1、2015-2016学年陕西省西安一中高二（上）期末数学试卷（理科）一、选择题：只有一项符合题目要求（共12小题，每小题3分，共36分）1命题“若=，则tan=1”的逆否命题是（）A若，则tan1B若=，则tan1C若tan1，则D若tan1，则=2已知椭圆上的一点P到椭圆一个焦点的距离为3，则P到另一个焦点的距离（）A2B3C5D73命题“对任意的xR，x3x2+10”的否定是（）A不存在xR，x3x2+10B存在xR，x3x2+10C存在xR，x3x2+10D对任意的xR，x3x2+104下列双曲线中，焦点在y轴上且渐近线方程为y=2x的是（）Ax2=1By2=1Cx2=1Dy2=15抛物线
2、y=4x2的焦点坐标是（）A（0，1）B（0，）C（1，0）D（，0）6已知双曲线=1的一个焦点与抛物线y2=4x的焦点重合，且双曲线的离心率等于，则该双曲线的方程为（）ABCD7在ABC中，“A=60”是“”的（）A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件8设F1，F2分别是椭圆+y2=1的左、右焦点，P是第一象限内该椭圆上的一点，且PF1PF2，求点P的横坐标为（）A1BC2D9如图，四棱柱ABCDA1B1C1D1的底面ABCD为平行四边形，已知=， =， =，则用向量，可表示向量为（）A +B +C+D +10已知椭圆C： =1（ab0）的左焦点为F，C与过
3、原点的直线相交于A，B两点，连接AF，BF，若|AB|=10，|BF|=8，cosABF=，则C的离心率为（）ABCD11如图，四棱柱ABCDA1B1C1D1的底面ABCD是正方形，O为底面中心，A1O平面ABCD，AB=AA1=平面OCB1的法向量=（x，y，z）为（）A（0，1，1）B（1，1，1）C（0，1，1）D（1，1，1）12抛物线y=2x2上两点A（x1，y1）、B（x2，y2）关于直线y=x+m对称，且x1x2=，则m等于（）AB2CD3二、填空题：把答案填写在答题卡相应题号后的横线上（本大题共5小题，每小题4分，共20分）13抛物线y2=2px（p0）上的动点Q到焦点的距离的
4、最小值为1，则p=14双曲线的离心率为，则m等于15如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，AB=BC=AA1，ABC=90，则直线AB1和BC1所成的角是16如图，在正三棱柱ABCA1B1C1中，所有棱长均为1，则点B1到平面ABC1的距离为17设椭圆的两个焦点分别为F1，F2，过F2作椭圆长轴的垂线与椭圆相交，其中的一个交点为P，若F1PF2为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是三、解答题（共4小题，满分44分）18椭圆的两个焦点的坐标分别为F1（2，0），F2（2，0），且椭圆经过点（，）（1）求椭圆标准方程（2）求椭圆长轴长、短轴长、离心率19已知p：xR，不等式x2mx+0恒成立，q：椭圆
5、+=1的焦点在x轴上，若“p或q”为真，“p且q”为假，求实数m的取值范围20如图，三棱柱ABCA1B1C1中，CA=CB，AB=AA1，BAA1=60（）证明ABA1C；（）若平面ABC平面AA1B1B，AB=CB，求直线A1C与平面BB1C1C所成角的正弦值21已知椭圆E： +=1（ab0）的半焦距为c，原点O到经过两点（c，0），（0，b）的直线的距离为c（）求椭圆E的离心率；（）如图，AB是圆M：（x+2）2+（y1）2=的一条直径，若椭圆E经过A、B两点，求椭圆E的方程2015-2016学年陕西省西安一中高二（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：只有一项符合题目要求
6、（共12小题，每小题3分，共36分）1命题“若=，则tan=1”的逆否命题是（）A若，则tan1B若=，则tan1C若tan1，则D若tan1，则=【考点】四种命题间的逆否关系【专题】简易逻辑【分析】原命题为：若a，则b逆否命题为：若非b，则非a【解答】解：命题：“若=，则tan=1”的逆否命题为：若tan1，则故选C【点评】考查四种命题的相互转化，掌握四种命题的基本格式，本题是一个基础题2已知椭圆上的一点P到椭圆一个焦点的距离为3，则P到另一个焦点的距离（）A2B3C5D7【考点】椭圆的简单性质【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】先根据条件求出a=5；再根据椭圆定义得到关于所求距离d的
7、等式即可得到结论【解答】解：设所求距离为d，由题得：a=5根据椭圆的定义得：2a=3+dd=2a3=7故选D【点评】本题主要考查椭圆的定义在解决涉及到圆锥曲线上的点与焦点之间的关系的问题中，圆锥曲线的定义往往是解题的突破口3命题“对任意的xR，x3x2+10”的否定是（）A不存在xR，x3x2+10B存在xR，x3x2+10C存在xR，x3x2+10D对任意的xR，x3x2+10【考点】命题的否定【分析】根据命题“对任意的xR，x3x2+10”是全称命题，其否定是对应的特称命题，从而得出答案【解答】解：命题“对任意的xR，x3x2+10”是全称命题否定命题为：存在xR，x3x2+10故选C【点
8、评】本题主要考查全称命题与特称命题的相互转化要注意两点：1）全称命题变为特称命题；2）只对结论进行否定4下列双曲线中，焦点在y轴上且渐近线方程为y=2x的是（）Ax2=1By2=1Cx2=1Dy2=1【考点】双曲线的简单性质【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】对选项首先判定焦点的位置，再求渐近线方程，即可得到答案【解答】解：由A可得焦点在x轴上，不符合条件；由B可得焦点在x轴上，不符合条件；由C可得焦点在y轴上，渐近线方程为y=2x，符合条件；由D可得焦点在y轴上，渐近线方程为y=x，不符合条件故选C【点评】本题考查双曲线的方程和性质，主要考查双曲线的焦点和渐近线方程的求法，属于基础题5
9、抛物线y=4x2的焦点坐标是（）A（0，1）B（0，）C（1，0）D（，0）【考点】抛物线的简单性质【专题】计算题【分析】把抛物线y=4x2的方程化为标准形式，确定开口方向和p值，即可得到焦点坐标【解答】解：抛物线y=4x2的标准方程为 x2=y，p=，开口向上，焦点在y轴的正半轴上，故焦点坐标为（0，），故选B【点评】本题考查抛物线的标准方程，以及简单性质的应用；把抛物线y=4x2的方程化为标准形式，是解题的关键6已知双曲线=1的一个焦点与抛物线y2=4x的焦点重合，且双曲线的离心率等于，则该双曲线的方程为（）ABCD【考点】双曲线的标准方程；抛物线的简单性质；双曲线的简单性质【专题】计算题
10、；压轴题【分析】先根据抛物线方程求得焦点坐标，进而确定双曲线的焦点，求得双曲线中的c，根据离心率进而求得长半轴，最后根据b2=c2a2求得b，则双曲线的方程可得【解答】解：抛物线y2=4x的焦点F（1，0），双曲线的方程为故选D【点评】本题主要考查了双曲线的标准方程考查了对圆锥曲线基础知识的综合运用7在ABC中，“A=60”是“”的（）A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断【专题】三角函数的求值【分析】判断出若“cosA=”成立，则有“A=60成立；反之在ABC中，若“A=60成立则“cosA=”成立，利用充要条件的定
11、义得到结论【解答】解：在ABC中，若“cosA=”成立，则有“A=60成立；反之在ABC中，若“A=60成立则有“cosA=”成立，所以，“A=60”是“”的充要条件故选C【点评】判断一个命题是另一个命题的什么条件，应该先确定出条件，然后两边互推，利用充要条件的有关定义进行判断8设F1，F2分别是椭圆+y2=1的左、右焦点，P是第一象限内该椭圆上的一点，且PF1PF2，求点P的横坐标为（）A1BC2D【考点】椭圆的简单性质【专题】计算题【分析】先根据椭圆方程求得椭圆的半焦距c，根据PF1PF2，推断出点P在以为半径，以原点为圆心的圆上，进而求得该圆的方程与椭圆的方程联立求得交点的坐标，则根据点
12、P所在的象限确定其横坐标【解答】解：由题意半焦距c=，又PF1PF2，点P在以为半径，以原点为圆心的圆上，由，解得x=，y=P坐标为（，）故选：D【点评】本题主要考查了椭圆的简单性质，椭圆与圆的位置关系考查了考生对椭圆基础知识的综合运用属基础题9如图，四棱柱ABCDA1B1C1D1的底面ABCD为平行四边形，已知=， =， =，则用向量，可表示向量为（）A +B +C+D +【考点】平面向量的基本定理及其意义【专题】平面向量及应用；空间向量及应用【分析】利用空间向量的平行六面体法则即可得出【解答】解： =故选：B【点评】本题考查了空间向量的平行六面体法则，属于基础题10已知椭圆C： =1（ab
13、0）的左焦点为F，C与过原点的直线相交于A，B两点，连接AF，BF，若|AB|=10，|BF|=8，cosABF=，则C的离心率为（）ABCD【考点】椭圆的简单性质【分析】由已知条件，利用余弦定理求出|AF|，设F为椭圆的右焦点，连接BF，AF根据对称性可得四边形AFBF是矩形，由此能求出离心率e【解答】解：如图所示，在AFB中，|AB|=10，|BF|=8，cosABF=，由余弦定理得|AF|2=|AB|2+|BF|22|AB|BF|cosABF=100+642108=36，|AF|=6，BFA=90，设F为椭圆的右焦点，连接BF，AF根据对称性可得四边形AFBF是矩形|BF|=6，|FF|
14、=102a=8+6，2c=10，解得a=7，c=5e=故选B【点评】本题考查椭圆的离心率的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意余弦定理、椭圆的对称性等知识点的合理运用11如图，四棱柱ABCDA1B1C1D1的底面ABCD是正方形，O为底面中心，A1O平面ABCD，AB=AA1=平面OCB1的法向量=（x，y，z）为（）A（0，1，1）B（1，1，1）C（0，1，1）D（1，1，1）【考点】平面的法向量【专题】计算题；数形结合；数形结合法；空间向量及应用【分析】易知=（1，0，0），=（1，1，0），从而可得=+=（1，1，1），结合=x=0， =x+y+z=0，从而解得【解答】解：ABCD是
15、正方形，且AB=，AO=OC=1，=（1，0，0），A（1，0，0），B（0，1，0），=（1，1，0），=（1，1，0），OA=1，AA1=，OA1=1，故=（0，0，1），故=+=（1，1，1），向量=（x，y，z）是平面OCB1的法向量，=x=0，=x+y+z=0，故x=0，y=z，结合选项可知，当y=1时，z=1，故选：C【点评】本题考查了空间向量的应用及平面的法向量的求法12抛物线y=2x2上两点A（x1，y1）、B（x2，y2）关于直线y=x+m对称，且x1x2=，则m等于（）AB2CD3【考点】直线与圆锥曲线的关系【专题】计算题；压轴题【分析】先利用条件得出A、B两点连线的斜率k
16、，再利用A、B两点的中点在直线y=x+m求出关于m以及x2，x1的方程，再与已知条件联立求出实数m的值【解答】解：由条件得A（x1，y1）、B（x2，y2）两点连线的斜率k=，而y2y1=2（x22x12） ，得x2+x1= ，且（，）在直线y=x+m上，即=+m，即y2+y1=x2+x1+2m 又因为A（x1，y1）、B（x2，y2）两点在抛物线y=2x2上，所以有2（x22+x12）=x2+x1+2m，：即2（x2+x1）22x2x1=x2+x1+2m ，把代入整理得2m=3，解得m=故选 A【点评】本题是对直线与抛物线位置关系以及点与直线位置的综合考查当两点关于已知直线对称时，有两条结论
17、，一是两点的中点在已知直线上；二是两点的连线与已知直线垂直二、填空题：把答案填写在答题卡相应题号后的横线上（本大题共5小题，每小题4分，共20分）13抛物线y2=2px（p0）上的动点Q到焦点的距离的最小值为1，则p=2【考点】抛物线的简单性质【专题】计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】利用抛物线的顶点到焦点的距离最小，即可得出结论【解答】解：因为抛物线y2=2px（p0）上的动点Q到焦点的距离的最小值为1，所以=1，所以p=2故答案为：2【点评】本题考查抛物线的方程与性质，考查学生的计算能力，比较基础14双曲线的离心率为，则m等于9【考点】双曲线的简单性质【专题】圆锥曲线的定义、性质与
18、方程【分析】利用双曲线的离心率计算公式即可得出【解答】解：双曲线可得a2=16，b2=m，又离心率为，则，解得m=9故答案为9【点评】熟练掌握双曲线的离心率计算公式是解题的关键15如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，AB=BC=AA1，ABC=90，则直线AB1和BC1所成的角是60【考点】异面直线及其所成的角【专题】空间角【分析】由题意补成正方体，由正三角形的性质可得【解答】解：不妨设AB=BC=AA1=a，由题意可补成棱长为a的正方体，（如图）AD1BC1，B1AD1就是直线AB1和BC1所成的角，在正三角形AB1D1中易得B1AD1=60故答案为：60【点评】本题考查异面直线所成的角，
19、补形法是解决问题的关键，属基础题16如图，在正三棱柱ABCA1B1C1中，所有棱长均为1，则点B1到平面ABC1的距离为【考点】点、线、面间的距离计算【专题】压轴题【分析】在立体几何中，求点到平面的距离是一个常见的题型，同时求直线到平面的距离、平行平面间的距离及多面体的体积也常转化为求点到平面的距离本题采用的是“找垂面法”：即找（作）出一个过该点的平面与已知平面垂直，然后过该点作其交线的垂线，则得点到平面的垂线段观察点的位置可知：点B1到平面ABC1的距离就等于点C到平面ABC1的距离，取AB得中点M，连接CM，C1M，过点C作CDC1M，垂足为D，则平面ABC1平面C1CM，所以CD平面C1
20、AB，故CD的长度即为点C到平面ABC1的距离，在RtC1CM中，利用等面积法即可求出CD的长度【解答】解：如图所示，取AB得中点M，连接CM，C1M，过点C作CDC1M，垂足为DC1A=C1B，M为AB中点，C1MABCA=CB，M为AB中点，CMAB又C1MCM=M，AB平面C1CM又AB平面ABC1，平面ABC1平面C1CM，平面ABC1平面C1CM=C1M，CDC1M，CD平面C1AB，CD的长度即为点C到平面ABC1的距离，即点B1到平面ABC1的距离在RtC1CM中，C1C=1，CM=，C1M=CD=，即点B1到平面ABC1的距离为故答案为：【点评】本小题主要考查棱柱，线面关系、点
21、到平面的距离等基本知识，同时考查空间想象能力和推理、运算能力17设椭圆的两个焦点分别为F1，F2，过F2作椭圆长轴的垂线与椭圆相交，其中的一个交点为P，若F1PF2为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是【考点】椭圆的简单性质【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】设椭圆的方程和点P的坐标，把点P的坐标代入椭圆的方程，求出点P的纵坐标的绝对值，RtPF1F2 中，利用边角关系，建立a、c 之间的关系，从而求出椭圆的离心率【解答】解：设椭圆的方程为（ab0），设点P（c，h），则=1，h2=b2=，|h|=，由题意得F1PF2=90，PF1F2=45，RtPF1F2 中，tan45=1=，a2c2=
22、2ac， =1故答案为：【点评】本题考查椭圆的简单性质，直角三角形中的边角关系的应用考查计算能力属于中档题目三、解答题（共4小题，满分44分）18椭圆的两个焦点的坐标分别为F1（2，0），F2（2，0），且椭圆经过点（，）（1）求椭圆标准方程（2）求椭圆长轴长、短轴长、离心率【考点】椭圆的简单性质；椭圆的标准方程【专题】计算题；转化思想；圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】（1）设椭圆的标准方程为+=1（ab0），结合两点之间距离公式，求出2a，进而求出b，可得椭圆标准方程（2）由（1）中椭圆标准方程，可得椭圆长轴长、短轴长、离心率【解答】解：（1）设椭圆的标准方程为+=1（ab0），则2a=+
23、=2，即a=，又c=2，b2=a2c2=6，故椭圆的标准方程为： +=1，（2）由（1）得：椭圆的长轴长：2， 短轴长2， 离心率e=【点评】本题考查的知识点是椭圆的简单性质，椭圆的标准方程，难度中档19已知p：xR，不等式x2mx+0恒成立，q：椭圆+=1的焦点在x轴上，若“p或q”为真，“p且q”为假，求实数m的取值范围【考点】复合命题的真假【专题】对应思想；综合法；简易逻辑【分析】分别判断出p，q为真时的m的范围，通过讨论p，q的真假，得到关于m的不等式组，取并集即可【解答】解：p：xR，不等式x2mx+0恒成立，=m260，解得：m；q：椭圆+=1的焦点在x轴上，m13m0，解得：2m
24、3，若“p或q”为真，“p且q”为假，则：p，q一真一假，p真q假时：，解得：m2，p假q真时：，解得：m3，故m的范围是（，2），3）【点评】本题考查了复合命题的真假，考查不等式恒成立问题，考查椭圆问题，是一道基础题20如图，三棱柱ABCA1B1C1中，CA=CB，AB=AA1，BAA1=60（）证明ABA1C；（）若平面ABC平面AA1B1B，AB=CB，求直线A1C与平面BB1C1C所成角的正弦值【考点】用空间向量求直线与平面的夹角；直线与平面垂直的性质；平面与平面垂直的判定；直线与平面所成的角【专题】空间位置关系与距离；空间角【分析】（）取AB的中点O，连接OC，OA1，A1B，由已知
25、可证OA1AB，AB平面OA1C，进而可得ABA1C；（）易证OA，OA1，OC两两垂直以O为坐标原点，的方向为x轴的正向，|为单位长，建立坐标系，可得，的坐标，设=（x，y，z）为平面BB1C1C的法向量，则，可解得=（，1，1），可求|cos，|，即为所求正弦值【解答】解：（）取AB的中点O，连接OC，OA1，A1B，因为CA=CB，所以OCAB，由于AB=AA1，BAA1=60，所以AA1B为等边三角形，所以OA1AB，又因为OCOA1=O，所以AB平面OA1C，又A1C平面OA1C，故ABA1C；（）由（）知OCAB，OA1AB，又平面ABC平面AA1B1B，交线为AB，所以OC平面A
26、A1B1B，故OA，OA1，OC两两垂直以O为坐标原点，的方向为x轴的正向，|为单位长，建立如图所示的坐标系，可得A（1，0，0），A1（0，0），C（0，0，），B（1，0，0），则=（1，0，），=（1，0），=（0，），设=（x，y，z）为平面BB1C1C的法向量，则，即，可取y=1，可得=（，1，1），故cos，=，又因为直线与法向量的余弦值的绝对值等于直线与平面的正弦值，故直线A1C与平面BB1C1C所成角的正弦值为：【点评】本题考查直线与平面所成的角，涉及直线与平面垂直的性质和平面与平面垂直的判定，属难题21已知椭圆E： +=1（ab0）的半焦距为c，原点O到经过两点（c，0），（
27、0，b）的直线的距离为c（）求椭圆E的离心率；（）如图，AB是圆M：（x+2）2+（y1）2=的一条直径，若椭圆E经过A、B两点，求椭圆E的方程【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；曲线与方程【专题】创新题型；直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】（）求出经过点（0，b）和（c，0）的直线方程，运用点到直线的距离公式，结合离心率公式计算即可得到所求值；（）由（）知，椭圆E的方程为x2+4y2=4b2，设出直线AB的方程，代入椭圆方程，运用韦达定理和弦长公式，结合圆的直径和中点坐标公式，解方程可得b2=3，即可得到椭圆方程【解答】解：（）经过点（0，b）和（c，0）的直线方程为bx+cybc=
28、0，则原点到直线的距离为d=c，即为a=2b，e=；（）由（）知，椭圆E的方程为x2+4y2=4b2，由题意可得圆心M（2，1）是线段AB的中点，则|AB|=，易知AB与x轴不垂直，记其方程为y=k（x+2）+1，代入可得（1+4k2）x2+8k（1+2k）x+4（1+2k）24b2=0，设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=x1x2=，由M为AB的中点，可得x1+x2=4，得=4，解得k=，从而x1x2=82b2，于是|AB|=|x1x2|=，解得b2=3，则有椭圆E的方程为+=1【点评】本题考查椭圆的方程和性质，主要考查椭圆的离心率的求法和椭圆方程的运用，联立直线方程和椭圆方程，运用韦达定理和弦长公式，同时考查直线和圆的位置关系，以及中点坐标公式和点到直线的距离公式的运用，属于中档题2016年4月1日
