1、第 2 课时 参数方程1参数方程和普通方程的互化(1)曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式一般地，可以通过消去参数从参数方程得到普通方程(2)一般地，在取定的坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标(x，y)都是某个变数 t 的函数xft，ygt，并且对于 t 取的每一个允许值，由方程组所确定的点 P(x，y)都在这条曲线上，那么方程组就叫作这条曲线的参数方程，联系 x，y 之间关系的变数 t 叫作参变数，简称参数相对于参数方程，我们把直接用坐标(x，y)表示的曲线方程 f(x，y)0 叫作曲线的普通方程2常见曲线的参数方程和普通方程点的轨迹普通方程参数方程直线yy0tan(xx0)xx0t
2、cos，yy0tsin(t 为参数)圆x2y2r2xrcos，yrsin(为参数)椭圆x2a2y2b21(ab0)xacos，ybsin(为参数)双曲线x2ay2b21(a0，b0)xasec，ybtan(为参数)1直线 l 的参数方程为x1t，y23t(t 为参数)，求直线 l 的斜率解 将直线 l 的参数方程化为普通方程为y23(x1)，因此直线 l 的斜率为3.2已知直线 l1：x12t，y2kt(t 为参数)与直线 l2：xs，y12s(s 为参数)垂直，求 k 的值解 直线 l1 的方程为 yk2x4k2，斜率为k2；直线 l2 的方程为 y2x1，斜率为2.l1 与 l2 垂直，(
3、k2)(2)1k1.3已知点 P(3，m)在以点 F 为焦点的抛物线x4t2，y4t(t 为参数)上，求|PF|的值解 将抛物线的参数方程化为普通方程为 y24x，则焦点 F(1,0)，准线方程为 x1，又 P(3，m)在抛物线上，由抛物线的定义知|PF|3(1)4.4(2016北京东城区模拟)已知曲线 C 的极坐标方程是 1，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为 x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线 l 的参数方程是x14t，y3t(t 为参数)，求直线 l 与曲线 C 相交所截的弦长解 曲线 C 的直角坐标方程为 x2y21，直线 l 的普通方程为 3x4y30.圆心到直线的距离 d|
4、30403|324235.直线 l 与曲线 C 相交所截的弦长为 2135285.题型一 参数方程与普通方程的互化例 1(1)如图，以过原点的直线的倾斜角 为参数，求圆 x2y2x0 的参数方程(2)在平面直角坐标系中，已知直线 l 的参数方程为x1s，y1s(s 为参数)，曲线 C 的参数方程为xt2，yt2(t 为参数)，若 l 与 C 相交于 A，B 两点，求|AB|的长解(1)圆的半径为12，记圆心为 C(12，0)，连接 CP，则PCx2，故 xP1212cos 2cos2，yP12sin 2sin cos(为参数)所以圆的参数方程为xcos2，ysin cos (为参数)(2)直线
5、 l 的普通方程为 xy2，曲线 C 的普通方程为 y(x2)2(y0)，联立两方程得 x23x20，求得两交点坐标为(1,1)，(2,0)，所以|AB|2.思维升华 消去参数的方法一般有三种：(1)利用解方程的技巧求出参数的表示式，然后代入消去参数；(2)利用三角恒等式消去参数；(3)根据参数方程本身的结构特征，灵活的选用一些方法从整体上消去参数将参数方程化为普通方程时，要注意防止变量 x 和 y 取值范围的扩大或缩小，必须根据参数的取值范围，确定函数 f(t)和 g(t)的值域，即 x 和 y 的取值范围(1)求直线x2t，y1t(t 为参数)与曲线x3cos，y3sin(为参数)的交点个
6、数(2)在平面直角坐标系 xOy 中，若直线 l：xt，yta(t 为参数)过椭圆 C：x3cos，y2sin(为参数)的右顶点，求常数 a 的值解(1)将x2t，y1t 消去参数 t 得直线 xy10；将x3cos，y3sin 消去参数 得圆 x2y29.又圆心(0,0)到直线 xy10 的距离 d 22 0，所以方程有两个实数解故曲线 C1 与曲线 C2 的交点个数为 2.6(2016全国甲卷)在直角坐标系 xOy 中，圆 C 的方程为(x6)2y225.(1)以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求 C 的极坐标方程；(2)直线 l 的参数方程是xtcos，ytsin(t 为
7、参数)，l 与 C 交于 A、B 两点，|AB|10，求 l 的斜率解(1)由 xcos，ysin 可得圆 C 的极坐标方程 212cos 110.(2)在(1)中建立的极坐标系中，直线 l 的极坐标方程为(R)设 A，B 所对应的极径分别为 1，2，将 l 的极坐标方程代入 C 的极坐标方程得 212cos 110.于是 1212cos，1211.|AB|12|122412144cos244.由|AB|10得 cos238，tan 153.所以 l 的斜率为 153 或 153.7(2015陕西)在直角坐标系 xOy 中，直线 l 的参数方程为x312t，y 32 t(t 为参数)以原点为极
8、点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，C 的极坐标方程为 2 3sin.(1)写出C 的直角坐标方程；(2)P 为直线 l 上一动点，当 P 到圆心 C 的距离最小时，求 P 的直角坐标解(1)由 2 3sin，得 22 3sin，从而有 x2y22 3y，所以 x2(y 3)23.(2)设 P312t，32 t，又 C(0，3)，则|PC|312t 232 t 3 2 t212，故当 t0 时，PC 取得最小值，此时，P 点的直角坐标为(3,0)8(2016全国乙卷)在直角坐标系 xOy 中，曲线 C1 的参数方程为xacos t，y1asin t(t 为参数，a0)在以坐标原点为极点，x 轴
9、正半轴为极轴的极坐标系中，曲线 C2：4cos.(1)说明 C1 是哪一种曲线，并将 C1 的方程化为极坐标方程；(2)直线 C3 的极坐标方程为 0，其中 0 满足 tan 02，若曲线 C1 与 C2 的公共点都在 C3上，求 a.解(1)消去参数 t 得到 C1 的普通方程 x2(y1)2a2，C1 是以(0,1)为圆心，a 为半径的圆将 xcos，ysin 代入 C1 的普通方程中，得到 C1 的极坐标方程为 22sin 1a20.(2)曲线 C1，C2 的公共点的极坐标满足方程组22sin 1a20，4cos.若 0，由方程组得 16cos28sin cos 1a20，由已知 tan
10、 2，可得 16cos28sin cos0，从而 1a20，解得 a1(舍去)，a1.a1 时，极点也为 C1，C2 的公共点，在 C3 上所以 a1.9(2016江苏)在平面直角坐标系 xOy 中，已知直线 l 的参数方程为x112t，y 32 t，(t 为参数)，椭圆 C 的参数方程为xcos，y2sin(为参数)设直线 l 与椭圆 C 相交于 A，B 两点，求线段|AB|的长解 直线 l 的方程化为普通方程为 3xy 30，椭圆 C 的方程化为普通方程为 x2y241，联立方程组得 3xy 30，x2y241，解得x11y10 或x217，y28 37，A(1,0)，B17，8 37.故
11、|AB|117208 372167.10(2016全国丙卷)在直角坐标系 xOy 中，曲线 C1 的参数方程为x 3cos，ysin(为参数)，以坐标原点为极点，以 x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线 C2 的极坐标方程为 sin42 2.(1)写出 C1 的普通方程和 C2 的直角坐标系方程；(2)设点 P 在 C1 上，点 Q 在 C2 上，求|PQ|的最小值及此时 P 的直角坐标解(1)C1 的普通方程为x23y21.C2 的直角坐标方程为 xy40.(2)由题意，可设点 P 的直角坐标为(3cos，sin)因为 C2 是直线，所以|PQ|的最小值即为 P 到 C2 距离 d()的最小值，d()|3cos sin 4|2 2sin3 2.当且仅当 2k6(kZ)时，d()取得最小值，最小值为 2，此时 P 的直角坐标为32，12.
