1、第 1 页 共 7 页上海中学高一下期末数学试卷2020.6一、填空题1在数列na中，若11a ，1133nnaa ，则na 2在首项为 2020，公比为 12 的等比数列中，最接近于 1 的项是第项3等差数列na的前 15 项和为 90，则8a 4等比数列na满足78927a a a 则313233315loglogloglogaaaa5等差数列na的前 n 项和为nS，10a，49SS，则nS 取最大值时 n 6数列na由2,(),nnnnananN为奇数为偶数确定，则na中第 10 个 3 是该数列的第项7已知方程 cos23sin 21xxk 在区间0,2 内有两个相异的解,，则 k
2、的取值范围是8在数列na中，11a ，1()1nnnaana N，则na 91111lim 1 3243 5(2)nn n10对于数列na，当 n 为奇数时，51nan；当 n 为偶数时，22nna，则这个数列的前 2n 项之和为11一个数字生成器，生成规则如下：第 1 次生成一个数 x，以后每次生成的结果是将上一次生成的每一个数 x 生成两个数，一个是 x，另一个是3x 若1x ，前 n 次生成的所有数中不同的数的个数为nT，则nT 12若数列na，nb满足11a ，11b ，若对任意的 nN，都有221nnnnnaabab，221nnnnnbabab，设111()3nnnncab，则无穷数
3、列 nc的所有项的和为二、选择题该文档是极速PDF编辑器生成，如果想去掉该提示,请访问并下载：http:/ 2 页 共 7 页13用数学归纳法证明“(1)(2)()21 3(21)nnnnnn”，从“nk到1nk”，左边需增添的因式为（）A 21k B 2(21)k C 211kkD 231kk14“2bac”是“,a b c 依次成等比数列”的（）条件A充分非必要B必要非充分C既不充分也不必要D充分必要15等差数列na的公差 d 不为零，等比数列nb的公比 q 是小于 1 的正有理数，若1ad，21bd，且222123123aaabbb是正整数，则 q 的值可以为（）A 17B17C 12D
4、1216nS 为实数构成的等比数列na的前 n 项和，则nS中（）A任一项均不为 0B必有一项为 0B至多有有限项为 0D或无一项为 0，或无穷多项为 0三、解答题17有三个数,a b c 依次成等比数列，其和为 21，且,9a b c 依次成等差效列，求,a b c 18解下列三角方程：（1）24cos4cos10 xx；（2）2sin3sincos10 xxx；（3）sin 212(sincos)120 xxx该文档是极速PDF编辑器生成，如果想去掉该提示,请访问并下载：http:/ 3 页 共 7 页19己知等差数列na满足20a，6810aa（1）求数列na的通项公式；（2）求数列12
5、nna的前 n 项和nS 20已知数列na的前 n 项和为nS，且 2nS 是 6 和na 的等差中项（1）求数列na的通项公式和前 n 项和nS；（2）若对任意的 nN，都有,nSs t，求 ts 的最小值21对于实数 x，将满足“01y 且 xy为整数”的实数 y 称为实数 x 的小数部分，用记号 x 表示，对于实数 a，无穷数列na满足如下条件：1aa，11,0,0,0nnnnaaaa 其中1,2,3,n （1）若2a，求数列na；（2）当14a 时，对任意的 nN，都有naa，求符合要求的实数 a 构成的集合 A（3）若 a 是有理数，设paq（p 是整数，q 是正整数，p、q 互质）
6、，问对于大于 q 的任意正整数 n，是否都有0na 成立，并证明你的结论该文档是极速PDF编辑器生成，如果想去掉该提示,请访问并下载：http:/ 4 页 共 7 页参考答案一、填空题132n 2123641556 或 76153670,1)8 1n9 3410215222nnn111,13,246,3,nnnnnN121【第 10 题解析】分组求和：21321242()()nnnSaaaaaa21(654)2(12)5222122nnnnnn【第 11 题解析】第 1 次生成的数为“1”；第 2 次生成的数为“1、4”；第 3 次生成的数为“1、2、4、7”；第 4 次生成的数为“1、4、2
7、、5、4、1、7、10”；可观察出：11T ，23T，36T，410T，514T，当3n时，nT是公差为 4的等差数列，1,13,246,3,nnTnnnnN【第 12 题解析】改编自 2020 年浦东二模 12 题由题意，112()nnnnabab，nnab是首项为 2，公比为 2 的等比数列，2nnnab，而22211()()2nnnnnnnnabababab，可得12nnnab，从而11112()333nnnnnnnnnnabcabab，其各项和为12311113cq 二、选择题13B14B15C16D【第 15 题解析】222222123222123(2)(3)14(1)1aaaddd
8、bbbdqqqq，12q 符合，选 C【第 16 题解析】11,1(1),0,11nnnaqSaqqqq，当1q 时，该等比数列有无穷多项为 0；否则，该等比数列无一项为 0，选 D该文档是极速PDF编辑器生成，如果想去掉该提示,请访问并下载：http:/ 5 页 共 7 页三、解答题17由题意，可设,9abd cbd，于是293124()(9)312abcbbbd bdbdd 或，从而，可得1,4,16abc或16,4,1abc 18（1）即21(2cos1)0cos2()23xxxkkZ；（2）即222sin3sincossincos0 xxxxx，两边同除2cos x，可得22tan3t
9、an10 xx，1tan2x 或 tan1x ，1arctan()24xkxkkZ或；（3）令sincos2 sin4txxx，2,2t，则2sin 21xt，从而2112120tt，即212130tt，解得1t 或13t （舍），再由22 sin1sin442xx，244xk或32()44xkkZ，22xk或2()xkkZ 19（1）2nan ；（2）由错位相减法，可得12nnnS20（1）由题意，46nnSa，令1n ，可得12a，1146nnSa，-，得114nnnaaa，即113nnaa ，na是首项为 2，公比为13的等比数列，1123nna，163114223nnnaS；（2）n
10、为奇数时，1311223nnS，nS 关于 n 单调递减且32nS 恒成立，此时，1322nSS；n 为偶数时，1311223nnS，nS 关于 n 单调递增且32nS 恒成立，此时，24332nSS；min4()3nSs，max()2nSt，于是min42()233ts该文档是极速PDF编辑器生成，如果想去掉该提示,请访问并下载：http:/ 6 页 共 7 页212013 杨浦高三一模 23（1）1221a ，2111212121aa，21ka ，则112121kkaa 所以21na （2）1aaa，所以 114a，所以14a，当 112a，即12a时，211111aaaaa，所以210a
11、a，解得152a（151(,1)22a，舍去）当 1132a，即123a 时，211112aaaaa，所以2210aa，解得28212a （1 121(,3 2a ，舍去）当 1143a，即134a 时，211113aaaaa，所以2310aa，解得3132a（3131 1(,24 3a，舍去）综上，15313,21,22A （3）成立（证明 1）由 a 是有理数，可知对一切正整数 n，na 为 0 或正有理数，可设nnnpaq（np 是非负整数，nq 是正整数，且nnpq既约）由111ppaqq，可得10pq；若0np，设nnqp（0np，,是非负整数）则nnnqpp，而由nnnpaq得 1nnnqap该文档是极速PDF编辑器生成，如果想去掉该提示,请访问并下载：http:/ 7 页 共 7 页11nnnnnqaapp，故1np，1nnqp，可得10nnpp 若0np 则10np ，若123,qa a aa均不为 0，则这 q 个正整数互不相同且都小于 q，但小于 q 的正整数共有1q 个，矛盾故123,qa a aa中至少有一个为 0，即存在(1)mmq，使得0ma从而数列na中ma 以及它之后的项均为 0，所以对于大于 q 的自然数 n，都有0na.（证法 2，数学归纳法）该文档是极速PDF编辑器生成，如果想去掉该提示,请访问并下载：http:/
