1、2020-2021年七宝中学高三期中考数学试卷一、填空题1.已知全集，集合，则_.2.若函数，则_.3. _.4.已知数列为等差数列，且，则_.5.设函数在上是减函数，则实数的取值范围是_.6.已知，则的取值范围是_.7.若函数在区间上的零点个数为个，则实数的取值范围是_.8.已知两变量、之间的关系为，则以为自变量的函数的最小值是_.9.已知函数（且），若对任意实数均有，则的最小值为_.10.设函数，若恰有个零点，则下述结论中：恒成立，则的值有且仅有个；存在，使得在上单调递增；方程一定有个实数根，其中真命题的序号为_.11.函数的图像绕着原点旋转弧度，若得到的图像仍是函数图像，则可取值的集合为
2、_.12.对任意闭区间，用表示函数在上的最大值，若有且仅有一个正数使得成立，则实数的取值范围是_.二、选择题13.下列各组不等式中，解集完全相同的是（ ）A.与 B.与 C.与 D.与 14.若数列的前项和为，则“是递增数列”是“为递增数列”的（ ）A.充分非必要条件 B.必要非充分条件 C.充要条件 D. 既不充分也不必要条件 15.已知集合都是非空集合，若命题“中的元素都是中的元素”是假命题,则下列说法必定为真命题的是（ ）A. B.中至多有一个元素不属于 C.中有不属于的元素 D. 中有不属于的元素 16.单调递增的数列中共有项，且对任意，和中至少有一个是中的项，则的最大值为（ ）A.9
3、 B.8 C.7 D.6 三、解答题17.如图，已知长方体中，.（1）求异面直线与所成角的大小；（2）求点到平面的距离.18.已知在中，角的对边分别为,且.（1）求的值；（2）若，求的面积.19. 某供应商为华为公司提供芯片，由以往的经验表明，不考虑其他因素，该芯片次品率与日产量（万枚）间的关系为：，已知每生产1枚合格芯片供应商可盈利元，每出现件次品亏损元.（1） 将日盈利额（万元）表示为日常量（万枚）的函数；（2） 为使日盈利额最大，日产量应为多少万枚？（注：次品率）.20.已知双曲线过点，且右焦点为.（1）求双曲线的方程；（2）过点的直线与双曲线的右支交于两点，交轴于点，若，求证：为定值.
4、（3）在（2）的条件下，若点是点关于原点的对称点，求证：三角形的面积；21.若实数列满足条件，则称是一个“凸数列”.（1）判断数列和是否为“凸数列”?（2）若是一个“凸数列”，证明：对正整数，当时，有；（3）若是一个“凸数列”证明：对，有.2020-2021年七宝中学高三期中考数学试卷一、填空题1.已知全集，集合，则_.【解析】，所以.2.若函数，则_.【解析】令，解得，所以.3. _.【解析】.4.已知数列为等差数列，且，则_.【解析】由等差数列的性质，得.5.设函数在上是减函数，则实数的取值范围是_.【解析】由题意得，所以. 6.已知，则的取值范围是_.【解析】令，则.7.若函数在区间上的
5、零点个数为个，则实数的取值范围是_.【解析】令，得，即， 故当时，零点分别为，所以.8.已知两变量、之间的关系为，则以为自变量的函数的最小值是_.【解析】由得，所以， 显然，所以，故， 所以，当且仅当时取等号， 故以为自变量的函数的最小值是4. 9.已知函数（且），若对任意实数均有，则的最小值为_.【解析】作出的图像，如图所示， 则过点，所以，即， 因为，所以， 所以，当且仅当时取等号， 故的最小值为4.10.设函数，若恰有个零点，则下述结论中：恒成立，则的值有且仅有个；存在，使得在上单调递增；方程一定有个实数根，其中真命题的序号为_.【解析】因为恰有个零点，所以， 所以，即， 即，由上述知，
6、故的值有且仅有个，正确； 当时，当时，解得， 又，故存在，使得在上单调递增，正确； ，而， 所以可取，共4个解，正确， 综上，真命题的序号是.11.函数的图像绕着原点旋转弧度，若得到的图像仍是函数图像，则可取值的集合为_.【解析】 12.对任意闭区间，用表示函数在上的最大值，若有且仅有一个正数使得成立，则实数的取值范围是_.【解析】当时， 由，得，所以； 当时， 由，得； 当时， 由，得，所以； 当时， 由，得，所以， 当时， 由，得， 所以，作出图像，得实数的取值范围是. 【变式1】2020-2021年上海市普陀区0.5模12题.对任意闭区间，用表示函数在上的最大值，若正数满足，则的值为_.
7、【解析】当时， 由，得，所以，无解； 当时， 由，得，无解； 当时， 由，得，所以，； 当时， 由，得，所以，； 当时， 由，得无解， 综上，或.【变式2】2019-2020年上海市七宝中学高三下三模第11题.用表示函数在闭区间上的最大值，若正数满足，则的最大值为 . 【解析】当时， 由，得，所以，无解； 当时， 由，得，无解； 当时， 由，得，所以，； 当时， 由，得，所以，； 当时， 由，得无解， 综上，故的最大值为.二、选择题13.下列各组不等式中，解集完全相同的是（ D ）A.与 B.与 C.与 D.与 14.若数列的前项和为，则“是递增数列”是“为递增数列”的（ D ）A.充分非必要
8、条件 B.必要非充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 15.已知集合都是非空集合，若命题“中的元素都是中的元素”是假命题,则下列说法必定为真命题的是（ D ）A. B.中至多有一个元素不属于 C.中有不属于的元素 D.中有不属于的元素 16.单调递增的数列中共有项，且对任意，和中至少有一个是中的项，则的最大值为（ ）A.9 B.8 C.7 D.6 【解析】本题为2016年清华大学自招与领军计划试题. 法一：假设是中大于0的最大的4项，对于来说， 因为，所以和都不是中的项， 又由题意得和中至少有一个是中的项， 所以是中的项，且，所以， 对于来说，因为，所以和都不是中的项，又由题意得和
9、中至少有一个是中的项，所以是中的项，且，所以，所以，矛盾，所以中大于0的最多有3项，同理，中小于0的最多有3项，加上0，故的最大值为7，此时存在数列满足题意，故选C. 法二：假设存在三项为正，则都不是中的项， 所以是中的项，且， 所以，所以数列中最多有3个正项，同理数列中最多有3个负项，加上0，故的最大值为7，此时存在数列满足题意，故选C.三、解答题17.如图，已知长方体中，.（1）求异面直线与所成角的大小；（2）求点到平面的距离.【解析】（1）连接，则， 所以即为所求角，或其补角， ， ，在中，由余弦定理得，所以，即异面直线与所成角的大小为； （2）， ， 设点到平面的距离为，由等体积法，得
10、， 即，所以， 所以点到平面的距离为.18.已知在中，角的对边分别为,且.（1）求的值；（2）若，求的面积.【解析】（1）由已知及正弦定理得， 得， 因为，所以， 由正弦定理得； （2）因为， 由余弦定理得，即，解得， 所以，又， 所以.20. 某供应商为华为公司提供芯片，由以往的经验表明，不考虑其他因素，该芯片次品率与日产量（万枚）间的关系为：，已知每生产1枚合格芯片供应商可盈利元，每出现件次品亏损元.（3） 将日盈利额（万元）表示为日常量（万枚）的函数；（4） 为使日盈利额最大，日产量应为多少万枚？（注：次品率）.【解析】（1）当时，所以， 当时， 所以， 所以； （2）当时， 令，则，
11、所以万元， 当且仅当，即时取等号， 所以为使日盈利额最大，日产量应为3万枚. 20.已知双曲线过点，且右焦点为.（1）求双曲线的方程；（2）过点的直线与双曲线的右支交于两点，交轴于点，若，求证：为定值.（3）在（2）的条件下，若点是点关于原点的对称点，求证：三角形的面积； 【解析】（1）由题意得，又，解得， 所以双曲线的方程为； （2）法一：设， 由得，又点在双曲线上， 所以，整理得， 同理，由，得， 因为两点不重合，所以， 所以是方程的两根， 所以，为定值； 法二：设，由题意得直线的斜率存在， 所以设直线，所以， 由，得， 所以， 由，得， 所以 ， 所以，为定值； （3）在（2）法二的基础上，得， ， 所以 ， 因为直线与双曲线的右支交于两点， 所以， 所以， 所以 ， 因为，所以， 所以， 所以，证毕.21.若实数列满足条件，则称是一个“凸数列”.（1）判断数列和是否为“凸数列”?（2）若是一个“凸数列”，证明：对正整数，当时，有；（3）若是一个“凸数列”证明：对，有.【解析】（1）因为 ，所以数列不为“凸数列”， 因为 ，所以数列为“凸数列”； （2）由题意得，所以， 而， 所以， 又， 所以，故，证毕； （3）当时，即， 由（2）得，所以， 故，成立； 当时，即，显然成立， 当时，由（2）得， 所以， 所以，故成立， 综上所述，对，有.
