1、42.2对数的运算性质我们知道，对数运算可看作指数运算的逆运算，你能从指数与对数的关系以及指数的运算性质中，得出相应对数的运算性质吗？问题(1)算一算：log28与log22log24；log28与log82?(2)猜一猜，对数可能有哪些性质？知识点一对数的运算性质若a0，且a1，M0，N0，nR那么：(1)loga(MN)logaMlogaN；(2)logalogaMlogaN；(3)logaMnnlogaM对数运算中的常见公式及推广(1)logalogaM(M0，nN*，n1，a0，且a1)；(2)logalogaM(M0，a0，且a1)；(3)logalogaM(M0，n，pN*，p，n
2、1，a0，且a1)；(4)loga(MN)logaMlogaN(a0，且a1，M0，N0)可推广为loga(N1N2Nk)logaN1logaN2logaNk(kN*，N1，N2，Nk均大于0，a0，且a1)在积的对数运算性质中，三项的乘积式loga(MNQ)是否适用？你可以得到一个什么样的结论？提示：适用，loga(MNQ)logaMlogaNlogaQ，积的对数运算性质可以推广到真数是n个正数的乘积1判断正误(正确的画“”，错误的画“”)(1)积、商的对数可以化为对数的和、差()(2)loga(xy)logaxlogay.()(3)log2(5)22log2(5)()答案：(1)(2)(3
3、)2log84log82_解析：log84log82log842log881.答案：13log510log52_解析：log510log52log5log551.答案：1知识点二换底公式logaN(a0，a1，N0，c0，c1)换底公式的推论logambnlogab，logab1对数的换底公式用常用对数、自然对数表示是什么形式？提示：logab，logab.2你能用换底公式和对数的运算性质推导出结论logMmlogNM吗？提示：log Nn MmlogNM.1判断正误(正确的画“”，错误的画“”)(1)由换底公式可得logab.()(2)log2Mlog3Nlog6(MN)()(3)log23
4、log321.()答案：(1)(2)(3)2._解析：log392.答案：23log29log32_解析：log29log322.答案：24log48_解析：log48loglog22.答案：对数式的运算例1(链接教科书第84页例4)求下列各式的值：(1)log2(4725)；(2)lg；(3)lg 142 lglg 7lg 18；(4)lg 52 lg 8lg 5lg 20(lg 2)2.解(1)log2(4725)log247log2257log245log22725119.(2)lg lg 100lg 1002.(3)lg 142lglg 7lg 18lg(27)2(lg 7lg 3)l
5、g 7lg(322)lg 2lg 72lg 72lg 3lg 72lg 3lg 20.(4)原式2lg 52lg 2lg 5(2lg 2lg 5)(lg 2)22lg 10(lg 5lg 2)22(lg 10)2213.对数式化简与求值的基本原则和方法(1)基本原则：对数的化简求值一般是正用或逆用公式，对真数进行处理，选哪种策略化简，取决于问题的实际情况，一般本着便于真数化简的原则进行；(2)两种常用的方法：“收”，将同底的两对数的和(差)收成积(商)的对数；“拆”，将积(商)的对数拆成同底的两对数的和(差)跟踪训练1已知ab0，有下列四个等式：lg(ab)lg alg b；lglg alg
6、b；lglg；lg(ab)，其中正确的是_解析：式成立的前提条件是a0，b0；式成立的前提条件是ab1.只有式成立答案：2log354log32log23log34.解：原式log3log245.对数换底公式的应用例2(链接教科书第85页例8)计算：(1)log29log34；(2).解(1)由换底公式可得，log29log344.(2)原式loglog 9.利用换底公式求值的思想与注意点跟踪训练1若log5log36log6x2，则x等于()A9 BC25 D解析：选Dlog5log36log6xlog53log36log6xlog5x，则log5x2，则x52.故选D.2log23log3
7、4log45log52_解析：log23log34log45log521.答案：1对数的综合应用例3(链接教科书第85页例6)已知log189a，18b5，求log3645.(用a，b表示)解因为18b5，所以blog185.所以log3645.母题探究1(变设问)若本例条件不变，如何求log1845(用a，b表示)?解：因为18b5，所以log185b，所以log1845log189log185ab.2(变条件)若将本例条件“log189a，18b5”改为“log94a，9b5”，则又如何求解呢？解：因为9b5，所以log95b.所以log3645.求解与对数有关的各种求值问题应注意如下三点
8、(1)利用对数的定义可以将对数式转化为指数式；(2)两边同时取对数是将指数式化成对数式的常用方法；(3)对数的换底公式在解题中起着重要的作用，能够将不同底的问题转化为同底问题，从而使我们能够利用对数的运算性质解题跟踪训练已知x，y，z都是大于1的正数，m0，且logxm24，logym40，logxyzm12，求logzm的值解：由logxm24得logmx，由logym40得logmy，由logxyzm12得logm(xyz)，则logmxlogmylogmz.所以logmz，所以logzm60.利用对数运算解决实际问题例4在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述两颗星的星等与亮度满
9、足m2m1lg ，其中星等为mk的星的亮度为Ek(k1，2)已知太阳的星等是26.7，天狼星的星等是1.45，则太阳与天狼星的亮度的比值为()A1010.1 B10.1Clg 10.1 D1010.1解析由题意知，m126.7，m21.45，代入所给公式得1.45(26.7)lg ，所以lg 10.1，所以1010.1.故选A.答案A对数运算在实际生产和科学研究中应用广泛，其应用问题大致可以分为两类：(1)建立对数式，在此基础上进行一些实际求值，计算时要注意指数式与对数式的互化；(2)建立指数幂型应用模型，再进行指数求值，此时往往将等式两边同时取对数进行计算跟踪训练有关数据显示，中国快递行业产
10、生的包装垃圾在2019年约为400万吨，2020年的年增长率为50%，有专家预测，如果不采取措施，未来包装垃圾还将以此增长率增长，从_年开始，快递行业产生的包装垃圾超过4 000万吨(参考数据：lg 20.301 0，lg 30.477 1)解析：设快递行业产生的包装垃圾为y万吨，n表示从2019年开始增加的年份的数量(nN*)，由题意可得y400(150%)n400，由4004 000，两边取以10为底的对数并化简可得n(lg 3lg 2)1，n(0.477 10.301 0)1，即0.176 1n1，又nN*，n6，2 01962 025.故从2025年开始，快递行业产生的包装垃圾超过4
11、000万吨答案：20251计算2log63log64的结果是()A2 Blog62Clog63 D3解析：选A2log63log64log69log64log6362.2若a0，a1，xy0，nN*，则下列各式：(1)(logax)nnlogax；(2)(logax)nlogaxn；(3)logaxloga；(4)logax；(5)loga.其中正确的有()A2个 B3个C4个 D5个解析：选A根据对数的运算性质logaMnnlogaM(M0，a0，且a1)知(3)与(5)正确3已知log34log48log8mlog416，则m等于()A. B9C18 D27解析：选Blog34log48log8m2，lg m2lg 3，m9.4已知a2(a0)，则loga_解析：由a2(a0)得a，所以loglog2.答案：25(2021南通第一中学月考)已知a, b是方程log3x3log273x的两个根，试给出关于a, b的一个结论_解析：根据换底公式有，即.令1log3xt，则，解得t1或t3.所以1log3x1或1log3x3，解得x或x.故ab.答案：ab(答案不唯一)
