1、等比数列 探考情 悟真题【考情探究】考点 内容解读 5 年考情 预测 热度 考题示例 考向 关联考点 1.等比数列及其性质(1)理解等比数列的概念.(2)掌握等比数列的通项公式与前 n 项和公式.(3)能在具体的问题情境中识别数列的等比关系,并能用有关知识解决相应的问题.(4)了解等比数列与指数函数的关系 2019 课标,14,5分 等比数列的通项公式 及前 n 项和公式 2018 课标,17,12分 等比数列的通项公式及前 n 项和公式 指数的运算 2017 课标,3,5 分 等比数列的前 n 项和公式 数学文化为背景的应用问题 2016 课标,15,5分 等比数列的通项公式 最值问题 2.
2、等比数列的前 n项和 2016 课标,17,12分 等比数列的判定 由 an与 Sn的关系求数列的通项公式 2015 课标,4,5 分 等比数列的通项公式 分析解读 本节是高考的考查热点,主要考查等比数列的基本运算和性质,等比数列的通项公式和前 n 项和公式,尤其要注意以数学文化为背景的数列题,题型既有选择题、填空题,也有解答题.考查学生的数学运算和逻辑推理能力以及学生对函数与方程、转化与化归和分类讨论思想的应用.破考点 练考向【考点集训】考点一 等比数列及其性质 1.(2020 届贵州贵阳摸底,10)等比数列an的各项均为正数,且 a5a6+a4a7=18,则 log3a1+log3a2+l
3、og3a10=()A.12 B.10 C.8 D.2+log35 答案 B 2.(2019 湖南衡阳一模,8)在等比数列an中,a1a3=a4=4,则 a6的所有可能值构成的集合是()A.6 B.-8,8 C.-8 D.8 答案 D 3.(2018 天津滨海新区七所重点学校联考,11)等比数列an中,各项都是正数,且 a1,12a3,2a2成等差数列,则13+1414+15=.答案 2-1 考点二 等比数列的前 n 项和 1.(2020 届重庆一中 10 月月考,7)等比数列an的前 n 项和为 Sn,且 3a2,2a3,a4成等差数列,则33=()A.139 B.3 或139 C.3 D.7
4、9或139 答案 B 2.(2020 届四川天府名校第一次联考,4)已知数列an各项都是正数,且满足 an+2an=+12(nN*),a5=16,a7=64,则数列an的前 3 项的和等于()A.7 B.15 C.31 D.63 答案 A 3.(2019 湖南郴州一模,6)在数列an中,满足 a1=2,2=an-1an+1(n2,nN*),Sn为an的前 n 项和,若 a6=64,则 S7的值为()A.126 B.256 C.255 D.254 答案 D 炼技法 提能力【方法集训】方法 等比数列的判定与证明 1.(2020 届安徽合肥一中 9 月月考,11)关于数列an,给出下列命题:数列an
5、满足 an=2an-1(n2,nN*),则数列an是公比为 2 的等比数列;“a,b 的等比中项为 G”是“G2=ab”的充分不必要条件;数列an是公比为 q的等比数列,则其前 n 项和 Sn=1(1-)1-;等比数列an的前 n 项和为 Sn,则 S4,S8-S4,S12-S8成等比数列,其中,真命题的序号是()A.B.C.D.答案 C 2.下列结论正确的是()A.若数列an的前 n 项和 Sn=n2+n+1,则an为等差数列 B.若数列an的前 n 项和 Sn=2n-2,则an为等比数列 C.非零实数 a,b,c 不全相等,若 a,b,c 成等差数列,则1,1,1也可能构成等差数列 D.非
6、零实数 a,b,c 不全相等,若 a,b,c 成等比数列,则1,1,1一定构成等比数列 答案 D 3.(2019 四川宜宾第三次诊断,17)设数列an的前 n 项和为 Sn,Sn=32an-1.(1)求证:an是等比数列;(2)求an的通项公式,并判断an中是否存在三项成等差数列.若存在,请举例说明;若不存在,请说明理由.解析(1)证明:当 n=1 时,a1=32a1-1,a1=2.当 n2 时,Sn=32an-1,Sn-1=32an-1-1,an=32an-32an-1,an=3an-1.an0,-1=3,an是等比数列.(2)由(1)知,数列an是等比数列,且首项为 2,公比为 3,an=
7、23n-1,nN*,数列an各项都是正的,且是单调递增的.假设数列an中存在三项 ar,as,at(其中 r,s,tN*)构成等差数列,不妨设 rst,则 ar+at=2as,即 23r-1+23t-1=223s-1,即 3r+3t=23s,即 3r-s+3t-s=2.rs0+31=3,这与 3r-s+3t-s=2 相矛盾,数列an中不存在三项构成等差数列.【五年高考】A 组 统一命题课标卷题组 考点一 等比数列及其性质 1.(2019 课标,5,5 分)已知各项均为正数的等比数列an的前 4 项和为 15,且 a5=3a3+4a1,则 a3=()A.16 B.8 C.4 D.2 答案 C 2
8、.(2016 课标,15,5 分)设等比数列an满足 a1+a3=10,a2+a4=5,则 a1a2an的最大值为 .答案 64 3.(2018 课标全国,17,12 分)已知数列an满足 a1=1,nan+1=2(n+1)an.设 bn=.(1)求 b1,b2,b3;(2)判断数列bn是不是等比数列,并说明理由;(3)求an的通项公式.解析(1)由条件可得 an+1=2(+1)an.将 n=1 代入得,a2=4a1,而 a1=1,所以 a2=4.将 n=2 代入得,a3=3a2,所以 a3=12.从而 b1=1,b2=2,b3=4.(2)bn是首项为 1,公比为 2 的等比数列.由条件可得+
9、1+1=2,即 bn+1=2bn,又 b1=1,所以bn是首项为 1,公比为 2 的等比数列.(3)由(2)可得=2n-1,所以 an=n2n-1.4.(2016 课标,17,12 分)已知数列an的前 n 项和 Sn=1+an,其中 0.(1)证明an是等比数列,并求其通项公式;(2)若 S5=3132,求.解析(1)由题意得 a1=S1=1+a1,故 1,a1=11-,a10.由 Sn=1+an,Sn+1=1+an+1得 an+1=an+1-an,即 an+1(-1)=an.由 a10,0 得 an0,所以+1=-1.因此an是首项为11-,公比为-1的等比数列,于是 an=11-(-1)
10、-1.(2)由(1)得 Sn=1-(-1).由 S5=3132得 1-(-1)5=3132,即(-1)5=132.解得=-1.思路分析(1)先由题设利用 an+1=Sn+1-Sn得到 an+1与 an的关系式,要证数列是等比数列,关键是看 an+1与 an之比是不是非零常数,其中说明 an0 是非常重要的.(2)利用第(1)问的结论解方程求出.考点二 等比数列的前 n 项和 1.(2017 课标,3,5 分)我国古代数学名著算法统宗中有如下问题:“远望巍巍塔七层,红光点点倍加增,共灯三百八十一,请问尖头几盏灯?”意思是:一座 7 层塔共挂了 381 盏灯,且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的
11、 2 倍,则塔的顶层共有灯()A.1 盏 B.3 盏 C.5 盏 D.9 盏 答案 B 2.(2019 课标,14,5 分)记 Sn为等比数列an的前 n 项和.若 a1=13,42=a6,则 S5=.答案 1213 3.(2018 课标,17,12 分)等比数列an中,a1=1,a5=4a3.(1)求an的通项公式;(2)记 Sn为an的前 n 项和.若 Sm=63,求 m.解析 本题考查等比数列的概念及其运算.(1)设an的公比为 q,由题设得 an=qn-1.由已知得 q4=4q2,解得 q=0(舍去)或 q=-2 或 q=2.故 an=(-2)n-1或 an=2n-1.(2)若 an=
12、(-2)n-1,则 Sn=1-(-2)3.由 Sm=63 得(-2)m=-188.此方程没有正整数解.若 an=2n-1,则 Sn=2n-1.由 Sm=63 得 2m=64,解得 m=6.综上,m=6.易错警示 解方程时,对根的检验易漏.求解等比数列的公比时,要结合题意进行讨论、取值,避免产生错解.解后反思 等比数列基本量运算问题的常见类型及解题策略(1)求通项公式.求出等比数列的两个基本量 a1和 q 后,通项公式便可求出.(2)求特定项.利用通项公式或者等比数列的性质求解.(3)求公比.利用等比数列的定义和性质建立方程(组)求解.(4)求前 n 项和.直接将基本量代入等比数列的前 n 项和
13、公式求解或利用等比数列的性质求解.B 组 自主命题省(区、市)卷题组 考点一 等比数列及其性质 1.(2018 北京,4,5 分)“十二平均律”是通用的音律体系,明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例,为这个理论的发展做出了重要贡献.十二平均律将一个纯八度音程分成十二份,依次得到十三个单音,从第二个单音起,每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于 212.若第一个单音的频率为 f,则第八个单音的频率为()A.23f B.223f C.2512f D.2712f 答案 D 2.(2016 天津,5,5 分)设an是首项为正数的等比数列,公比为 q,则“q0”是“对任意的正整数 n,a2n
14、-1+a2n1,则()A.a1a3,a2a3,a2a4 C.a1a4 D.a1a3,a2a4 答案 B 2.(2015 课标,4,5 分)已知等比数列an满足 a1=3,a1+a3+a5=21,则 a3+a5+a7=()A.21 B.42 C.63 D.84 答案 B 3.(2012 课标,5,5 分)已知an为等比数列,a4+a7=2,a5a6=-8,则 a1+a10=()A.7 B.5 C.-5 D.-7 答案 D 4.(2016 四川,19,12 分)已知数列an的首项为 1,Sn为数列an的前 n 项和,Sn+1=qSn+1,其中 q0,nN*.(1)若 2a2,a3,a2+2 成等差
15、数列,求数列an的通项公式;(2)设双曲线 x2-22=1 的离心率为 en,且 e2=53,证明:e1+e2+en4-33-1.解析(1)由已知,Sn+1=qSn+1,Sn+2=qSn+1+1,两式相减得到 an+2=qan+1,n1.又由 S2=qS1+1 得到 a2=qa1,故 an+1=qan对所有 n1 都成立.所以,数列an是首项为 1,公比为 q 的等比数列.从而 an=qn-1.由 2a2,a3,a2+2 成等差数列,可得 2a3=3a2+2,即 2q2=3q+2,则(2q+1)(q-2)=0,由已知,q0,故 q=2.所以 an=2n-1(nN*).(2)证明:由(1)可知,
16、an=qn-1.所以双曲线 x2-22=1 的离心率 en=1+2=1+2(-1).由 e2=1+2=53,解得 q=43.因为 1+q2(k-1)q2(k-1),所以1+2(-1)qk-1(kN*).于是 e1+e2+en1+q+qn-1=-1-1,故 e1+e2+en4-33-1.5.(2015 江苏,20,16 分)设 a1,a2,a3,a4是各项为正数且公差为 d(d0)的等差数列.(1)证明:21,22,23,24依次构成等比数列;(2)是否存在 a1,d,使得 a1,22,33,44依次构成等比数列?并说明理由;(3)是否存在 a1,d 及正整数 n,k,使得1,2+,3+2,4+
17、3依次构成等比数列?并说明理由.解析(1)证明:因为2+12=2+1-=2d(n=1,2,3)是同一个常数,所以21,22,23,24依次构成等比数列.(2)令 a1+d=a,则 a1,a2,a3,a4分别为 a-d,a,a+d,a+2d(ad,a-2d,d0).假设存在 a1,d,使得 a1,22,33,44依次构成等比数列,则 a4=(a-d)(a+d)3,且(a+d)6=a2(a+2d)4.令 t=,则 1=(1-t)(1+t)3,且(1+t)6=(1+2t)4(-12 t -13,t 0),则(1+2t)n+2k=(1+t)2(n+k),且(1+t)n+k(1+3t)n+3k=(1+2
18、t)2(n+2k).将上述两个等式两边取对数,得(n+2k)ln(1+2t)=2(n+k)ln(1+t),且(n+k)ln(1+t)+(n+3k)ln(1+3t)=2(n+2k)ln(1+2t).化简得 2kln(1+2t)-ln(1+t)=n2ln(1+t)-ln(1+2t),且 3kln(1+3t)-ln(1+t)=n3ln(1+t)-ln(1+3t).再将这两式相除,化简得 ln(1+3t)ln(1+2t)+3ln(1+2t)ln(1+t)=4ln(1+3t)ln(1+t)(*).令 g(t)=4ln(1+3t)ln(1+t)-ln(1+3t)ln(1+2t)-3ln(1+2t)ln(1
19、+t),则 g(t)=2(1+3)2ln(1+3)-3(1+2)2ln(1+2)+3(1+)2ln(1+)(1+)(1+2)(1+3).令(t)=(1+3t)2ln(1+3t)-3(1+2t)2ln(1+2t)+3(1+t)2ln(1+t),则(t)=6(1+3t)ln(1+3t)-2(1+2t)ln(1+2t)+(1+t)ln(1+t).令 1(t)=(t),则 1(t)=63ln(1+3t)-4ln(1+2t)+ln(1+t).令 2(t)=1(t),则 2(t)=12(1+)(1+2)(1+3)0.由 g(0)=(0)=1(0)=2(0)=0,2(t)0,知 2(t),1(t),(t),
20、g(t)在(-13,0)和(0,+)上均单调.故 g(t)只有唯一零点 t=0,即方程(*)只有唯一解 t=0,故假设不成立.所以不存在 a1,d 及正整数 n,k,使得1,2+,3+2,4+3依次构成等比数列.评析本题考查等差数列的定义、等比数列的运算和综合应用,考查演绎推理、直接证明、间接证明等逻辑思维能力.考点二 等比数列的前 n 项和 1.(2013 课标,3,5 分)等比数列an的前 n 项和为 Sn,已知 S3=a2+10a1,a5=9,则 a1=()A.13 B.-13 C.19 D.-19 答案 C 2.(2015 安徽,14,5 分)已知数列an是递增的等比数列,a1+a4=
21、9,a2a3=8,则数列an的前 n 项和等于 .答案 2n-1 3.(2015 山东,18,12 分)设数列an的前 n 项和为 Sn.已知 2Sn=3n+3.(1)求an的通项公式;(2)若数列bn满足 anbn=log3an,求bn的前 n 项和 Tn.解析(1)因为 2Sn=3n+3,所以 2a1=3+3,故 a1=3,当 n1 时,2Sn-1=3n-1+3,此时 2an=2Sn-2Sn-1=3n-3n-1=23n-1,即 an=3n-1,所以 an=3,=1,3-1,1.(2)因为 anbn=log3an,所以 b1=13,当 n1 时,bn=31-nlog33n-1=(n-1)31
22、-n.所以 T1=b1=13;当 n1 时,Tn=b1+b2+b3+bn=13+13-1+23-2+(n-1)31-n,所以 3Tn=1+130+23-1+(n-1)32-n,两式相减,得 2Tn=23+(30+3-1+3-2+32-n)-(n-1)31-n=23+1-31-1-3-1-(n-1)31-n=136-6+323,所以 Tn=1312-6+343(n1).经检验,n=1 时也适合.综上可得 Tn=1312-6+343(nN*).4.(2014 课标,17,12 分)已知数列an满足 a1=1,an+1=3an+1.(1)证明+12是等比数列,并求an的通项公式;(2)证明11+12
23、+132.解析(1)由 an+1=3an+1 得 an+1+12=3(+12).又 a1+12=32,所以+12是首项为32,公比为 3 的等比数列.所以 an+12=32,因此an的通项公式为 an=3-12.(2)由(1)知1=23-1.因为当 n1 时,3n-123n-1,所以13-1123-1.于是11+12+11+13+13-1=32(1-13)32.所以11+12+11 的 n 的最小值为()A.4 B.5 C.6 D.7 答案 C 3.(2020 届黑龙江哈尔滨三中月考,10)定义在(-,0)(0,+)上的函数 f(x),如果对于任意给定的等比数列an,若f(an)仍是等比数列,
24、则称 f(x)为“保等比数列函数”.现有定义在(-,0)(0,+)上的如下函数:f(x)=x3;f(x)=ex;f(x)=|;f(x)=ln|x|.则其中是“保等比数列函数”的序号为()A.B.C.D.答案 C 4.(2019 福建宁德期末质量检测,11)某市利用第十六届省运会的契机,鼓励全民健身,从 2018 年 7 月起向全市投放 A,B 两种型号的健身器材.已知 7 月份投放 A 型健身器材 300 台,B 型健身器材 64 台,计划从 8 月起,A 型健身器材每月的投放量均为 a 台,B 型健身器材每月的投放量比上一月多 50%,若 12 月月底该市 A,B 两种健身器材投放总量不少于
25、 2000 台,则 a 的最小值为()A.243 B.172 C.122 D.74 答案 D 5.(2018 河南六市第一次联考(一模),10)若正项递增等比数列an满足 1+(a2-a4)+(a3-a5)=0(R),则a6+a7的最小值为()A.-2 B.-4 C.2 D.4 答案 D 6.(2018 湖南湘潭三模,9)已知等比数列an的前 n 项积为 Tn,若 a1=-24,a4=-89,则当 Tn取最大值时,n 的值为()A.2 B.3 C.4 D.6 答案 C 二、填空题(每小题 5 分,共 15 分)7.(2020 届云南师大附中高三月考,13)记 Sn为等比数列an的前 n 项和,
26、若 3S4=2S3+S5,a2=4,则 a6=.答案 64 8.(2020 届江西宜春重点高中第一次月考,15)若存在等比数列an,使得 a1(a2+a3)=6a1-9,则公比 q 的取值范围为 .答案-1-52,0)(0,-1+52 9.(2019 河南洛阳第二次统考,14)等比数列an的各项均为正数,且 a10a11+a8a13=64,则log2a1+log2a2+log2a20=.答案 50 三、解答题(共 20 分)10.(2020 届五省创优名校第二次联考,17)设等比数列an的前 n 项和为 Sn,a1+a3=10,S4=40.(1)求an的通项公式;(2)若 bn=(n+2)lo
27、g3an+1,求1的前 n 项和 Tn.解析 本题考查了等比数列通项公式及求和公式的应用,考查了裂项相消法求和,主要考查考生的数学运算和逻辑推理能力.(1)设等比数列an的公比为 q,显然 q1,则1+12=1(1+2)=10,1(1-4)1-=1(1+2)(1+q)=40,解得 a1=1,q=3,故 an=a1qn-1=3n-1.(2)因为 an=3n-1,所以 an+1=3n,所以 bn=(n+2)log3an+1=n(n+2),所以1=1(+2)=12(1-1+2),故 Tn=12(1-13)+(12-14)+(13-15)+(14-16)+(1-1-1+1)+(1-1+2),即 Tn=
28、12(1+12-1+1-1+2)=34-2+32(+1)(+2).11.(2020 届陕西百校联盟九月联考,17)记首项为 1 的数列an的前 n 项和为 Sn,且 23nSn=(3n-1)an+1.(1)求证:数列an是等比数列;(2)若 bn=(-1)n(log9an)2,求数列bn的前 2n 项和.解析(1)证明:依题意,得 2Sn=(1-13)an+1,2Sn+1=(1-13+1)an+2,(1 分)两式相减,可得(1-13+1)(an+2-3an+1)=0,故 an+2=3an+1,(3 分)又 6S1=2a2,故 a2=3a1,(4 分)故数列an是以 1 为首项,3 为公比的等比数列.(5 分)(2)由(1)可知 an=3n-1,所以 bn=(-1)n(log9an)2=(-1)n(log93n-1)2=14(-1)n(n-1)2,(7 分)故 b2n-1+b2n=14(-1)2n-1(2n-2)2+(-1)2n(2n-1)2=14(4n-3),(8 分)记数列bn的前 2n 项和为 T2n,则 T2n=141+5+9+(4n-3)=12n2-14n.(10 分)
