1、中难提分突破特训(五)1已知数列an满足:a11,an1an,bn.(1)求数列bn的通项公式;(2)求数列an的前n项和Sn.解(1)由an1an,得,又bn,bn1bn,由a11,得b11,累加可得(b2b1)(b3b2)(bnbn1),即bnb11,bn2.(2)由(1)可知an2n,设数列的前n项和为Tn,则Tn,Tn, ,得Tn2,Tn4.易知数列2n的前n项和为n(n1),Snn(n1)4.2如图,在直角梯形ABED中,ABDE,ABBE,且AB2DE2BE,点C是AB的中点,现将ACD沿CD折起,使点A到达点P的位置(1)求证:平面PBC平面PEB;(2)若PE与平面PBC所成的
2、角为45,求平面PDE与平面PBC所成锐二面角的余弦值解(1)证明:ABDE,AB2DE,点C是AB的中点,CBED,CBED,四边形BCDE为平行四边形,CDEB,又EBAB,CDAB,CDPC,CDBC,CD平面PBC,EB平面PBC,又EB平面PEB,平面PBC平面PEB.(2)由(1)知EB平面PBC,EPB即为PE与平面PBC所成的角,EPB45,EB平面PBC,EBPB,PBE为等腰直角三角形,EBPBBCPC,故PBC为等边三角形,取BC的中点O,连接PO,则POBC,EB平面PBC,又EB平面EBCD,平面EBCD平面PBC,又PO平面PBC,PO平面EBCD,以O为坐标原点,
3、过点O与BE平行的直线为x轴,CB所在的直线为y轴,OP所在的直线为z轴建立空间直角坐标系如图,设BC2,则B(0,1,0),E(2,1,0),D(2,1,0),P(0,0,),从而(0,2,0),(2,1,),设平面PDE的一个法向量为m(x,y,z),则由得令z2得m(,0,2),又平面PBC的一个法向量n(1,0,0),则cosm,n,所以,平面PDE与平面PBC所成锐二面角的余弦值为.3有一片产量很大的水果种植园,在临近成熟时随机摘下某品种水果100个,其质量(均在1至11 kg)频数分布表如下(单位:kg):分组1,3)3,5)5,7)7,9)9,11)频数103040155以各组数
4、据的中间值代表这组数据的平均值,将频率视为概率(1)由种植经验认为,种植园内的水果质量X近似服从正态分布N(,2),其中近似为样本平均数,24.请估计该种植园内水果质量在(5.5,9.5)内的百分比;(2)现在从质量为1,3),3,5),5,7)的三组水果中,用分层抽样方法抽取8个水果,再从这8个水果中随机抽取2个若水果质量在1,3),3,5),5,7)的水果每销售一个所获得的利润分别为2元、4元、6元,记随机抽取的2个水果总利润为Y元,求Y的分布列和数学期望附:若服从正态分布N(,2),则P()0.6826,P(22)0.9544.解(1)(210430640815105)5.5,由正态分布
5、知,P(5.5X9.5)P(2)P(22)0.95440.4772.该种植园内水果质量在(5.5,9.5)内的百分比为47.72%.(2)由题意知,从质量在1,3),3,5),5,7)的三组水果中抽取的个数分别为1,3,4,Y的取值为6,8,10,12.则P(Y6);P(Y8);P(Y10);P(Y12).所以Y的分布列为Y681012PE(Y)6810129.5.4在平面直角坐标系xOy中,曲线C1的参数方程为(为参数),以原点O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C2的极坐标方程为cos2sin(0,0)(1)写出曲线C1的极坐标方程,并求C1与C2交点的极坐标;(2)射线与曲线C1,C2分别交于点A,B(A,B异于原点),求的取值范围解(1)由题意可得曲线C1的普通方程为x2(y2)24,把xcos,ysin代入,得曲线C1的极坐标方程为4sin,联立C1,C2的极坐标方程,得得4sincos2sin,此时0,综上可得,不等式的解集为.(2)若对任意的tR,sR,都有g(s)f(t),可得g(x)minf(x)max.函数f(x)|2x1|2x3|2x1(2x3)|4,f(x)max4.g(x)|x1|xa|x1(xa)|a1|,故g(x)min|a1|,|a1|4,a14或a14,解得a3或a5,故a的取值范围为a|a3或a5