1、第2课时数学归纳法的应用1.用数学归纳法证明“2nn2+1对于nn0的自然数n都成立”时,第一步验证中的起始值n0应取()A.2B.3C.5D.6解析:当n取1,2,3,4时,2nn2+1均不成立,当n=5时,25=3252+1=26,故第一个能使2nn2+1的n值为5,故选C.答案:C2.用数学归纳法证明+1 (nN+,n2),由“n=k到n=k+1”时,不等式左端的变化是()A.增加一项B.增加两项C.增加两项,同时减少一项D.以上都不对解析:当n=k时,左边=+,当n=k+1时,左边=+=+,因此增加两项,同时减少一项.答案:C3.已知f(x)是定义在正整数集上的函数,且f(x)满足:“
2、当f(k)k2成立时,总可推出f(k+1)(k+1)2成立”,那么下列命题总成立的是()A.若f(3)9成立,则当k1时,均有f(k)k2成立B.若f(5)25成立,则当k4时,均有f(k)k2成立C.若f(7)7时,均有f(k)16=42成立,故当k4时,均有f(k)k2成立.答案:D4.在用数学归纳法证明“n3+(n+1)3+(n+2)3(nN+)能被9整除”的过程中,利用归纳假设证明当n=k+1命题成立时,只需展开()A.(k+3)3B.(k+2)3C.(k+1)3D.(k+1)3+(k+2)3解析:当n=k时,k3+(k+1)3+(k+2)3能被9整除,当n=k+1时,(k+1)3+(
3、k+2)3+(k+3)3=k3+(k+1)3+(k+2)3+(k+3)3-k3,所以只需展开(k+3)3即可.答案:A5.用数学归纳法证明不等式1+(nN+)成立,其初始值至少应取()A.7B.8C.9D.10解析:左边=1+=2-,代入验证可知n的最小值是8.答案:B6.若凸k边形内角和为f(k),则凸k+1边形的内角和为f(k+1)=f(k)+.解析:连接凸k+1边形A1A2Ak+1中的两个顶点A1,Ak,即得到一个三角形和一个凸k边形,因此,f(k+1)=+f(k).答案:7.用数学归纳法证明“n3+5n能被6整除”的过程中,当n=k+1时,将式子(k+1)3+5(k+1)应变形为.解析
4、:采取凑配法,凑出归纳假设k3+5k来,(k+1)3+5(k+1)=k3+3k2+3k+1+5k+5=(k3+5k)+3k(k+1)+6.答案:(k3+5k)+3k(k+1)+68.用数学归纳法证明:(3n+1)7n-1能被9整除(nN+).证明(1)当n=1时,原式=(31+1)7-1=27,能被9整除,命题成立.(2)假设当n=k(k1,kN+)时,(3k+1)7k-1能被9整除,则当n=k+1时,有3(k+1)+17k+1-1=21(k+1)+77k-1=(3k+1)+(18k+27)7k-1=(3k+1)7k-1+9(2k+3)7k.(3k+1)7k-1和9(2k+3)7k都能被9整除
5、,3(k+1)+17k+1-1能被9整除,即当n=k+1时命题成立.根据(1)和(2),可知命题对任何nN+都成立.9.平面内有n(n2,nN+)条直线,其中任何两条不平行,任何三条不共点,证明:n条直线交点的个数为f(n)=.证明(1)当n=2时,两条直线有一个交点,f(2)= 1,命题成立.(2)假设当n=k(k2,kN+)时,命题成立,即f(k)=.那么,当n=k+1时,第k+1条直线与前k条直线均有一个交点,即新增k个交点,所以f(k+1)=f(k)+k=+k=,即当n=k+1时命题也成立.根据(1)和(2),可知命题对任何n2,nN+都成立.10.用数学归纳法证明1+1+n(nN+).证明(1)当n=1时,左边=1+,中间=1+,右边=+1,所以1+,命题成立.(2)假设当n=k(k1,kN+)时,命题成立,即1+1+k,则当n=k+1时,1+1+2k=1+.又1+k+2k+(k+1),即当n=k+1时,命题成立.由(1)和(2)可知,命题对所有的nN+都成立.
