1、八等比数列的性质及应用(25分钟50分)一、选择题(每小题5分,共20分,多选题全部选对的得5分,选对但不全的得3分,有选错的得0分)1.已知数列an是等比数列,且每一项都是正数,若a1=1,a2 019=3,则a1 010的值为()A.9B.C.D.3【解析】选B.因为数列an是等比数列,且每一项都是正数,a1=1,a2 019=3,所以,所以a1 010=1q1 009=.2.(2020郑州高二检测)记等比数列an满足2a2-5a3=3a4,则公比q=()A.B.或-2C.2D.【解析】选B.因为等比数列an满足2a2-5a3=3a4,依题意,2a2-5a2q=3a2q2,即3q2+5q-
2、2=0,故(3q-1)(q+2)=0,解得q=或q=-2.3.在3和一个未知数间填上一个数,使三数成等差数列,若中间项减去6,则成等比数列,则此未知数是()A.3或27B.36C.9D.15【解析】选A.设此三数为3,a,b,则解得或所以这个未知数为3或27.4.(多选题)(2020连云港高二检测)已知等比数列an中,满足a1=1,公比q=-2,则()A.数列2an+an+1是等比数列B.数列an+1-an是等比数列C.数列anan+1是等比数列D.数列log2|an|是递减数列【解析】选BC.因为等比数列an中,满足a1=1,公比q=-2,所以an=1(-2)n-1=(-2)n-1.由此可得
3、2an+an+1=2(-2)n-1+(-2)n=0,A错误;an+1-an=(-2)n-(-2)n-1=-3(-2)n-1,故数列an+1-an是等比数列,B正确;anan+1=(-2)n-1(-2)n=(-2)2n-1,故数列anan+1是等比数列,C正确;log2|an|=log22n-1=n-1,故数列log2|an|是递增数列,D错误.二、填空题(每小题5分,共10分)5.已知数列an满足log2an+1-log2an=1,则=_.【解析】因为log2an+1-log2an=1,所以=2,所以数列an是公比q为2的等比数列,所以=q2=4.答案:4【加练固】已知数列an满足an+1=3
4、an,且a2a4a6=9,则log3a5+log3a7+log3a9=()A.5B.6C.8D.11【解析】选D.根据题意,数列an满足an+1=3an,则数列an为等比数列,且其公比q=3,若a2a4a6=9,则(a4)3=a2a4a6=9,则log3a5+log3a7+log3a9=log3(a5a7a9)=log3(a7)3=log3(a4q3)3=11.6.已知公比为q的等比数列an中,前4项的和为a1+14,且a2,a3+1,a4成等差数列,则公比q=_.【解析】由已知可得a2+a3+a4=14,a2+a4=2a3+2,所以a3=4,a2+a4=10,所以=,即2q2-5q+2=0解
5、得q=2或q=.答案:2或三、解答题(每小题10分,共20分)7.已知等差数列an的前n项和为Sn,公差为d.(1)若d=1且S5=a1a9,求数列an的通项公式;(2)若a1,a3,a4成等比数列,求公比q.【解析】(1)因为d=1且S5=a1a9,所以5a1+1=a1(a1+8),解得a1=-5,或a1=2,当a1=-5时,an=-5+n-1=n-6,当a1=2时,an=2+n-1=n+1.(2)因为a1,a3,a4成等比数列,所以=a1a4,所以(a1+2d)2=a1(a1+3d),整理可得d(a1+4d)=0,则d=0或a1=-4d,当d=0时,公比q为1,当d0,a1=-4d时,q=
6、.8.(2020武汉高二检测)若等比数列an的前n项和为Sn,满足a4-a1=S3,a5-a1=15.(1)求数列an的首项a1和公比q;(2)若ann+100,求n的取值范围.【解析】(1)因为a4-a1=S3,a5-a1=15.显然公比q1,所以,解得q=2,a1=1.(2)由(1)可得an=2n-1,因为ann+100,即2n-1n+100,验证可得,n8,nN*. (15分钟30分)1.(5分)(2020崇左高二检测)在等比数列an中,若a2+a5=3,a5+a8=6,则a11= ()A.4B.8C.16D.32【解析】选B.因为a2+a5=3,a5+a8=6,所以q3=2,因为a2+
7、a5=a2(1+q3)=3,所以a2=1,则a11=a2q9=123=8.2.(5分)两个公比均不为1的等比数列an,bn,其前n项的乘积分别为An,Bn,若=2,则=()A.512B.32C.8D.2【解析】选A.因为A9=a1a2a3a9=,B9=b1b2b3b9=,所以=512.3.(5分)在正项等比数列an中,an+1an,a2a8=6,a4+a6=5,则=_.【解析】因为数列an是正项等比数列,且a2a8=6,a4+a6=5,所以a4a6=a2a8=6,a4+a6=5,联立得a4=2,a6=3或a4=3,a6=2,因为an+10).数列bn满足bn=anan+1(nN*).(1)若a
8、n是等差数列,且b3=12,求a的值及an的通项公式;(2)当bn是公比为a-1的等比数列时,an能否为等比数列?若能,求出a的值;若不能,请说明理由.【解析】(1)因为an是等差数列,a1=1,a2=a,bn=ana n+1,b3=12,所以b3=a3a4=(a1+2d)(a1+3d)=(1+2d)(1+3d)=12,即d=1或d=-,又因为a=a1+d=1+d0,得d-1,所以d=1,a=2,所以an=n.(2)an不能为等比数列,理由如下:因为bn=anan+1,bn是公比为a-1的等比数列,所以=a-1,所以a3=a-1,假设an为等比数列,由a1=1,a2=a得a3=a2,所以a2=a-1,所以此方程无解,所以数列an一定不为等比数列.关闭Word文档返回原板块
