1、难点33 函数的连续及其应用函数的连续性是新教材新增加的内容之一.它把高中的极限知识与大学知识紧密联在一起.在高考中，必将这一块内容溶入到函数内容中去，因而一定成为高考的又一个热点.本节内容重点阐述这一块知识的知识结构体系.难点磁场()已知函数f(x)=(1)讨论f(x)在点x=1,0,1处的连续性；(2)求f(x)的连续区间.案例探究例1已知函数f(x)=,(1)求f(x)的定义域，并作出函数的图象；(2)求f(x)的不连续点x0;(3)对f(x)补充定义，使其是R上的连续函数.命题意图：函数的连续性，尤其是在某定点处的连续性在函数图象上有最直观的反映.因而画函数图象去直观反映题目中的连续性
2、问题也就成为一种最重要的方法.知识依托：本题是分式函数，所以解答本题的闪光点是能准确画出它的图象.错解分析：第(3)问是本题的难点，考生通过自己对所学连续函数定义的了解.应明确知道第(3)问是求的分数函数解析式.技巧与方法：对分式化简变形，注意等价性，观察图象进行解答.解：(1)当x+20时，有x2因此，函数的定义域是(,2)(2,+)当x2时，f(x)= =x2,其图象如上图(2)由定义域知，函数f(x)的不连续点是x0=2.(3)因为当x2时，f(x)=x2,所以=4.因此，将f(x)的表达式改写为f(x)=则函数f(x)在R上是连续函数.例2求证：方程x=asinx+b(a0,b0)至少
3、有一个正根，且它不大于a+b.命题意图：要判定方程f(x)=0是否有实根.即判定对应的连续函数y=f(x)的图象是否与x轴有交点，因此根据连续函数的性质，只要找到图象上的两点，满足一点在x轴上方，另一点在x轴下方即可.本题主要考查这种解题方法.知识依托：解答本题的闪光点要找到合适的两点，使函数值其一为负，另一为正.错解分析：因为本题为超越方程，因而考生最易想到画图象观察，而忽视连续性的性质在解这类题目中的简便作用.证明：设f(x)=asinx+bx,则f(0)=b0,f(a+b)=asin(a+b)+b(a+b)=asin(a+b)10,又f(x)在(0,a+b内是连续函数，所以存在一个x0(
4、0,a+b，使f(x0)=0,即x0是方程f(x)=0的根，也就是方程x=asinx+b的根.因此，方程x=asinx+b至少存在一个正根，且它不大于a+b.锦囊妙计1.深刻理解函数f(x)在x0处连续的概念：等式f(x)=f(x0)的涵义是：(1)f(x0)在x=x0处有定义，即f(x0)存在；(2)f(x)存在，这里隐含着f(x)在点x=x0附近有定义；(3)f(x)在点x0处的极限值等于这一点的函数值，即f(x)=f(x0).函数f(x)在x0处连续，反映在图象上是f(x)的图象在点x=x0处是不间断的.2.函数f(x)在点x0不连续，就是f(x)的图象在点x=x0处是间断的.其情形：(
5、1)f(x)存在；f(x0)存在，但f(x)f(x0);(2)f(x)存在，但f(x0)不存在.(3) f(x)不存在.3.由连续函数的定义，可以得到计算函数极限的一种方法：如果函数f(x)在其定义区间内是连续的，点x0是定义区间内的一点，那么求xx0时函数f(x)的极限，只要求出f(x)在点x0处的函数值f(x0)就可以了，即f(x)=f(x0).歼灭难点训练一、选择题1.()若f(x)=在点x=0处连续，则f(0)等于( )A. B.C.1D.02.()设f(x)=则f(x)的连续区间为( )A.(0，2)B.(0，1)C.(0，1)(1，2)D.(1，2)二、填空题3.() =_.4.(
6、)若f(x)=处处连续，则a的值为_.三、解答题5.()已知函数f(x)=(1)f(x)在x=0处是否连续？说明理由；(2)讨论f(x)在闭区间1,0和0,1上的连续性.6.()已知f(x)=(1)求f(x);(2)求常数a的值，使f(x)在区间(,+)内处处连续.7.()求证任何一个实系数一元三次方程a0x3+a1x2+a2x+a3=0(a0,a1,a2,a3R,a00)至少有一个实数根.8.()求函数f(x)=的不连续点和连续区间.参考答案难点磁场解：(1)f(x)=3, f(x)=1,所以f(x)不存在，所以f(x)在x=1处不连续，但f(x)=f(1)=1, f(x)f(1),所以f(
7、x)在x=1处右连续，左不连续f(x)=3=f(1), f(x)不存在，所以f(x)不存在，所以f(x)在x=1不连续，但左连续，右不连续.又f(x)=f(0)=0,所以f(x)在x=0处连续.(2)f(x)中，区间(,1),1,1,(1,5上的三个函数都是初等函数，因此f(x)除不连续点x=1外，再也无不连续点，所以f(x)的连续区间是(,1),1,1和(1,5.歼灭难点训练一、1.解析：答案：A2.解析：即f(x)在x=1点不连续，显知f(x)在(0,1)和(1,2)连续.答案：C二、3.解析：利用函数的连续性，即,答案：答案：三、5.解：f(x)=(1) f(x)=1, f(x)=1,所
8、以f(x)不存在，故f(x)在x=0处不连续.(2)f(x)在(,+)上除x=0外，再无间断点，由(1)知f(x)在x=0处右连续，所以f(x)在1，0上是不连续函数，在0,1上是连续函数.6.解：(1)f(x)=(2)要使f(x)在(,+)内处处连续，只要f(x)在x=0连续，f(x)= =f(x)=(a+bx)=a,因为要f(x)在x=0处连续，只要 f(x)= f(x)= f(x)=f(0),所以a=7.证明：设f(x)=a0x3+a1x2+a2x+a3,函数f(x)在(,+)连续，且x+时，f(x)+;x时，f(x),所以必存在a(,+),b(,+),使f(a)f(b)0,所以f(x)的图象至少在(a,b)上穿过x轴一次，即f(x)=0至少有一实根.8.解：不连续点是x=1,连续区间是(,1),(1,+)
