1、考点测试53双曲线一、基础小题1已知双曲线C：1(a0，b0)的渐近线方程为yx，则双曲线C的离心率为()A B C D答案B解析由题意可得，则离心率e，故选B2已知双曲线1的实轴长为10，则该双曲线的渐近线的斜率为()A B C D答案D解析由m21652，解得m3(m3舍去)所以a5，b3，从而，故选D3已知平面内两定点A(5，0)，B(5，0)，动点M满足|MA|MB|6，则点M的轨迹方程是()A1 B1(x4)C1 D1(x3)答案D解析由双曲线的定义知，点M的轨迹是双曲线的右支，故排除A，C；又c5，a3，b2c2a216焦点在x轴上，轨迹方程为1(x3)故选D4双曲线y21的焦点到
2、渐近线的距离为()A B C1 D答案C解析焦点F(，0)到渐近线xy0的距离d1，故选C5已知双曲线C：1(a0，b0)的焦距为10，点P(2，1)在C的渐近线上，则C的方程为()A1 B1C1 D1答案A解析1的焦距为10，c5又双曲线渐近线方程为yx，且P(2，1)在渐近线上，1，即a2b由解得a2，b，则C的方程为1故选A6已知双曲线C：1(a0，b0)的左、右焦点分别为F1，F2，点M与双曲线C的焦点不重合，点M关于F1，F2的对称点分别为A，B，线段MN的中点在双曲线的右支上，若|AN|BN|12，则a()A3 B4 C5 D6答案A解析如图，设MN的中点为C，则由对称性知F1，F
3、2分别为线段AM，BM的中点，所以|CF1|AN|，|CF2|BN|由双曲线的定义，知|CF1|CF2|2a(|AN|BN|)6，所以a3，故选A7已知双曲线C：1(a0，b0)的离心率e2，且它的一个顶点到相应焦点的距离为1，则双曲线C的方程为_答案x21解析由题意得解得则b，故所求方程为x218设F1，F2分别为双曲线1的左、右焦点，点P在双曲线上，若点P到焦点F1的距离等于9，则点P到焦点F2的距离为_答案17解析解法一：实轴长2a8，半焦距c6，|PF1|PF2|8|PF1|9，|PF2|1或|PF2|17又|PF2|的最小值为ca642，|PF2|17解法二：由题知，若P在右支上，则
4、|PF1|28109，P在左支上|PF2|PF1|2a8，|PF2|9817二、高考小题9(2018全国卷)双曲线1(a0，b0)的离心率为，则其渐近线方程为()Ayx ByxCyx Dyx答案A解析e，e21312，因为该双曲线的渐近线方程为yx，所以该双曲线的渐近线方程为yx，故选A10(2018全国卷)已知双曲线C：y21，O为坐标原点，F为C的右焦点，过F的直线与C的两条渐近线的交点分别为M，N若OMN为直角三角形，则|MN|()A B3 C2 D4答案B解析由题意分析知，FON30所以MON60，又因为OMN是直角三角形，不妨取NMO90，则ONF30，于是FNOF2，FMOF1，所
5、以|MN|3故选B11(2018全国卷)设F1，F2是双曲线C：1(a0，b0)的左、右焦点，O是坐标原点过F2作C的一条渐近线的垂线，垂足为P若|PF1|OP|，则C的离心率为()A B2 C D答案C解析由题可知|PF2|b，|OF2|c，|PO|a在RtPOF2中，cosPF2O，在PF1F2中，cosPF2O，c23a2，e故选C12(2018天津高考)已知双曲线1(a0，b0)的离心率为2，过右焦点且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点设A，B到双曲线的同一条渐近线的距离分别为d1和d2，且d1d26，则双曲线的方程为()A1 B1C1 D1答案C解析双曲线1(a0，b0)的离心率
6、为2，e214，3，即b23a2，c2a2b24a2，由题意可设A(2a，3a)，B(2a，3a)，3，渐近线方程为yx，则点A与点B到直线xy0的距离分别为d1a，d2a，又d1d26，aa6，解得a，b29双曲线的方程为1，故选C13(2018江苏高考)在平面直角坐标系xOy中，若双曲线1(a0，b0)的右焦点F(c，0)到一条渐近线的距离为c，则其离心率的值是_答案2解析双曲线的一条渐近线方程为bxay0，则F(c，0)到这条渐近线的距离为c，bc，b2c2，又b2c2a2，c24a2，e214(2017全国卷)已知双曲线C：1(a0，b0)的右顶点为A，以A为圆心，b为半径作圆A，圆A
7、与双曲线C的一条渐近线交于M，N两点若MAN60，则C的离心率为_答案解析如图，由题意知点A(a，0)，双曲线的一条渐近线l的方程为yx，即bxay0，点A到l的距离d又MAN60，|MA|NA|b，MAN为等边三角形，d|MA|b，即b，a23b2，e 三、模拟小题15(2018河北黄冈质检)过双曲线1(a0，b0)的右焦点F作圆x2y2a2的切线FM(切点为M)，交y轴于点P，若M为线段FP的中点，则双曲线的离心率为()A B C2 D答案A解析连接OM由题意知OMPF，且|FM|PM|，|OP|OF|，OFP45，|OM|OF|sin45，即ac，e故选A16(2018河南洛阳尖子生联考
8、)设F1，F2分别为双曲线1的左、右焦点，过F1引圆x2y29的切线F1P交双曲线的右支于点P，T为切点，M为线段F1P的中点，O为坐标原点，则|MO|MT|等于()A4 B3 C2 D1答案D解析连接PF2，OT，则有|MO|PF2|(|PF1|2a)(|PF1|6)|PF1|3，|MT|PF1|F1T|PF1|PF1|4，于是有|MO|MT|PF1|3|PF1|41，故选D17(2018哈尔滨调研)已知双曲线C的右焦点F与抛物线y28x的焦点相同，若以点F为圆心，为半径的圆与双曲线C的渐近线相切，则双曲线C的方程为()Ax21 By21C1 D1答案D解析设双曲线C的方程为1(a0，b0)
9、，而抛物线y28x的焦点为(2，0)，即F(2，0)，4a2b2又圆F：(x2)2y22与双曲线C的渐近线yx相切，由双曲线的对称性可知圆心F到双曲线的渐近线的距离为，a2b22，故双曲线C的方程为1故选D18(2018安徽淮南三校联考)已知双曲线1右焦点为F，P为双曲线左支上一点，点A(0，)，则APF周长的最小值为()A4 B4(1)C2() D3答案B解析由题意知F(，0)，设左焦点为F0，则F0(，0)，由题意可知APF的周长l为|PA|PF|AF|，而|PF|2a|PF0|，l|PA|PF0|2a|AF|AF0|AF|2a 22444(1)，当且仅当A，F0，P三点共线时取得“”，故
10、选B19(2018河南适应性测试)已知F1，F2分别是双曲线1(a0，b0)的左、右焦点，P是双曲线上一点，若|PF1|PF2|6a，且PF1F2的最小内角为，则双曲线的渐近线方程为()Ay2x ByxCyx Dyx答案D解析不妨设P为双曲线右支上一点，则|PF1|PF2|，由双曲线的定义得|PF1|PF2|2a，又|PF1|PF2|6a，所以|PF1|4a，|PF2|2a又因为所以PF1F2为最小内角，故PF1F2由余弦定理，可得，c23a2，b2c2a22a2，所以双曲线的渐近线方程为yx，故选D20(2018山西太原五中月考)已知F1，F2是双曲线1(a0，b0)的左、右焦点，过F1的直
11、线l与双曲线的左支交于点A，与右支交于点B，若|AF1|2a，F1AF2，则()A1 B C D答案B解析如图所示，由双曲线定义可知|AF2|AF1|2a又|AF1|2a，所以|AF2|4a，因为F1AF2，所以SAF1F2|AF1|AF2|sinF1AF22a4a2a2设|BF2|m，由双曲线定义可知|BF1|BF2|2a，所以|BF1|2a|BF2|，又知|BF1|2a|BA|，所以|BA|BF2|又知BAF2，所以BAF2为等边三角形，边长为4a，所以SABF2|AB|2(4a)24a2，所以，故选B21(2018广东六校联考)已知点F为双曲线E：1(a0，b0)的右焦点，直线ykx(k
12、0)与E交于不同象限内的M，N两点，若MFNF，设MNF，且，则该双曲线的离心率的取值范围是()A， B2，1C2， D，1答案D解析如图，设左焦点为F，连接MF，NF，令|MF|r1，|MF|r2，则|NF|MF|r2，由双曲线定义可知r2r12a，点M与点N关于原点对称，且MFNF，|OM|ON|OF|c，rr4c2，由得r1r22(c2a2)，又知SMNF2SMOFr1r22c2sin2，c2a2c2sin2，e2，又，sin2，e22，(1)2又e1，e，1，故选D22(2018河北名校名师俱乐部二调)已知F1，F2分别是双曲线x21(b0)的左、右焦点，A是双曲线上在第一象限内的点，
13、若|AF2|2且F1AF245，延长AF2交双曲线的右支于点B，则F1AB的面积等于_答案4解析由题意知a1，由双曲线定义知|AF1|AF2|2a2，|BF1|BF2|2a2，|AF1|2|AF2|4，|BF1|2|BF2|由题意知|AB|AF2|BF2|2|BF2|，|BA|BF1|，BAF1为等腰三角形，F1AF245，ABF190，BAF1为等腰直角三角形|BA|BF1|AF1|42SF1AB|BA|BF1|224一、高考大题本考点在近三年高考中未涉及此题型二、模拟大题1(2019河北武邑中学月考)已知mR，直线l：yxm与双曲线C：1(b0)恒有公共点(1)求双曲线C的离心率e的取值范
14、围；(2)若直线l过双曲线C的右焦点F，与双曲线交于P，Q两点，并且满足，求双曲线C的方程解(1)联立消去y，整理得(b22)x24mx2(m2b2)0当b22，m0时，易知直线l是双曲线C的一条渐近线，不满足题意，故b22，易得e当b22时，由题意知16m28(b22)(m2b2)0，即b22m2，故b22，则e22，e综上可知，e的取值范围为(，)(2)由题意知F(c，0)，直线l：yxc，与双曲线C的方程联立，得消去x，化简得(b22)y22cb2yb2c22b20，当b22时，易知直线l平行于双曲线C的一条渐近线，与双曲线C只有一个交点，不满足题意，故b22设P(x1，y1)，Q(x2
15、，y2)，即因为，所以y1y2，由可得y1，y2，代入整理得5c2b29(b22)(c22)，又c2b22，所以b27所以双曲线C的方程为12(2018惠州月考)已知双曲线C：1(a0，b0)的一条渐近线的方程为yx，右焦点F到直线x的距离为(1)求双曲线C的方程；(2)斜率为1且在y轴上的截距大于0的直线l与双曲线C相交于B，D两点，已知A(1，0)，若1，证明：过A，B，D三点的圆与x轴相切解(1)依题意有，c，a2b2c2，c2a，a1，c2，b23，双曲线C的方程为x21(2)证明：设直线l的方程为yxm(m0)，B(x1，x1m)，D(x2，x2m)，BD的中点为M，由得2x22mx
16、m230，x1x2m，x1x2，又1，即(2x1)(2x2)(x1m)(x2m)1，m0(舍)或m2，x1x22，x1x2，M点的横坐标为1，(1x1)(1x2)(x12)(x22)52x1x2x1x25720，ADAB，过A，B，D三点的圆以点M为圆心，BD为直径，点M的横坐标为1，MAx轴，|MA|BD|，过A，B，D三点的圆与x轴相切3(2019山西太原一中月考)已知直线l：yx2与双曲线C：1(a0，b0)相交于B，D两点，且BD的中点为M(1，3)(1)求双曲线C的离心率；(2)设双曲线C的右顶点为A，右焦点为F，|BF|DF|17，试判断ABD是否为直角三角形，并说明理由解(1)设
17、B(x1，y1)，D(x2，y2)把yx2代入1，并整理得(b2a2)x24a2x4a2a2b20，则x1x2，x1x2由M(1，3)为BD的中点，得1，即b23a2，故c2a，所以双曲线C的离心率e2(2)由(1)得C的方程为1，A(a，0)，F(2a，0)，x1x22，x1x20，b0)上一点，M，N分别是双曲线E的左、右顶点，直线PM，PN的斜率之积为(1)求双曲线的离心率；(2)过双曲线E的右焦点且斜率为1的直线交双曲线于A，B两点，O为坐标原点，C为双曲线上一点，满足，求的值解(1)由点P(x0，y0)(x0a)在双曲线1上，有1由题意有，可得a25b2，c2a2b26b2，e(2)联立得4x210cx35b20设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则设(x3，y3)，即又C为双曲线上一点，即x5y5b2，有(x1x2)25(y1y2)25b2化简得2(x5y)(x5y)2(x1x25y1y2)5b2又A(x1，y1)，B(x2，y2)在双曲线上，所以x5y5b2，x5y5b2由式又有x1x25y1y2x1x25(x1c)(x2c)4x1x25c(x1x2)5c210b2，式可化为240，解得0或4
