当a3，2）时，t的取值范围为（1
16、，）；综上所述，实数t的取值范围为（1，）故选B二、填空题（共5小题，每小题5分，满分25分）11对任意非零实数a，b，若ab的运算原理如图所示，则（log2）（）2=3【考点】程序框图【分析】先分别求出 log2与（）2的值，然后比较大小，选择下一步执行的语句，代入计算即可得解【解答】解：log2=3，（）2=9，39，执行输出，则（log2）（）2=3故答案为：312已知双曲线C1：=1（a0，b0）的焦距是实轴长的2倍若抛物线C2：x2=2py（p0）的焦点到双曲线C1的渐近线的距离为2，则抛物线C2的方程为x2=16y【考点】双曲线的简单性质【分析】利用双曲线C1：=1（a0，b0）的
17、焦距是实轴长的2倍，推出a，b的关系，求出抛物线的焦点坐标，通过点到直线的距离求出p，即可得到抛物线的方程【解答】解：双曲线C1：=1（a0，b0）的焦距是实轴长的2倍，c=2a，即=4，=3，双曲线的一条渐近线方程为：bxay=0抛物线C2：x2=2py（p0）的焦点（0，）到双曲线C1的渐近线的距离为2，2=，=3，p=8抛物线C2的方程为x2=16y故答案为：x2=16y13古代“五行”学说认为：“物质分金、木、土、水、火五种属性，金克木，木克土，土克水，水克火，火克金、”将五种不同属性的物质任意排成一列，设事件A表示“排列中属性相克的两种物质不相邻”，则事件A出现的概率是（结果用数值表
18、示）【考点】等可能事件的概率【分析】本题是一个古典概型，把五个元素全排列有A55种方法，题目要求排列中属性相克的两种物质不相邻，所以当左边的位置排定后（例如：金），第二位（除去金本身）只有“土、水”两种属性第二位排定后，其他三种属性也确定，故有C51C21，【解答】解：如下排列，金、土、火、木、水当左边的位置排定后（例如：金），第二位（除去金本身）只有“土、水”两种属性第二位排定后，其他三种属性也确定故有C51C21=10，所以事件A出现的概率是=，故答案为：14若x，y满足约束条件目标函数z=ax+2y仅在点（1，0）处取得最小值，则a的取值范围是（4，2）【考点】简单线性规划的应用【分析】
19、先根据约束条件画出可行域，设z=ax+2y，再利用z的几何意义求最值，只需利用直线之间的斜率间的关系，求出何时直线z=ax+2y过可行域内的点（1，0）处取得最小值，从而得到a的取值范围即可【解答】解：可行域为ABC，如图，当a=0时，显然成立当a0时，直线ax+2yz=0的斜率k=kAC=1，a2当a0时，k=kAB=2a4综合得4a2，故答案为：（4，2）15已知有限集A=a1，a2，a3，an（n2）如果A中元素ai（i=1，2，3，n）满足a1a2an=a1+a2+an，就称A为“复活集”，给出下列结论：集合， 是“复活集”；若a1，a2R，且a1，a2是“复活集”，则a1a24；若a
20、1，a2N*则a1，a2不可能是“复活集”；若aiN*，则“复合集”A有且只有一个，且n=3其中正确的结论是（填上你认为所有正确的结论序号）【考点】元素与集合关系的判断【分析】根据已知中“复活集”的定义，结合韦达定理及反证法，逐一判断四个结论的正误，进而可得答案【解答】解：=+=1，故是正确的；不妨设a1+a2=a1a2=t，则由韦达定理知a1，a2是一元二次方程x2tx+t=0的两个根，由0，可得t0，或t4，故错；不妨设A中a1a2a3an，由a1a2an=a1+a2+annan，得a1a2an1n，当n=2时，即有a12，a1=1，于是1+a2=a2，a2无解，即不存在满足条件的“复活集
21、”A，故正确当n=3时，a1a23，故只能a1=1，a2=2，求得a3=3，于是“复活集”A只有一个，为1，2，3当n4时，由a1a2an1123（n1），即有n（n1）!，也就是说“复活集”A存在的必要条件是n（n1）!，事实上，（n1）!（n1）（n2）=n23n+2=（n2）22+n2，矛盾，当n4时不存在复活集A，故正确故答案为：三、解答题（共6小题，满分75分）16已知数列an的前n项和是Sn，且2Sn+an=2（nN+）（1）求数列an的通项公式；（2）设bn=log3（1Sn+1）（nN+），求+【考点】数列递推式；数列的求和【分析】（1）由2Sn+an=2（nN+）可得n=1时
22、，3a1=2，解得a1=；n2时，2Sn1+an1=2，可得2an+anan1=0，利用等比数列的通项公式即可得出（2）由（1）可得：Sn=可得：bn=log3（1Sn+1）=n1，因此=即可得出【解答】解：（1）2Sn+an=2（nN+）n=1时，3a1=2，解得a1=；n2时，2Sn1+an1=2，可得2an+anan1=0，解得，数列an是等比数列，首项为，公比为，可得：an=2（2）由（1）可得： =bn=log3（1Sn+1）=n1，=+=+=17某学校为了选拔学生参加“XX市中学生知识竞赛”，先在本校进行选拔测试（满分150分），若该校有100名学生参加选拔测试，并根据选拔测试成绩
23、作出如图所示的频率分布直方图（）根据频率分布直方图，估算这100名学生参加选拔测试的平均成绩；（）若通过学校选拔测试的学生将代表学校参加市知识竞赛，知识竞赛分为初赛和复赛，初赛中每人最多有5次答题机会，累计答对3题或答错3题即终止，答对3题者方可参加复赛假设参赛者甲答对每一个题的概率都是，求甲在初赛中答题个数的分布列和数学期望【考点】离散型随机变量的期望与方差；频率分布直方图【分析】（）利用频率分布直方图能求出这100名测试学生的平均成绩（）由题设条件求出甲答对每一道题的概率，可能取得值为3，4，5，由此能求出的分布列和数学期望【解答】解析：（）设平均成绩的估计值为，则： =80.4（）记甲在
24、初赛中的答题个数为随机变量，这的可能值为3，4，5，则的分布列为345p所以数学期望18已知向量=（cosx+sinx，1），=（sinx，），函数f（x）=（1）求函数f（x）的最小周期T及单调递增区间；（2）已知a，b，c分别ABC内角A，B，C的对边a=2，c=4，且f（A）是函数f（x）在0，上的最大值，求ABC的面积S【考点】三角函数中的恒等变换应用；平面向量数量积的运算【分析】（1）由向量的点乘运算，得到f（x）的解析式，由三角函数公式化简后得到最小正周期与递增区间（2）由x的范围，得到f（x）的最大值，得A，由此得到三角形面积【解答】解：（1）向量=（cosx+sinx，1），=
25、（sinx，），函数f（x）=f（x）=cosxsinx+sin2x+=+sin2x+，=sin2xcos2x+2，=sin（2x）+2，函数f（x）的最小周期T=由2k2x2k+，kZ，得：kxk+，f（x）的单调递增区间为k，k+，kZ（2）由（1）知，f（x）=sin（2x）+2，当x0，时，2x，当2x=，即x=时，f（x）取得最大值3，f（A）=3，得A=，由余弦定理得：a2=b2+c22bccosA，可得：12=b2+164b，b=2，ABC的面积S=bcsinA=219如图，已知边长为6的菱形ABCD，ABC=120，AC与BD相交于O，将菱形ABCD沿对角线AC折起，使BD=3
26、（1）若M是BC的中点，求证：在三棱锥DABC中，直线OM与平面ABD平行；（2）求二面角ABDO的余弦值；（3）在三棱锥DABC中，设点N是BD上的一个动点，试确定N点的位置，使得CN=4【考点】空间向量的数量积运算；点、线、面间的距离计算【分析】（1）推导出OM是ABC的中位线，OMAB，由此能证明OM平面ABD（2）由题意知OB=OD=3，OBOD，OBOD，OBAC，ODAC，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角ABDO的余弦值（3）设N（x1，y1，z1），从而N（0，3，33），=（3，3，33），由CN=4，能求出N点坐标【解答】证明：（1）点O是菱形ABCD的对角线的交点
27、，O是AC的中点，又点M是棱BC的中点，OM是ABC的中位线，OMAB，OM平面ABD，AB平面ABD，OM平面ABD解：（2）由题意知OB=OD=3，BD=3，BOD=90，OBOD，又BD=3，BOD=90，OBOD，又菱形ABCD，OBAC，ODAC，建立空间直角坐标系，则A（3，0，0），D（0，3，0），B（0，0，3），=（3，0，3），=（3，3，0），设平面ABD的法向量为=（x，y，z），则，取x=1，得=（1，），ACOB，ACOD，OBOD=O，AC平面BOD，平面BOD的一个法向量=（3，0，0），cos=，二面角ABDO的平面角是锐角，二面角ABDO的余弦值为（3）设
28、N（x1，y1，z1），N是线段BD上的一个动点，设，即（x1，y1，z13）=（0，3，3），x1=0，y1=3，z1=33，N（0，3，33），=（3，3，33），CN=4，=4，整理，得：929+2=0，解得或，N（0，1，2）或N（0，2，1）20设椭圆E： =1（ab0）的右焦点到直线xy+2=0的距离为3，且过点（1，）（1）求E的方程；（2）设椭圆E的左顶点是A，直线l：xmyt=0与椭圆E相交于不同的两点M，N（M，N均与A不重合），且以MN为直径的圆过点A，试判断直线l是否过定点，若过定点，求出该定点的坐标【考点】椭圆的简单性质【分析】（1）设右焦点为F（c，0），由=3，解
29、得c=，a2=b2+2又=1，联立解得即可得出椭圆E的标准方程（2）由xmyt=0，可得x=my+t，代入椭圆方程可得：（m2+2）y2+2mty+t24=0，设M（x1，y1），N（x2，y2），以MN为直径的圆过点A，k可得=x1x2+2（x1+x2）+4+y1y2=0，把根与系数的关系代入即可得出【解答】解：（1）设右焦点为F（c，0），则=3，解得c=，a2=b2+2又=1，联立解得b2=2，a2=4，椭圆E的标准方程为： =1（2）由xmyt=0，可得x=my+t，代入椭圆方程可得：（m2+2）y2+2mty+t24=0，=4m2t24（m2+2）（t24），设M（x1，y1），N（
30、x2，y2），则y1+y2=，y1y2=，故x1+x2=m（y1+y2）+2t=，x1x2=（my1+t）（my2+t）=m2y1y2+mt（y1+y2）+t2=由以MN为直径的圆过点A，=（x1+2，y1）（x2+2，y2）=x1x2+2（x1+x2）+4+y1y2=+2+4+=0，M，N均与A不重合，t2，解得t=因此直线l的方程为：xmy+=0，因此直线l经过定点T，由于定点在椭圆的内部，因此满足0，直线l经过定点T21已知函数f（x）=ex（1）若f（x）在0，+）上是增函数，求实数a的取值范围；（2）证明：当a1时，f（x）x+1；（3）对于在（0，1）中的任一个实数a，试探究是否存
31、在x0，使得f（x）x+1成立？如果存在，请求出符合条件的一个x；如果不存在，请说明理由【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用；利用导数研究函数的单调性【分析】（1）求出函数的导函数，可知f在0，+）上恒成立，对a进行分类讨论即可；（2）整理不等式，对x进行分区间讨论，根据导函数判断函数的单调性，分别证明结论成立；（3）假设存在x0，使得f（x）x+1成立，整理不等式得存在x0， x2+10成立，故只需左式的最小值0，构造函数，利用导函数求出函数的最小值即可【解答】解：（1）f（x）=ex，x在0，+）上，f（x）=ex（x2ax+1），由题意知f（x）=ex（x2ax+1）0在0，+）上恒
32、成立，当a=0时，显然成立，满足题意，当a0时，x2ax+10，0，02a0+10，a0，故a的范围为a0；（2）当x0时，要证明f（x）x+1成立，只需证1x2+，令g（x）=x2+，g（x）=ax=x（a），x0，a1，g（x）=ax=x（a）0，g（x）在（0，+）上为增函数，故g（x）g（0）=10，得证；当x0时，要证明f（x）x+1成立，只需证1x2e2a+（x+1）ex，令m（x）=x2e2a+（x+1）ex，m（x）=xe2xex+a（x1），显然ex+a（x1）为增函数，ex+a（x1）1a0，m（x）0，m（x）在（，0）上为减函数，故m（x）m（0）=10，得证；（3）假设存在x0，使得f（x）x+1成立，存在x0， x2+10成立，令t（x）=， x2+1，即只需t（x）的最小值0，t（x）=x（a），当x在（0，lna）时，t（x）0，t（x）递减，当x在（lna，+）时，t（x）0，t（x）递增，t（x）的最小值为t（lna）=（lna）2+a（lna+1）1，只需证（lna）2+a（lna+1）10在0a1恒成立，令p（a）=（lna）2+a（lna+1）1，p（a）=（lna）20，p（a）递增，p（a）p（1）=0，得证，故存在x0，使得f（x）x+1成立，x=lna（0a1）2016年9月14日
