1、4简单线性规划41二元一次不等式(组)与平面区域知识点平面区域 填一填一般地，直线l：axbyc0把直角坐标平面分成了三个部分：(1)直线l上的点(x，y)的坐标满足axbyc0；(2)直线l一侧的平面区域内的点(x，y)的坐标满足axbyc0；(3)直线l另一侧的平面区域内的点(x，y)的坐标满足axbyc0，则包含点P的半平面为不等式AxByC0所表示的平面区域，不包含点P的半平面为不等式AxByC0所表示的平面区域1画二元一次不等式表示的平面区域的方法画二元一次不等式表示的平面区域时常采用“直线定界，特殊点定域”的方法：直线定界：若不等式不含等号，把边界直线画成虚线；若不等式含有等号，把
2、边界直线画成实线特殊点定域：在直线axbyc0的某一侧取一个特殊点(x0，y0)作为测试点代入不等式检验，若满足不等式，则不等式表示的区域就是包括这个点的一侧，否则就表示直线的另一侧，特别地，当c0时，常把原点作为测试点；当c0时，常把点(1,0)或点(0,1)作为测试点2画不等式|x|y|1表示的平面区域的方法只有二元一次不等式对应的区域才是平面区域，上式是含有绝对值的不等式，利用绝对值的定义进行分类讨论，得到二元一次不等式组，从而画出其平面区域去掉绝对值符号时，应分x0和x0及y0和y0讨论，通过讨论，原不等式等价于以下四个不等式组：或或或其平面区域如下图阴影部分类型一二元一次不等式表示的
3、平面区域 【例1】画出下列不等式表示的平面区域(1)2xy100；(2)y2x3.【思路探究】对于(1)，先画出直线2xy100(用虚线表示)，再取坐标原点(0,0)代入检验，从而判断出2xy100表示的平面区域对于(2)，先把y2x3变形为2xy30的形式，再画出直线2xy30(用实线表示)，取原点(0,0)代入检验，从而判断出2xy30表示的平面区域【解】(1)先画出直线2xy100(画成虚线)，取点(0,0)，代入2xy10，得20010100，2xy100表示的平面区域是直线2xy100的左下方的平面区域，如图(1)阴影部分所示(2)将y2x3变形为2xy30.先画出直线2xy30(画
4、成实线)取点(0,0)，代入2xy3，得200330，2xy30表示的平面区域是直线2xy30以及其左下方的平面区域，如图(2)阴影部分所示规律方法 画二元一次不等式所表示的平面区域的一般步骤为：“直线定界”，即画出边界AxByC0，要注意是虚线还是实线；“特殊点定域”，取某个特殊点(x0，y0)作为测试点，由Ax0By0C的符号确定出所求不等式表示的平面区域当C0时，通常取原点(0,0)作为测试点画出下列不等式所表示的平面区域：(1)4x3y12；(2)x1；(3)x2y0.解：上述不等式对应的平面区域如图阴影部分所示类型二二元一次不等式组表示的平面区域 【例2】画出不等式(组)表示的平面区
5、域：(1)【解】(1)不等式xy50表示直线xy50上及右下方的点的集合，xy10表示直线xy10上及右上方的点的集合，x3表示直线x3上及左方的点的集合，所以不等式组表示的平面区域如图阴影部分所示(2)原不等式等价于两个不等式组或在直角坐标系中画出直线x2y10与xy40(画成虚线)取原点(0,0)可以判断：不等式x2y10表示直线x2y10的右上方的点的集合，x2y10表示直线x2y10的左下方区域，xy40表示直线xy40右下方区域所以不等式组表示的平面区域如上图阴影部分所示规律方法 要找不等式组所表示的平面区域关键是精确地画出各不等式所表示的区域，再取它们的公共部分，最后要检查是否包含
6、边界，n个二元一次式的乘积式要等价转化为n个二元一次不等式构成的不等式组画出不等式组表示的平面区域解：在平面直角坐标系中，画出直线3x2y60(实线)，xy10(实线)，4xy40(虚线)，它们把坐标平面分为7个区域，取原点(0,0)，分别代入3x2y6，xy1,4xy4.依次可得302060,0010,40040.所以原点在三个不等式3x2y60，xy10,4xy41.由函数yax的图像特征知，当图像经过区域的边界点A(2,9)时，a可以取到最大值，此时a29，即a3，所以a的取值范围是(1,3【答案】A规律方法 与二元一次不等式组有关的变量范围问题的求解，一般情况下，第一步要正确作出不等式
7、组表示的平面区域，由于变量的存在，此区域为可调整的区域；第二步要结合题意调整区域使之符合题意要求；第三步数形结合构建变量的方程或不等关系求解若直线yax上存在点(x，y)满足条件则实数a的取值范围为1,2解析：作出不等式组所表示的平面区域，如图中阴影部分(ABC及其内部)所示因为yax过坐标原点，其中a表示直线的斜率，所以直线过平面区域内点A时斜率a取得最大值，过平面区域内点B时斜率a取得最小值，又A(1,2)，B(1，1)，所以a的最大值为2，最小值为1，所以实数a的取值范围为1,2类型五二元一次不等式(组)表示实际问题 【例6】要将两种大小不同的钢板截成A、B、C三种规格，每张钢板可同时截
8、得三种规格的小钢板的块数如下表所示：今需要A、B、C三种规格的成品分别15,18,27块，用数学关系式和图形表示上述要求【思路探究】先由题意抽象出不等式并组成不等式组，再画出二元一次不等式组表示的平面区域即可【解】设需截第一种钢板x张，第二种钢板y张，则用图形表示以上限制条件，得到如图所示的平面区域(阴影部分中的整数点)规律方法 理清题目中的变量及相应的数据是解决此类问题的关键一个小型家具厂计划生产两种类型的桌子A和B.每类桌子都要经过打磨、着色、上漆三道工序桌子A需要10 min打磨，6 min着色，6 min上漆；桌子B需要5 min打磨，12 min着色，9 min上漆如果一个工人每天打
9、磨和上漆分别至多工作450 min，着色每天至多工作480 min，请列出满足生产条件的数学关系式，并在直角坐标系中画出相应的平面区域解：设家具厂每天生产A类桌子x张，B类桌子y张对于A类桌子，x张桌子需要打磨10x min，着色6x min，上漆6x min；对于B类桌子，y张桌子需要打磨5y min，着色12y min，上漆9y min.而打磨和上漆工人每天最长工作时间分别是450 min，着色工人每天最长工作时间480 min，所以有10x5y450.类似地，在实际问题中x0，y0，x，yN，所以题目中包含的限制条件为其平面区域如图阴影所示中的整数点易错警示系列平面区域不明致误一般地，二
10、元一次不等式AxByC0在平面直角坐标系中表示直线AxByC0某一侧所有点组成的平面区域(半平面)，且不含边界直线(直线画成虚线)；不等式AxByC0所表示的平面区域(半平面)包含边界直线(直线画成实线)考生应该注意虚线和实线的区别【例7】在平面直角坐标系xOy中，若不等式组表示一个三角形区域，则实数k的取值范围是_【错解】(，1)(0，)【错解分析】题目给出的区域边界两“静”一“动”，可以先画出区域，利用数形结合解决本题很容易在分析动直线的位置时出错，这个错误就出现在当直线yk(x1)1的斜率为正值时，误以为三条直线仍然能够构成三角形【正解】(，1)直线yk(x1)1过定点(1，1)，当这条
11、直线的斜率为负值时，该直线与y轴的交点必须在坐标原点上方，即直线的斜率k(，1)时，可构成三角形区域如图(1)阴影部分所示；当这条直线的斜率为正值时，yk(x1)1所表示的是直线yk(x1)1及其下方的平面，这个区域和已知区域的交集是一个无界区域如图(2)阴影部分所示，不能构成三角形；当直线的斜率为0时，构不成平面区域因此k的取值范围是(，1)故填(，1)已知关于x，y的不等式组所表示的平面区域的面积为4，则k的值为(A)A1B3C1或3 D0解析：kxy20表示的平面区域是含有坐标原点的半平面直线kxy20又过定点(0,2)，这样就可以根据平面区域的面积为4，确定一个封闭的区域，作出平面区域
12、即可求解平面区域应如图阴影部分所示，根据区域的面积为4，得A(2,4)，代入直线方程，得k1.一、选择题1不等式y2x1表示的平面区域为(D)解析：原不等式等价于2xy10，原点在其区域内，易知选D.2下面四个点中，在平面区域内的点是(B)A(0,0) B(0,2)C(3,2) D(2,0)解析：可以验证仅有点(0,2)的坐标是不等式组的解，则点(0,2)在该不等式组表示的平面区域内3不等式组表示的平面区域是(C)解析：x0表示的区域是y轴及其右侧区域，y0表示x轴及其下方区域二、填空题4点P(m，n)不在不等式5x4y10表示的平面区域内，则m，n满足的条件是5m4n10.解析：由题意知P在不等式5x4y10表示的平面区域内，则5m4n10.5以下各点在3x2y6表示的平面区域内的是.(0,0)(1,1)(0,2)(2,0)解析：将点的坐标代入，只有满足上述不等式6若则不等式组表示的区域的面积为.解析：S31.
