1、圆的标准方程【学习目标】课程标准学科素养1.会用定义推导圆的标准方程；掌握圆的标准方程的特点(重点)2.会根据已知条件求圆的标准方程(重点、难点)3.能准确判断点与圆的位置关系(易错点)1、直观想象2、数学运算3、逻辑推理【自主学习】1圆的标准方程(1)圆的定义：平面上到的距离等于的点的集合叫做圆，定点称为圆心，定长称为圆的半径(2)确定圆的基本要素是和，如图所示(3)圆的标准方程：圆心为A(a，b)，半径长为r的圆的标准方程是.当ab0时，方程为x2y2r2，表示以为圆心、半径为r的圆2点与圆的位置关系(xa)2(yb)2r2(r0)，其圆心为C(a，b)，半径为r，点P(x0，y0)，设d
2、|PC|.位置关系d与r的大小图示点P的坐标的特点点在圆外dr(x0a)2(y0b)2r2点在圆上dr(x0a)2(y0b)2r2点在圆内dr(x0a)2(y0b)2r2【小试牛刀】1.方程(xa)2(yb)2m2表示圆()2.确定一个圆的几何要素是圆心和半径.()3.圆(x1)2(y2)24的圆心坐标是(1,2)，半径是4.()4.(0,0)在圆(x1)2(y2)21上.()【经典例题】题型一求圆的标准方程确定圆的标准方程的方法(1)几何法它是利用图形的几何性质，如圆的性质等，直接求出圆的圆心和半径，代入圆的标准方程，从而得到圆的标准方程(2)待定系数法求圆的标准方程的一般步骤例1(1)圆心
3、在点C(2,1)，半径长是的圆的标准方程为_.(2)经过点P(5,1)，圆心在点C(8，3)的圆的标准方程为_.例2 求过点A(1，1)，B(1,1)，且圆心在直线xy20上的圆的标准方程思路探究法一：利用待定系数法，设出圆的方程，根据条件建立关于参数方程组求解；法二：利用圆心在直线上，设出圆心坐标，根据条件建立方程组求圆心坐标和半径，从而求圆的方程；法三：借助圆的几何性质，确定圆心坐标和半径，从而求方程跟踪训练1 已知圆C经过A(5,1)，B(1,3)两点，圆心在x轴上，则C的标准方程为_题型二点与圆的位置关系判断点与圆的位置关系的方法(1)只需计算该点与圆的圆心距离，与半径作比较即可；(2
4、)把点的坐标代入圆的标准方程，判断式子两边的符号，并作出判断例3已知圆的圆心M是直线2xy10与直线x2y20的交点，且圆过点P(5,6)，求圆的标准方程，并判断点A(2,2)，B(1,8)，C(6,5)是在圆上，在圆内，还是在圆外？跟踪训练2已知点(1,1)在圆(xa)2(ya)24的外部，则a的取值范围为_.题型三与圆有关的最值问题最值问题的常见类型及解法(1)形如u形式的最值问题，可转化为过点(x, y)和(a, b)的动直线斜率的最值问题(2)形如laxby形式的最值问题，可转化为动直线yx截距的最值问题(3)形如(xa)2(yb)2形式的最值问题，可转化为动点(x, y)到定点(a,
5、 b)的距离的平方的最值问题(4)求圆外一点到圆的最大距离和最小距离，可采用几何法，先求出该点到圆心的距离，再加上或减去圆的半径，即可得距离的最大值和最小值例4 已知x和y满足(x1)2y2，（1）求x2y2的最值（2） 求的取值范围跟踪训练3 圆的方程为(x1)2y24，则过(0,0)的弦中，最长弦长为_，最短弦长为_【当堂达标】1、以两点A(3，1)和B(5,5)为直径端点的圆的方程是()A.(x1)2(y2)2100B.(x1)2(y2)2100C.(x1)2(y2)225D.(x1)2(y2)2252两个点M(2，4)，N(2,1)与圆C：x2y22x4y40的位置关系是()A点M在圆
6、C外，点N在圆C外B点M在圆C内，点N在圆C内C点M在圆C外，点N在圆C内D点M在圆C内，点N在圆C外3圆心为直线xy20与直线2xy80的交点，且过原点的圆的标准方程是_4.与y轴相切，且圆心坐标为(5，3)的圆的标准方程为_.5. 已知圆心为点C(3，4)，且经过原点，求该圆的标准方程，并判断点P1(1,0)，P2(1，1)，P3(3，4)和圆的位置关系6.求经过点P(1,1)和坐标原点，并且圆心在直线2x3y10上的圆的标准方程.【参考答案】【自主学习】定点定长圆心半径(xa)2(yb)2r2原点O【小试牛刀】【经典例题】例1 (1)(x2)2(y1)23(2)(x8)2(y3)225例
7、2 解法一：设所求圆的标准方程为(xa)2(yb)2r2，由已知条件知解此方程组，得故所求圆的标准方程为(x1)2(y1)24.法二：设点C为圆心，点C在直线xy20上，可设点C的坐标为(a,2a)又该圆经过A，B两点，|CA|CB|.，解得a1.圆心坐标为C(1,1)，半径长r|CA|2.故所求圆的标准方程为(x1)2(y1)24.法三：由已知可得线段AB的中点坐标为(0,0)，kAB1，所以弦AB的垂直平分线的斜率为k1，所以AB的垂直平分线的方程为y01(x0)，即yx.则圆心是直线yx与xy20的交点，由得即圆心为(1,1)，圆的半径为r2，故所求圆的标准方程为(x1)2(y1)24.
8、跟踪训练1 (x2)2y210由圆的几何性质得，圆心在AB的垂直平分线上，结合题意知，AB的垂直平分线为y2x4，令y0，得x2，故圆心坐标为(2,0)，所以圆的半径r，故圆的方程为(x2)2y210.例3 解解方程组得圆心M的坐标为(0,1)，半径r|MP|5.圆的标准方程为x2(y1)250.|AM|r，点A在圆内|BM|r，点B在圆上|CM|r，点C在圆外圆的标准方程为x2(y1)250，且点A在圆内，点B在圆上，点C在圆外跟踪训练2(，1)(1，)解析由题意知，(1a)2(1a)24，2a220，即a1.例4 解（1）由题意知x2y2表示圆上的点到坐标原点距离的平方，显然当圆上的点与坐
9、标原点的距离取最大值和最小值时，其平方也相应取得最大值和最小值原点O(0,0)到圆心C(1,0)的距离d1，故圆上的点到坐标原点的最大距离为1，最小距离为1.因此x2y2的最大值和最小值分别为和.（2）设k，变形为k，此式表示圆上一点(x, y)与点(0, 0)连线的斜率，由k，可得ykx，此直线与圆有公共点，圆心到直线的距离dr，即，解得k.即的取值范围是.跟踪训练3 42点(0,0)在圆内，最长的弦为过O的直径，所以最大弦长为2r4.最短弦是过O且与过O的直径垂直的弦，因为O(0,0)与圆的距离为1，所以最短弦长为22.【当堂达标】1.D解析AB为直径，AB的中点(1,2)为圆心，|AB|
10、5为半径，该圆的标准方程为(x1)2(y2)225.2. D将点的坐标代入方程左边得22(4)2224(4)440，M点在圆内，(2)2122(2)41490，N点在圆外故选D.3.(x2)2(y4)220由可得，即圆心为(2,4)，从而r2，故圆的标准方程为(x2)2(y4)220.4.(x5)2(y3)225解析圆心坐标为(5，3)，又与y轴相切，该圆的半径为5，该圆的标准方程为(x5)2(y3)225.5.解因为圆心是C(3，4)，且经过原点，所以圆的半径r5，所以圆的标准方程是(x3)2(y4)225.因为|P1C|25，所以P3(3，4)在圆外.6. 解方法一(待定系数法)设圆的标准方程为(xa)2(yb)2r2，则有解得圆的标准方程是(x4)2(y3)225.方法二(几何法)由题意知OP是圆的弦，其垂直平分线为xy10.弦的垂直平分线过圆心，由得即圆心坐标为(4，3)，半径为r5.圆的标准方程是(x4)2(y3)225.6
