1、课时达标训练(九) 解析几何中的基本问题A组抓牢中档小题1若直线l1：mxy80与l2：4x(m5)y2m0垂直，则m_.解析：l1l2，4m(m5)0，m1.答案：12已知圆C的圆心在x轴的正半轴上，点M(0，)在圆C上，且圆心到直线2xy0的距离为，则圆C的方程为_解析：因为圆C的圆心在x轴的正半轴上，设C(a,0)，且a0，所以圆心到直线2xy0的距离d，解得a2，所以圆C的半径r|CM|3，所以圆C的方程为(x2)2y29.答案：(x2)2y293(2018镇江期末)已知双曲线y21的左焦点与抛物线y212x的焦点重合，则双曲线的右准线方程为_解析：因为抛物线的焦点为(3,0)，即为双
2、曲线的左焦点，所以a2918，所以双曲线的右准线方程为x.答案：x4已知直线l过点P(1,2)且与圆C：x2y22相交于A，B两点，ABC的面积为1，则直线l的方程为_解析：当直线斜率存在时，设直线的方程为yk(x1)2，即kxyk20.因为SABCCACBsinACB1，所以sinACB1，所以sinACB1，即ACB90，所以圆心C到直线AB的距离为1，所以1，解得k，所以直线方程为3x4y50；当直线斜率不存在时，直线方程为x1，经检验符合题意综上所述，直线l的方程为3x4y50或x1.答案：3x4y50或x15已知椭圆C：1(ab0)的左、右焦点为F1，F2，离心率为，过F2的直线l交
3、C于A，B两点若AF1B的周长为4 ，则C的方程为_解析：因为AF1B的周长为4，所以|AF1|AB|BF1|AF1|AF2|BF1|BF2|4a4，所以a.又因为椭圆的离心率e，所以c1，b2a2c2312，所以椭圆C的方程为1.答案：1 6(2018南京学情调研)在平面直角坐标系xOy中，若圆(x2)2(y2)21上存在点M，使得点M关于x轴的对称点N在直线kxy30上，则实数k的最小值为_解析：圆(x2)2(y2)21关于x轴的对称圆的方程为(x2)2(y2)21，由题意得，圆心(2，2)到直线kxy30的距离d1，解得k0，所以实数k的最小值为.答案：7已知以椭圆的右焦点F2为圆心的圆
4、恰好过椭圆的中心，交椭圆于点M，N，椭圆的左焦点为F1，且直线MF1与此圆相切，则椭圆的离心率e_.解析：因为圆的半径rc，在RtF1F2M中，|F1F2|2c，|F2M|c，|F1M|c，所以2a|F1M|F2M|(1)c，离心率e1.答案：18(2018南京学情调研)在平面直角坐标系xOy中，若直线axy20与圆心为C的圆(x1)2(ya)216相交于A，B两点，且ABC为直角三角形，则实数a的值是_解析：由题意知ABC为等腰直角三角形，且ACBC4，AB4，圆心C到直线axy20的距离d2，2，解得a1.答案：19(2018扬州期末)在平面直角坐标系xOy中，若双曲线1(a0，b0)的渐
5、近线与圆x2y26y50没有交点，则双曲线离心率的取值范围是_解析：由圆x2y26y50，得圆的标准方程为x2(y3)24，所以圆心C(0,3)，半径r2.因为双曲线1(a0，b0)的渐近线bxay0与该圆没有公共点，则圆心到直线的距离应大于半径，即2，即3a2c，即e1，故双曲线离心率的取值范围是.答案：10在平面直角坐标系xOy中，已知圆C：x2(y3)22，点A是x轴上的一个动点，AP，AQ分别切圆C于P，Q两点，则线段PQ长的取值范围是_解析：设PCA，所以PQ2sin .又cos ，AC3，)，所以cos ，所以cos2，sin21cos2，所以sin ，所以PQ.答案：11(201
6、8南京、盐城、连云港二模)在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线C：x21(b0) 的两条渐近线与圆O：x2y22的四个交点依次为A，B，C，D.若矩形ABCD的面积为b，则b的值为_解析：由题意知，双曲线C的渐近线方程为ybx，如图所示，两条渐近线与圆O的四个交点为A，B，C，D.不妨设点B的坐标为(m，n)，则解得m2，而矩形ABCD的面积为2m2n4mn4bm2b，解得b. 答案：12(2018苏锡常镇调研)已知直线l：xy20与x轴交于点A，点P在直线l上圆C：(x2)2y22上有且仅有一个点B满足ABBP，则点P的横坐标的取值集合为_解析：法一：由ABBP，得点B在以AP为直径的圆D上
7、，所以圆D与圆C相切由题意得A(2,0)，C(2,0)若圆D与圆C外切，则DCDA；若圆D与圆C内切，则DADC.所以圆心D在以A，C为焦点的双曲线1上，即14x22y27.又点D在直线l上，由得12x28x150，解得xD或xD.所以xP2xDxA2xD25或xP.法二：由题意可得A(2,0)，设P(a，a2)，则AP的中点M，AP，故以AP为直径的圆M的方程为222.由题意得圆C与圆M相切(内切和外切)，故 ，解得a或a5.故点P的横坐标的取值集合为.答案：13已知椭圆1(ab0)的左焦点为F，直线xm与椭圆相交于A，B两点若FAB的周长最大时，FAB的面积为ab，则椭圆的离心率为_解析：
8、设直线xm与x轴交于点H，椭圆的右焦点为F1，由椭圆的对称性可知FAB的周长为2(FAAH)2(2aF1AAH)，因为F1AAH，故当F1AAH时，FAB的周长最大，此时直线AB经过右焦点，从而点A，B坐标分别为，所以FAB的面积为2c，由条件得2cab，即b2c22bc，bc，从而椭圆的离心率为e.答案：14已知A，B是圆C1：x2y21上的动点，AB，P是圆C2：(x3)2(y4)21上的动点，则|的取值范围为_解析：因为A，B是圆C1：x2y21上的动点，AB，所以线段AB的中点H在圆O：x2y2上，且|2|.因为点P是圆C2：(x3)2(y4)21上的动点，所以5|5，即|，所以72|
9、13，从而|的取值范围是7,13答案：7,13B组力争难度小题1已知点P是圆C：x2y24x6y30上的一点，直线l：3x4y50.若点P到直线l的距离为2，则符合题意的点P有_个解析：由题意知圆C的标准方程为(x2)2(y3)216，所以圆心(2,3)到直线l的距离d(4,5)，故满足题意的点P有2个答案：22(2017全国卷)已知双曲线C：1(a0，b0)的右顶点为A，以A为圆心，b为半径作圆A，圆A与双曲线C的一条渐近线交于M，N两点若MAN60，则C的离心率为_解析：双曲线的右顶点为A(a,0)，一条渐近线的方程为yx，即bxay0，则圆心A到此渐近线的距离d.又因为MAN60，圆的半
10、径为b，所以bsin 60，即，所以e.答案：3(2018南京、盐城一模)在平面直角坐标系xOy中，若直线yk(x3)上存在一点P，圆x2(y1)21上存在一点Q，满足3，则实数k的最小值为_解析：设点P(x，y)，由3，可得Q.又点Q在圆x2(y1)21上，可得221，即x2(y3)29，所以点P既在圆x2(y3)29上，又在直线yk(x3)上，即直线与圆有交点，所以圆心到直线距离d3，解得k0.答案：4(2017山东高考)在平面直角坐标系xOy中，双曲线1(a0，b0)的右支与焦点为F的抛物线x22py(p0)交于A，B两点若|AF|BF|4|OF|，则该双曲线的渐近线方程为_解析：设A(
11、x1，y1)，B(x2，y2)，由抛物线的定义可知|AF|y1，|BF|y2，|OF|，由|AF|BF|y1y2y1y2p4|OF|2p，得y1y2p.联立消去x，得a2y22pb2ya2b20，所以y1y2，所以p，即，故，所以双曲线的渐近线方程为yx.答案：yx5设椭圆C：1(ab0)恒过定点A(1,2)，则椭圆的中心到准线的距离的最小值是_. 解析：由已知得1，因为准线方程为x，所以椭圆的中心到准线的距离为d，即d2a2592949(2)2，当且仅当a252时取等号所以d2，即dmin2.答案：26已知圆C：(x2)2y24，线段EF在直线l：yx1上运动，点P为线段EF上任意一点，若圆C上存在两点A，B，使得0，则线段EF长度的最大值是_解析：过点C作CHl于H，因为C到l的距离CH2r，所以直线l与圆C相离，故点P在圆C外因为|cosAPB0，所以cosAPB0，所以APB，圆C上存在两点A，B使得APB，由于点P在圆C外，故当PA，PB都与圆C相切时，APB最大，此时若APB，则PCr2，所以PH，由对称性可得EFmax2PH.答案：
