1、3.2双曲线的简单性质1结合双曲线的图形掌握双曲线的简单几何性质(重点)2感受双曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用，体会数形结合思想(难点)基础初探教材整理双曲线的简单性质阅读教材P80“练习以下”P82“例3”以上的部分，完成下列问题标准方程1(a0，b0)1(a0，b0)图形续表几何性质范围xa或xaya或ya对称性关于x轴，y轴，原点对称顶点A1(a,0)，A2(a,0)A1(0，a)，A2(0，a)实虚轴实轴长|A1A2|2a，虚轴长|B1B2|2b离心率e(e1)渐近线yxyx中心原点对称轴x轴，y轴a，b，c的关系c2a2b2(ca0，cb0)1判断(正确的打“”，错误的打“
2、”)(1)双曲线是轴对称图形()(2)双曲线的离心率越大，它的开口越小()(3)双曲线1的虚轴长为4.()【解析】(1)双曲线关于x轴，y轴对称(2)双曲线的离心率越大，它的开口越大(3)1中b3，虚轴长为2b6.【答案】(1)(2)(3)2双曲线2x2y28的实轴长是()A2B4C2D4【解析】双曲线标准方程为1故实轴长为2a4.【答案】B3双曲线x2y23的离心率为_【解析】x2y23可化为1，ab，c2a2b26，e.【答案】4求双曲线1的焦点坐标，实轴长、虚轴长、离心率【导学号：32550087】【解】a216，b29，c216925，焦点坐标为(5,0)，(5,0)，实轴长2a8，虚
3、轴长2b6，离心率e.质疑手记预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1：_解惑：_疑问2：_解惑：_疑问3：_解惑：_小组合作型双曲线的简单性质的应用(1)若实数k满足0k9，则曲线1与曲线1的()A焦距相等B实半轴长相等C虚半轴长相等D离心率相等【自主解答】0k9，1的实轴长为10，虚轴长为2，焦距为2，离心率.1的实轴长为2，虚轴长为6，焦距为2，离心率.焦距相等【答案】A(2)已知双曲线C：y21，P为双曲线上任意一点，设点A的坐标为(3,0)，求|PA|的最小值为_【自主解答】设点P的坐标为(x，y)，则|PA|2(x3)2y2(x3)212，根据双曲线的范围知：
4、|x|2，当x时，|PA|2的最小值为，即|PA|的最小值为.【答案】(3)双曲线4x2y24的顶点坐标为_，离心率为_，渐近线方程为_【自主解答】将4x2y24变形为x21，a1，b2，c，顶点坐标为(1,0)，(1,0)，e，渐近线方程为yx2x.【答案】(1,0)，(1,0)y2x1由双曲线方程探究简单性质时，需先看所给方程是否为标准方程，若不是，需先把方程化为标准方程，这是依据方程求参数，a，b，c值的关键2写顶点坐标、焦点坐标、渐近线方程时，需先由方程确定焦点所在的坐标轴，否则易出错，需注意双曲线方程与渐近线方程的对应关系利用双曲线的性质求双曲线的标准方程求适合下列条件的双曲线的标准
5、方程(1)顶点在x轴上，焦距为10，离心率是；(2)焦点在y轴上，一条渐近线为yx，实轴长为12；(3)离心率e，且过点(5,3)【精彩点拨】(1)由已知2c10，e求出a，c的值，代入b2c2a2可求得b2，即得方程；(2)由已知得，2a12，求出a，b即可；(3)设出两种双曲线方程，利用待定系数法求解【自主解答】(1)由双曲线的顶点在x轴上，可设所求的标准方程为1(a0，b0)由焦距2c10，e，得c5，a4，所以b2c2a225169.所以，所求双曲线的标准方程为1.(2)由双曲线的焦点在y轴上，可设所求的标准方程为1(a0，b0)因此，2a12，解得a6，b8，则a236，b264.故
6、所求双曲线的标准方程为1.(3)因为e，所以ca，b2c2a2a2.当焦点在x轴上时，设双曲线的标准方程为1，把点(5,3)代入，得a216，所以所求双曲线的标准方程为1；当焦点在y轴上时，设双曲线的标准方程为1，把点(5,3)代入，得a216，不合题意综上可知，所求双曲线的标准方程为1.1求双曲线方程，关键是求a，b的值，在解题过程中应熟悉a，b，c，e等元素的几何意义及它们之间的联系，并注意方程思想的应用2若已知双曲线的渐近线方程axby0，可设双曲线方程为a2x2b2y2.再练一题1将本例(2)中“焦点在y轴上”去掉，其他不变【解】渐近线方程为yx，不妨设双曲线的方程为1，又a6，当0时
7、，1636，双曲线方程为1，当0时，936，4，双曲线方程为1，双曲线的标准方程为1或1.双曲线的离心率(1)已知双曲线1(a0)的离心率为2，则a()A2BC.D1【精彩点拨】直接列出离心率e的等式即可【自主解答】由已知得e2，且a0解得a1.【答案】D(2)设F1，F2分别为双曲线1(a0，b0)的左、右焦点，双曲线上存在一点P使得(|PF1|PF2|)2b23ab，则该双曲线的离心率为()A.BC4D【精彩点拨】由定义知|PF1|PF2|2a，故4a2b23ab，结合c2a2b2，即可求出e.【自主解答】由双曲线的定义知，(|PF1|PF2|)24a2，所以4a2b23ab，即34，解得
8、4(1舍去)因为双曲线的离心率e，所以e.故选D.【答案】D1解决本题的关键是探寻a与c的关系2求双曲线的离心率的常见方法：一是依据条件求出a，c，再计算e；二是依据条件提供的信息建立关于参数a，b，c的等式，进而转化为关于离心率e的方程，再解出e的值再练一题2已知双曲线1(a0，b0)的一条渐近线方程为yx，则双曲线的离心率为()A.BC.D【解析】由题意得，则e.【答案】A探究共研型双曲线的简单性质探究1何为双曲线的“虚轴”？【提示】在双曲线的标准方程1(a0，b0)中，令y0，可得xa，因此双曲线与x轴有两个交点；而令x0，方程没有实数根，说明双曲线与y轴没有交点为了方便画图，把点B1(
9、0，b)，B2(0，b)也画在y轴上，称线段B1B2为双曲线的虚轴此处应注意：双曲线有两个顶点，而椭圆有四个顶点探究2如何确定双曲线的形状？【提示】(1)双曲线共有两个焦点、两个顶点、两个虚轴端点六个特殊点，注意双曲线的焦点一定在双曲线的实轴所在的直线上(2)直线xa，yb或xb，ya围成的矩形中，双曲线的渐近线即为两条对角线所在的直线依据上述两点，可画出双曲线的大致形状探究3如何用几何图形解释c2a2b2？a，b，c在双曲线中分别表示哪些线段的长？【提示】由于c2a2b2，a，b，c就是图中RtOAB的三边长，它们从另一个角度反映了参数a，b，c的几何意义探究4双曲线的渐近线具有什么特点？【
10、提示】双曲线的渐近线是两条直线随着x和y趋向无穷大，双曲线的各支将与渐近线无限接近，但永远没有交点由双曲线的渐近线方程只能确定a与b的比值，无法确定双曲线的焦点在哪一条坐标轴上在圆锥曲线中，渐近线是双曲线特有的性质探究5双曲线的渐近线与双曲线的标准方程有什么关系？【提示】(1)为了便于记忆，根据双曲线的标准方程求它的渐近线方程时，可以把双曲线的标准方程1(a0，b0)中等号右边的“1”改成“0”，然后分解因式即可得到渐近线的方程0.(2)与双曲线1有共同渐近线的双曲线方程可设为(0)；若已知双曲线的渐近线方程0或yx，则双曲线方程可设为(0)当0时，焦点在x轴上；当0时，焦点在y轴上(3)双曲
11、线确定时，渐近线唯一确定；渐近线确定时，双曲线并不唯一确定求适合下列条件的双曲线标准方程(1)顶点间距离为6，渐近线方程为yx.(2)经过点M(3,2)，且与双曲线1有共同的渐近线【精彩点拨】(1)因焦点的位置不确定，应分类讨论求解；(2)与双曲线1有相同渐近线的双曲线方程可设为(0)，从而达到简便运算的效果【自主解答】(1)当焦点在x轴上时，由且a3得b.所求双曲线标准方程为1.当焦点在y轴上时，由且a3得b2.所求双曲线标准方程为1.(2)法一：双曲线1的渐近线方程为yx，当焦点在x轴上时，设所求双曲线方程为1(a0，b0)由题意得所求双曲线的标准方程为1；当焦点在y轴上时，设所求双曲线方
12、程为1(a0，b0)由题意得此方程组无解综上可知，双曲线的标准方程为1.法二：设所求双曲线方程为(0)，双曲线经过点M(3,2)，.故双曲线方程为，即1.求解双曲线标准方程的难点是设双曲线方程，常用的技巧如下：与双曲线1(a0，b0)有相同渐近线的双曲线方程可设为(0)，若0，则表示焦点在x轴上的双曲线，若0，则表示焦点在y轴上的双曲线与双曲线1(a0，b0)有相等离心率的双曲线方程可设为(0)或(0)与双曲线1(a0，b0)有相同焦点的双曲线方程可设为1(a2b2)已知渐近线方程yx，双曲线方程可设为(0)，通过求确定双曲线方程，而无需考虑其实、虚轴的位置再练一题3双曲线的渐近线方程为yx，
13、则离心率为()A.BC.或D或【解析】当焦点在x轴上时，e；当焦点在y轴上时，e.故选C.【答案】C构建体系1双曲线1的顶点坐标为()A(0,2)(0，2)B(3,0)(3,0)C(0,2)(0，2)(3,0)(3,0)D(0,2)(3,0)【解析】由双曲线的标准方程知焦点在y轴上，则顶点在y轴上，且a24，则a2，从而顶点坐标为(0,2)，(0，2)【答案】A图3342如图334，双曲线C：1的左焦点为F1，双曲线上的点P1与P2关于y轴对称，则|P2F1|P1F1|的值是()A3B6C4D8【解析】设F2为右焦点，由双曲线的对称性知，|P1F1|P2F2|，|P2F1|P1F1|P2F1|
14、P2F2|6.【答案】B3已知双曲线C的离心率为2，焦点为F1，F2，点A在C上若|F1A|2|F2A|，则cos AF2F1() 【导学号：32550088】A.BC.D【解析】双曲线的离心率为2，2，abc12.又|AF1|4a，|AF2|2a，|F1F2|2c4a，cos AF2F1，选A.【答案】A4设F1，F2分别是双曲线1的左、右焦点，若双曲线上存在点A，使F1AF290且|AF1|3|AF2|，则双曲线的离心率为_【解析】设|AF2|x，|AF1|3x，则2a|AF1|AF2|2x,2cx.离心率e.【答案】5已知双曲线1(a0，b0)和椭圆1有相同的焦点，且双曲线的离心率是椭圆离心率的2倍，求双曲线的方程【解】椭圆1的焦点坐标为(，0)(，0)，离心率为，双曲线1的c，e2，a2，b2c2a21，双曲线的标准方程为y21.我还有这些不足：(1)_(2)_我的课下提升方案：(1)_(2)_
