1、平面向量数量积及应用学校:_姓名：_班级：_考号：_一、单选题（本大题共5小题，共25.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1. 已知向量，对任意，恒有，则()A. B. C. D. 2. 已知单位向量，的夹角为，则的最小值为()A. B. C. D. 3. 向量旋转具有反映点与点之间特殊对应关系的特征，在电子信息传导方面有重要应用.平面向量旋转公式在中学数学中用于求旋转相关点的轨迹方程具有明显优势，已知对任意平面向量，把绕其起点沿逆时针方向旋转角得到向量，叫做把点B绕点A沿逆时针方向旋转角得到点已知平面内点，点，把点B绕点A沿顺时针方向旋转后得到点P，则点P的坐标为()A. B.
2、 C. D. 4. 在中，若，则实数A. B. C. D. 5. 已知四边形ABCD中，点E在四边形ABCD上运动，则的最小值是()A. 3B. C. D. 二、多选题（本大题共3小题，共15.0分。在每小题有多项符合题目要求）6. 古代典籍周易中的“八卦”思想对我国建筑中有一定影响.下图是受“八卦”的启示，设计的正八边形的八角窗，若O是正八边形ABCDEFGH的中心，且，则()A. 与能构成一组基底B. C. D. 7. 在中，其中，则()A. 当时，B. 当时，C. 当时，D. 当时，8. 如图，已知扇形OAB的半径为1，点C，D分别为线段OA，OB上的动点，且，点E为上的任意一点，则下列
3、结论正确的是()A. 的最小值为0B. 的最小值为C. 的最大值为1D. 的最小值为0三、填空题（本大题共6小题，共30.0分）9. 如图，在平面直角坐标系xOy中，点在以原点O为圆心的圆上已知圆O与y轴正半轴的交点为P，延长AP至点B，使得，则_，_.10. 在等腰梯形ABCD中，已知，动点E和F分别在线段BC和DC上，且，则的最小值为_.11. 已知平面向量，满足与的夹角为锐角，且的最小值为，则实数t的值是_，向量的取值范围是_.12. 已知向量满足：，则_；若t为非零实数，则的最小值为_.13. 如图，在四边形ABCD中，且，则实数的值为_，若M，N是线段BC上的动点，且，则的最小值为_
4、.14. 已知正方形ABCD的边长为当每个取遍时，的最小值是_，最大值是_.答案和解析1.【答案】C【解析】【分析】本题主要考查向量的长度即向量的模的有关问题对两边平方可得关于t的一元二次不等式，为使得不等式恒成立，则一定有【解答】解：已知向量，对任意，恒有即即即故选：2.【答案】C【解析】【分析】本题考查数量积的运算及二次函数的最值，属于基础题.由平面向量数量积的性质及其运算，结合二次函数求最值可得.【解答】解：因为单位向量，的夹角为，所以，因此，故，即的最小值为故选3.【答案】D【解析】【分析】本题考查向量的坐标表示和新定义问题，解题中需要一定的计算能力，属于中档题求出的坐标，由点B绕点A
5、顺时针方向旋转后得到点P，相当于点B绕点A逆时针方向旋转，设出点P的坐标，写出向量的坐标，根据已知给定的公式，得到一个二元一次方程组，解方程组，求出点P的坐标【解答】解：由题意可知，把点B绕点A顺时针方向旋转，即点B绕点A逆时针方向旋转，得到点P，设，则，所以，解得，所以点P的坐标为，故选4.【答案】D【解析】【分析】本题考查向量加减法运算，向量数量积的运算，属较难题.根据向量加减法、数乘的运算，向量数量积的运算求解即可.【解答】解：由，知O为的重心，所以，又，所以，所以，即故选5.【答案】C【解析】【分析】本题考查向量数量积的运算，本题以四边形为载体，将向量知识迁移到几何情景中考查，突出考查
6、了直观想象和运算能力，本题的难点是转化向量，属于较难题根据平面图形的对称性，只需讨论点E在边BC，CD上的运动情况，当点E在边BC上运动时，利用共线向量和向量的加减运算，化简为，再求最小值，同理可得到当点E在边DC上运动时，的最小值【解答】解：由题意可知，四边形ABCD是关于直线BD对称的图形，故点E在四边形ABCD的四条边上运动时，仅需考虑点E在边BC，CD上的运动情况，易知，所以，当点 E 在边 BC 上运动时，设则，当时，取得最小值当点E在边DC上运动时，设，则，当时，取得最小值综上：的最小值是故选：6.【答案】BD【解析】【分析】本题考查平面向量的平行与垂直的判断，考查向量法加法、减法
7、与数乘运算，考查向量的数量积，属于中等题.根据与平行可判断A；利用可判断B；因为，又，所以，可判断C；求出以及，计算，即可判断【解答】解：对于A，如图1所示：因为与平行，所以与不能构成一组基底，A错误；对于B，如图2所示：在正八边形 ABCDEFGH中，所以，B正确；对于C，如图3所示：设AC的中点为M，由正八边形的性质知，所以，又，所以，于是，所以C错误；对于D，如图4所示：因为，所以，D正确.故选7.【答案】AD【解析】【分析】本题考查向量的加减与数乘混合运算、利用向量的数量积求向量的模、向量的数量积的概念及其运算、利用向量的数量积求向量的夹角，属于中档题.当时，再把用，表示可判断当时是边
8、长为4的等边三角形，由可判断B；当时，两边平方化简可判断C；当时，计算出，由向量夹角公式可判断【解答】解：因为，所以与的夹角为对于A，当时，故A正确；对于B，当时，所以是边长为4的等边三角形，故B错误;对于C，当时，所以，所以，故C错误;对于D，当时，所以，所以，所以，因为，所以，故D正确.故选：8.【答案】BCD【解析】【分析】本题考查向量的数量积和三角函数恒等变形，属于较难题.以O为原点，OA所在直线为x轴，OB所在直线为y轴建立平面直角坐标系，由题意可设，从而可以写出各个向量的坐标表示，做数量积运算，利用三角恒等变形即可求出其范围，得到最值.【解答】解：以O为原点，OA所在直线为x轴，O
9、B所在直线为y轴建立平面直角坐标系，则，由题意可设，其中，则，所以，故A错误；，故B正确；，因为，所以的最小值为0，最大值为1，故C，D正确.故选9.【答案】2【解析】【分析】本题考查向量数量积的坐标运算，向量的模.由题可得圆O的半径，P点坐标，进而可得AP所在直线方程，由B点在直线AP上，设出B点坐标，由，求出B点坐标，再计算即可.【解答】解：由题可得圆O的半径，所以，则AP所在直线方程为，即设，则由可得，所以，解得，所以，所以，所以，10.【答案】【解析】【分析】利用等腰梯形的性质结合向量的数量积公式将所求表示为关于的代数式，根据具体的形式求最值本题考查了等腰梯形的性质以及向量的数量积公式
10、的运用、基本不等式求最值；关键是正确表示所求，利用基本不等式求最小值【解答】解：由题意，得到，所以，当且仅当时等号成立；故答案为：11.【答案】【解析】【分析】本题考查向量的数量积，向量的夹角，向量的模，是中档题.先假设向量与的夹角为，对于，通常采用平方法，然后转换为关于 t的二次函数，通过配方法得出最小值，从而求出 t的值;先写出向量与的坐标，再利用设出，其中为参数，然后利用数量积的坐标运算，将目标式转换为三角函数来求最值.【解答】解：设与的夹角为，则，当时，上式有最小值为，的最小值为，的最小值为3，解得，又，此时与的夹角为，且，不妨设，向量的取值范围是故答案为：12.【答案】【解析】【分析
11、】本题考查向量的线性运算，数量积及模的计算，考查三角恒等变换及基本不等式，属于较难题.由条件设，可得，根据，可得，即可求得；结合基本不等式可求得最小值.【解答】解：因为，设，则，于是，整理得，则，即，当且仅当时取等号，故的最小值为故答案为；13.【答案】【解析】【分析】本题考查平面向量的数量积，属于拔高题.可得，利用平面向量数量积的定义求得的值，然后以点为坐标原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系，设点，则点其中，得出关于的函数表达式，利用二次函数的基本性质求得的最小值.【解答】解：，解得，以点B为坐标原点，BC所在直线为x轴建立平面直角坐标系，的坐标为，又，则，设，则其中，所以当时，取得最小值故答案为14.【答案】0【解析】【分析】本题考查向量的加减运算和向量的模的最值求法，注意变形和分类讨论，考查化简运算能力，难度较大由题意可得，化简，由于取遍，由完全平方数的最值，可得所求最值【解答】解：如图，正方形ABCD的边长为1，可得，由于取遍，当，时，可取，可得所求最小值为0；接下来求最大值：，的最大值都为4，但是当或时，可取最大值4，最大值只能取2；当时，或，可取最大值4，最大值只能取可得所求最大值为故答案为：0；
