1、模块综合测试时间：90 分钟 分值：150 分第卷(选择题，共 60 分)一、选择题(每小题 5 分，共 60 分)1下列四个命题中，既是特称命题又是真命题的是()A任意 mR，使函数 f(x)x2mx(xR)都是奇函数B至少有一个实数 x0，使得 x200C全等的三角形必相似D存在一个负数 x，使1x2B解析：A 中，命题是全称命题，且找不到 m 使 f(x)是奇函数，故不合题意；B 中，命题是特称命题，且任取一个非零常数代入，不难发现命题正确；C 中，命题是省掉全称量词的全称命题，不合题意；D 中，对于任意一个负数 x，都有1x0D存在 xR，x3x210D解析：含有量词的命题的否定，一是
2、要改变相应的量词，二是要否定结论3已知条件 p：|x1|2，条件 q：x25x60，则 p 是 q的()A充要条件B充分而不必要条件C必要而不充分条件 D既不充分又不必要条件B解析：命题 p：1x3，记 Ax|1x3，命题 q：1x6，记 Bx|1x6，AB，p 是 q 的充分不必要条件4设椭圆的标准方程为 x2k3 y25k1，其焦点在 x 轴上，则 k 的取值范围是()A4k5B3k3D3k5k0，解得 4k0，b0)，过双曲线 P 的右焦点，且倾斜角为2的直线与双曲线 P 交于 A，B 两点，O 是坐标原点，若AOBOAB，则双曲线 P 的离心率为()A.3 72B.11 332C.3
3、396D.1 174C解析：由题意可知 AB 是通径，根据双曲线的对称性和AOBOAB 可知三角形 AOB 为等边三角形，即b2a ctan633，所以 b2 33 ac，由 c2a2b2 得 c2a2 33 ac，两边同除以 a2得 e2 33 e10，解得 e 3 396或 e 3 396(舍去)11已知圆 A：(x3)2y2100，圆 A 内一定点 B(3,0)，动圆 P 过 B 点且与圆 A 内切，设动圆 P 的半径为 r，则圆心 P 的轨迹方程是()A.x216y29 1 B.x225y2161C.x216y29 1 D.x225y2161B解析：如图所示，由题意知|PB|r，圆 P
4、 与圆 A 内切，圆 A 的半径为 10，两圆的圆心距|PA|10r，即|PA|PB|10|AB|6，点 P 的轨迹是以 A、B 两点为焦点的椭圆2a10,2c|AB|6.a5，c3.b2a2c225916，即点 P 的轨迹方程为 x225y2161.12已知椭圆 M：x2a2y2b21(ab0)的一个焦点为 F(1,0)，离心率为 22，过点 F 的动直线交 M 于 A，B 两点，若 x 轴上的点P(t,0)使得APOBPO 总成立(O 为坐标原点)，则 t 等于()A2B2C 2D.2B解析：由题意知 c1，eca 22，则 a 2，故 b1，故椭圆的方程为x22 y21.设 A(x1，y
5、1)，B(x2，y2)，由题意可知，当直线斜率不存在时，t 可以为任意实数，当直线斜率存在时，可设直线方程为 yk(x1)，联立方程组ykx1，x22y21，得(12k2)x24k2x2k220，x1x2 4k212k2，x1x22k2212k2，使得APOBPO 总成立，即使得 PF 为APB 的平分线，即有直线 PA 和 PB 的斜率之和为 0，即有 y1x1t y2x2t0，由 y1k(x11)，y2k(x21)，得 2x1x2(t1)(x1x2)2t0，则4k2412k2(t1)4k212k22t0，化简可得 t2.二、填空题(每小题 5 分，共 20 分)13命题 p：mR，方程 x
6、2mx10 有实数根，则“非p”形式的命题是mR，方程 x2mx10 没有实数根，此命题是_命题(填“真”或“假”)假解析：命题 p 为特称命题，所以綈 p 是全称命题，綈 p是mR，方程 x2mx10 没有实数根m2 或 m2 时，0，即该方程有实数根，所以 p 真，綈 p 假14设 F1，F2 分别是椭圆 E：x2y2b21(0bb0)相交于 A，B两点，且线段 AB 的中点在直线 x2y0 上，则此椭圆的离心率为_.22解析：直线 yx1 与 x2y0 的交点为 M23，13，设 yx1 与x2a2y2b21 的交点分别为 A(x1，y1)，B(x2，y2)，由点差法，可得y1y2y1y
7、2x1x2x1x212b2a2，即 a22b2，a2b2c2，a22c2，e 22.三、解答题(写出必要的计算步骤，只写最后结果不得分，共70 分)17(10 分)已知 p：方程 x23t y2t11 所表示的曲线为焦点在 x 轴上的椭圆；q：实数 t 满足不等式 t2(a1)tat10.解得1t1.(2)p 是 q 的充分不必要条件，t|1t1是不等式 t2(a1)ta1 时，不等式的解集为t|1t1.当 a1 时，不等式的解集为，不满足题意当 a1 时，不等式的解集为t|at1.18(12 分)已知椭圆 E1：x2a2y261 的焦点 F1，F2 在 x 轴上，且椭圆 E1 经过点 P(m
8、，2)(m0)，过点 P 的直线 l 与 E1交于点Q，与抛物线 E2：y24x 交于 A，B 两点，当直线 l 过 F2 时，PF1Q 的周长为 20 3.(1)求 m 的值和 E1 的方程；(2)以线段 AB 为直径的圆是否经过 E2 上一定点，若经过一定点，求出定点坐标，否则说明理由解：(1)由PF1Q 的周长为 20 3得 4a20 3，a5 3，即x275y26 1.椭圆 E1 经过点 P(m，2)(m0)，m5.(2)设 A(x1，y1)，B(x2，y1)，则以线段 AB 为直径的圆的方程为(xx1)(xx2)(yy1)(yy2)0，再设直线 l 的方程为 x5n(y2)，联立直线
9、与抛物线方程，得 y24ny4(2n5)0，y1y24n，y1y24(2n5)，x1x24n24n10，x1x2y21y2216(2n5)2，代入(xx1)(xx2)(yy1)(yy2)0，得 4(1x)n2(4x204y8)n(x210 x5y2)0，因此 4(1x)0，4x204y80，x210 x5y20，x1，y2，即以线段 AB 为直径的圆经过 E2 上一定点(1,2)19(12 分)如右图，三棱柱 ABC-A1B1C1 中，CACB，ABAA1，BAA160.(1)证明：ABA1C；(2)若平面 ABC平面 AA1B1B，ABCB，求直线 A1C 与平面BB1C1C 所成角的正弦值
10、解：(1)证明：取 AB 的中点 O，连接 OC，OA1，A1B，如图因为 CACB，所以 OCAB.由于 ABAA1，BAA160，故AA1B 为等边三角形，所以 OA1AB.因为 OCOA1O，所以 AB平面 OA1C.又 A1C平面 OA1C，故 ABA1C.(2)由(1)知 OCAB，OA1AB.又平面 ABC平面 AA1B1B，交线为 AB，所以 OC平面AA1B1B，故 OA，OA1，OC 两两相互垂直以 O 为坐标原点，OA 的方向为 x 轴的正方向，|OA|为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系 Oxyz.由题设知 A(1,0,0)，A1(0，3，0)，C(0,0，3)，B(1
11、,0,0)则BC(1,0，3)，BB1 AA1(1，3，0)，A1C(0，3，3)设 n(x，y，z)是平面 BB1C1C 的法向量，则 nBC 0nBB1 0，即x 3z0 x 3y0，可取 n(3，1，1)故n，A1C nA1C|n|A1C|105.所以 A1C 与平面 BB1C1C 所成角的正弦值为 105.20(12 分)设 F1，F2 分别是椭圆：x2a2y2b21(ab0)的左、右焦点，过 F1 倾斜角为 45的直线 l 与该椭圆相交于 P，Q 两点，且|PQ|43a.(1)求该椭圆的离心率(2)设点 M(0，1)满足|MP|MQ|，求该椭圆的方程解：(1)直线 PQ 斜率为 1，
12、设直线 l 的方程为 yxc，其中 c a2b2.设 P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则 P，Q 两点坐标满足方程组yxc，x2a2y2b21，化简得(a2b2)x22a2cxa2(c2b2)0，则 x1x22a2ca2b2，x1x2a2c2b2a2b2.所以|PQ|2|x2x1|2x1x224x1x243a.得43a 4ab2a2b2，故 a22b2，所以椭圆的离心率 eca a2b2a 22.(2)设 PQ 的中点为 N(x0，y0)，由(1)知 x0 x1x22 a2ca2b223c，y0 x0cc3.由|MP|MQ|得 kMN1.即y01x0 1，得 c3，从而 a3 2，b3.故
13、椭圆的方程为x218y29 1.21(12 分)如右图所示，四面体 ABCD 中，ABC 是正三角形，ACD是直角三角形，ABDCBD，ABBD.(1)求证平面 ACD平面 ABC；(2)过 AC 的平面交 BD 于点 E，若平面 AEC 把四面体 ABCD分成体积相等的两部分，求二面角 D-AE-C 的余弦值解：(1)证明：由题设可得ABDCBD，从而 ADDC，又ACD 是直角三角形，所以ADC90，如图所示，取 AC的中点 O，连接 DO，BO，则 DOAC，DOAO，又由ABC是正三角形，所以 BOAC，所以DOB 为二面角 D-AC-B 的平面角，在AOB 中，BO2DO2BO2AO
14、2AB2BD2，故DOB90，所以平面 ACD平面 ABC.(2)由题设及(1)知 OA，OB，OD 两两垂直，所以以 O 为坐标原点，OA 的方向为 x 轴正方向，OB 的方向为 y 轴正方向，OD的方向为 z 轴正方向，|OA|为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系 Oxyz，则 A(1,0,0)，B(0，3，0)，C(1，0,0)，D(0,0,1)由题设知四面体 ABCE 的体积为四面体 ABCD 的体积的12，从而 E到平面 ABC 的距离为 D 到平面 ABC 的距离的12，即 E 为 DB 的中点，得 E0，32，12.故AD(1,0,1)，AC(2,0,0)，AE(1，32，12
15、)，设 n(x，y，z)是平面 DAE 的法向量，则 nAD 0，nAE0，即xz0，x 32 y12z0，可取 n1，33，1.设 m 是平面 AEC 的法向量，则mAC 0，mAE0，同理可取 m(0，1，3)，则nm nm|n|m|77 所以二面角 D-AE-C的余弦值为 77.22(12 分)如图所示，已知椭圆 C：x24y21 的上、下顶点分别为 A，B，点 P 在椭圆上，且异于点 A，B，直线 AP，BP 与直线 l：y2 分别交于点 M，N.(1)设直线 AP，BP 的斜率分别为 k1，k2，求证 k1k2 为定值；(2)求线段 MN 的长的最小值；(3)当点 P 运动时，以 M
16、N 为直径的圆是否经过某定点？请证明你的结论解：(1)证明：A(0,1)，B(0，1)，令 P(x0，y0)，则由题设可知 x00，直线 AP 的斜率 k1y01x0，直线 BP 的斜率 k2y01x0，又点 P 在椭圆上，x204 y201(x00)，从而有 k1k2y01x0 y01x0 y201x2014为定值(2)由题设可以得到直线 AP 的方程为 y1k1(x0)，直线BP 的方程为 y(1)k2(x0)，由y1k1x，y2x 3k1，y2，由y1k2x，y2x 1k2，y2，直线 AP 与直线 l 的交点为 M3k1，2，直线 BP 与直线 l 的交点为 N1k2，2.又 k1k214，MN3k11k2 3k14k1 3k1|4k1|23k1|4k1|4 3当且仅当3k1|4k1|，即 k1 32 时取等号，故线段 MN 的长的最小值是 4 3.(3)结论：以 MN 为直径的圆恒过定点(0，22 3)和(0，22 3)证明：设点 Q(x，y)是以 MN 为直径的圆上的任意一点，则QM QN 0，故有x 3k1 x 1k2(y2)(y2)0，又 k1k214，所以以 MN 为直径的圆的方程为 x2(y2)2123k14k1 x0，令 x0，解得 y22 3，以 MN 为直径的圆恒过定点(0，22 3)和(0，22 3)
