1、“华安、连城、永安、漳平一中、龙海二中、泉港一中”六校联考2013-2014学年下学期第一次月考高二数学（理科）试题（考试时间：120分钟 总分：150分） 友情提示：要把所有答案都写在答题卷上，写在试卷上的答案无效。一、选择题（本题共10个小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）1复数，则它的共轭复数在复平面内对应的点位于（ ）A第一象限 B第二象限C第三象限D第四象限2推理：因为平行四边形对边平行且相等，而矩形是特殊的平行四边形，所以矩形的对边平行且相等以上推理的方法是（ ）A合情推理 B演绎推理 C归纳推理 D类比推理 3. 在区间内不是增函数的
2、是（）A. B. C. D. 4. 函数的图象上一点处的切线的斜率为（ ）A B C D5用反证法证明命题“三角形的内角至多有一个钝角”时，假设的内容应为（ ）A假设至少有一个钝角 B假设至少有两个钝角C假设没有一个钝角 D假设没有一个钝角或至少有两个钝角6.等于（ ）A B2CD7已知复数且，则的最小值是（ ）A B C D8函数的部分图像如图所示，则的解析式可以是（ ） A. B. C. D. 图（2）图（1）9. 六个面都是平行四边形的四棱柱称为平行六面体。如，在平行四边形中，有，那么在图（2）的平行六面体中有等于( ) 10.对于三次函数，定义是的导函数的导函数，若方程有实数解，则称点
3、为函数的“拐点”，可以证明，任何三次函数都有“拐点”，任何三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心，请你根据这一结论判断下列命题：任意三次函数都关于点对称：存在三次函数, 若有实数解，则点为函数的对称中心；存在三次函数有两个及两个以上的对称中心；若函数，则: 其中所有正确结论的序号是( )A. B. C. D. 二、填空题(本题共5小题，每小题4分，共20分) 11已知是虚数单位，则=_.12. 由直线，曲线及轴所围图形的面积为 13.已知函数有极大值和极小值，则实数的取值范围是 14. 若上是减函数，则的最大值是 15. 设表示不超过的最大整数，如我们发现：；通过合情推理，写出一般性的结
4、论 (用含的式子表示)三、解答题:本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.16. (本题满分13分)设函数，已知曲线在点处的切线方程是（）求的值；并求出函数的单调区间；（）求函数在区间上的最值17（本小题满分13分）设数列满足（）求；（II）由（I）猜想的一个通项公式，并用数学归纳法证明你的结论；18(本题满分13分)已知,证明：，并利用上述结论求的最小值(其中19. (本题满分13分)已知函数，,为自然对数的底数.（I）求函数的极值；（II）若方程有两个不同的实数根，试求实数的取值范围；20（本题满分14分）甲、乙两个工厂，甲厂位于一直线河岸的岸边处，乙厂与甲厂在河
5、的同侧，乙厂位于离河岸40千米的处，乙厂到河岸的垂足与相距50千米，两厂要在此岸边之间合建一个供水站，从供水站到甲厂和乙厂的水管费用分别为每千米3元和5元，若千米，设总的水管费用为元，如图所示，（I）写出关于的函数表达式；（II）问供水站建在岸边何处才能使水管费用最省？ 21. (本小题满分14分) 已知函数（）（I）讨论函数的单调性；（II）若函数在处取得极值，不等式对任意恒成立，求实数的取值范围；（III）当时，证明不等式 .“华安、连城、永安、漳平一中、龙海二中、泉港一中”六校联考2013-2014学年下学期第一次月考高二数学（理科）试题参考答案题号12345678910答案CBDABA
6、BCCA二、填空题(本题共5小题，每小题4分，共20分) 11.1+3i 12. 2ln2 13. 或 1. -1 15 三、解答题:本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.16. (本题满分13分)解：（），. 3分，令，得或；令，得的递增区间为，的递减区间为 7分 （）由（）知列表得1100-1递增极大递减-1由表得当时，又，17解：（1）由，得2分由，得，4分由，得 6分 （2）由（1）猜想7分下面用数学归纳法证明当时， ，猜想成立；8分假设时，猜想成立，即，9分那么当时，所以当时，猜想也成立12分由知，对于任意都有猜想成立13分18(本题满分13分) 4分 7
7、分（法二）要证明 ks5u只要证2分即证 4分即证（显然成立）ks5u故原不等式得证7分由不等式成立知，10分即最小值为25，当且仅当时等号成立。13分19.解：2分令，解得或，列表如下4分4000递增极大递减极小递增由表可得当时，函数有极大值；当时，函数有极小值；8分（2）由（1）及当，；，大致图像为如图（大致即可）ks5u问题“方程有两个不同的实数根”转化为函数的图像与的图像有两个不同的交点， 10分故实数的取值范围为. 13分20解：（1），BD=40,AC=50,BC=又总的水管费用为y元，依题意有：=3(50x)+5 6分（2）由（1）得y=3+,令y=0,解得=30 8分在(0,30)单调递减，在(30,50)单调递增上，11分函数在=30(km)处取得最小值，此时AC=50=20(km) 13分供水站建在A、D之间距甲厂20 km处，可使水管费用最省. 14分21. 解：（1）函数的定义域为，1分当时，从而，故函数在上单调递减3分当时，若，则，从而，若，则，从而，故函数在上单调递减，在上单调递增；5分（2）由（1）得函数的极值点是，故6分所以，即，由于，即.7分令，则当时，；当时，在上单调递减，在上单调递增；9分故，所以实数的取值范围为10分（3）不等式11分构造函数，则，在上恒成立，即函数在上单调递增，13分由于，所以，得故14分ks5u
