1、专题05 二次函数与一元二次方程、不等式考点1：二次函数与一元二次方程、不等式知识点一一元二次不等式的概念定义只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，叫做一元二次不等式一般形式ax2bxc0，ax2bxc000)的图象一元二次方程ax2bxc0(a0)的根有两个不相等的实数根x1，x2(x10(a0)的解集x|xx2Rax2bxc0)的解集x|x1x0；(2)3x25x20；(3)x24x50.解(1)不等式可化为x25x60，所以方程x25x60有两个实数根：x12，x23.由二次函数yx25x6的图象(如图)，得原不等式的解集为x|2x0，所以方程3x25x20的两实根为x12
2、，x2.由二次函数y3x25x2的图象(图)，得原不等式的解集为.(3)方程x24x50无实数解，函数yx24x5的图象是开口向上的抛物线，与x轴无交点(如图)观察图象可得，不等式的解集为R.变式 解下列不等式：(1)4x24x10；(2)x26x100.解(1)方程4x24x10有两个相等的实根x1x2.作出函数y4x24x1的图象如图由图可得原不等式的解集为.(2)原不等式可化为x26x100，364040的解集为x|3x0的解集为x|3x2，所以3,2是方程ax2(b8)xaab0的两根，所以解得所以y3x23x18.(2)因为a30的解集为.(1)求a，c的值；(2)解关于x的不等式a
3、x2(ac2)x2c0.解(1)由题意知，不等式对应的方程ax25xc0的两个实数根为和，由根与系数的关系，得解得a6，c1.(2)由a6，c1知不等式ax2(ac2)x2c0可化为6x28x20，即3x24x10，解得x1，所以不等式的解集为.题型3：含参数的一元二次不等式的解法例3设aR，解关于x的不等式ax2(12a)x20.解(1)当a0时，不等式可化为x20，解得x2，即原不等式的解集为x|x2(2)当a0时，方程ax2(12a)x20的两根分别为2和.当a时，解不等式得x2，即原不等式的解集为；当a时，不等式无解，即原不等式的解集为；当a0时，解不等式得2x0时，解不等式得x2，即
4、原不等式的解集为.变式(1)当a时，求关于x的不等式x2x10的解集；(2)若a0，求关于x的不等式x2x10的解集解(1)当a时，有x2x10，即2x25x20，解得x2，故不等式的解集为.(2)x2x10(xa)0，当0a1时，a1时，a，不等式的解集为.综上，当0a1时，不等式的解集为.考点1：练习题1已知集合Mx|4x2，Nx|x2x60，则MN等于()Ax|4x3 Bx|4x2Cx|2x2 Dx|2x3答案C解析Nx|2x3，Mx|4x2，MNx|2x2，故选C.2若0m1，则不等式(xm)0的解集为()A. B.C. D.答案D解析0m1m，故原不等式的解集为，故选D.3二次方程a
5、x2bxc0的两根为2,3，如果a0的解集为()Ax|x3或x2或x3Cx|2x3 Dx|3x0可化为ax2ax6a0，又a0，x2x60，(x3)(x2)0，2x3，故选C.4若不等式5x2bxc0的解集为x|1x3，则bc的值是()A5 B5 C25 D10答案B解析由题意知1,3为方程5x2bxc0的两根，13，3，b10，c15，bc5.故选B.5若关于x的二次不等式x2mx10的解集为R，则实数m的取值范围是()Am|m2或m2 Bm|2m2Cm|m2 Dm|2m2答案B解析x2mx10的解集为R，m240，2m2，故选B.6不等式x24x40的解集是_答案2解析原不等式可化为(x2
6、)20，x2.7不等式x23x40的解集为_答案x|4x1解析易得方程x23x40的两根为4,1，所以不等式x23x40的解集为x|4x0，若此不等式的解集为，则m的取值范围是_答案m|m0的解集为，方程(mx1)(x2)0的两个实数根为和2，且解得m0，m的取值范围是m0.9已知不等式x22x30的解集为A，不等式x2x60的解集为B.(1)求AB；(2)若不等式x2axb0的解集为AB，求不等式ax2xb0的解集解(1)由x22x30，得1x3，Ax|1x3由x2x60，得3x2，Bx|3x2，ABx|1x2(2)由题意，得解得x2x20，1870的解集为R.10若不等式(1a)x24x6
7、0的解集是x|3x0；(2)b为何值时，ax2bx30的解集为R?解(1)由题意知1a0，即为2x2x30，解得x.所求不等式的解集为.(2)ax2bx30，即为3x2bx30，若此不等式解集为R，则b24330，6b6.11下列四个不等式：x2x10；x22x0；x26x100；2x23x40，解集不为R；中624100.满足条件；中不等式可化为2x23x30，所对应的二次函数开口向上，显然不可能故选C.12在R上定义运算“”：abab2ab，则满足x(x2)0的实数x的取值范围为()Ax|0x2 Bx|2x1Cx|x1 Dx|1x2答案B解析根据给出的定义得，x(x2)x(x2)2x(x2
8、)x2x2(x2)(x1)，又x(x2)0，则(x2)(x1)0，故不等式的解集是x|2x113若关于x的方程(a2)x22(a2)x10无实数解，则a的取值范围是_答案2a3解析若a20，即a2时，原方程为10不合题意，a2满足条件，若a20，则4(a2)24(a2)0，解得2a3，综上有a的取值范围是2a3.14已知不等式x22x5a23a对xR恒成立，则a的取值范围为_答案a|1a4解析x22x5(x1)24a23a恒成立，a23a4，即a23a40，(a4)(a1)0，1a4.考点2：等式性质与不等式性质知识点用一元二次不等式解决实际问题的步骤1理解题意，搞清量与量之间的关系；2建立相
9、应的不等关系，把实际问题抽象为数学中的一元二次不等式问题3解决这个一元二次不等式，得到实际问题的解题型1：分式不等式的解法例1解下列不等式：(1)0；(2)1.解(1)0(2x5)(x4)04x，原不等式的解集为.(2)1，10，0，即0.此不等式等价于(x4)0且x0，解得x1.解(1)原不等式可化为解得x或x，原不等式的解集为.(2)方法一原不等式可化为或解得或3x0，化简得0，即0，(2x1)(x3)0，解得3x0)个百分点，预测收购量可增加2x个百分点(1)写出降税后税收y(万元)与x的关系式；(2)要使此项税收在税率调节后，不少于原计划税收的83.2%，试确定x的取值范围解(1)降低
10、税率后的税率为(10x)%，农产品的收购量为a(12x%)万担，收购总金额为200a(12x%)万元依题意得y200a(12x%)(10x)%a(1002x)(10x)(0x10)(2)原计划税收为200a10%20a(万元)依题意得a(1002x)(10x)20a83.2%，化简得x240x840，解得42x2.又因为0x10，所以0x2.即x的取值范围为x|025时，不等式ax25850(x2600)有解，等价于当x25时，a有解由于210，当且仅当，即x30时等号成立，所以a10.2.故当该商品改革后的销售量a至少达到10.2万件时，才可能使改革后的销售收入不低于原收入与总投入之和，此时
11、该商品的每件定价为30元考点2：练习题1不等式1的解集是()A. B.C. D.答案B解析不等式1，移项得10，即0，可化为或解得x2，则原不等式的解集为，故选B.2与不等式0同解的不等式是()A(x3)(2x)0 B00答案B解析解不等式0，得2x3，A不等式(x3)(2x)0的解是2x3，故不正确B不等式0x21的解是2x3，故正确C不等式0的解是2x0的解是2x0的解集为x|x1，则关于x的不等式0的解集为()Ax|x1或x2 Bx|1x2或x1 Dx|1x0的解集为x|x1，a0，故0，等价为(x1)(x2)0.x2或x1.4已知不等式x24xa23a在R上有解，则实数a的取值范围为(
12、)Aa|1a4 Ba|1a4Ca|a4或a1 Da|4a1答案A解析由题意知，原不等式可化为(x2)24a23a在R上有解，a23a4，即(a4)(a1)0，1a4，故选A.5某文具店购进一批新型台灯，若按每盏台灯15元的价格销售，每天能卖出30盏；若售价每提高1元，日销售量将减少2盏，现决定提价销售，为了使这批台灯每天获得400元以上(不含400元)的销售收入则这批台灯的销售单价x(单位：元)的取值范围是()Ax|10x16 Bx|12x18Cx|15x20 Dx|10x400，即x230x2000，10x15，15x0的解集为x|1xbx的解集为_答案x|x0解析由题意知，1,2为ax2b
13、xc0的两根，且abx可化为2aax，a0，即2x，即0，x0.7现有含盐7%的食盐水200克，生产含盐5%以上、6%以下的食盐水，设需要加入含盐4%的食盐水为x克，则x的取值范围是_答案x|100x400解析5%6%，解得x的取值范围是x|100x0，x210x7 2000有两个实数根，即x180，x290，然后，根据二次函数yx210x7 200的图象(图略)，得不等式的解集为x|x90或x80在这个实际问题中，x0，所以这辆汽车刹车前的车速不低于80 km/h.9解关于x的不等式0(aR)解原不等式可化为0，即(x1)(xa)1时，x|1xa；当a1时，x|ax1时，不等式的解集为x|1
14、xa，a1时，不等式的解集为x|ax110某汽车厂上年度生产汽车的投入成本为10万元/辆，出厂价为12万元/辆，年销售量为10 000辆本年度为适应市场需求，计划提高产品质量，适度增加投入成本若每辆车投入成本增加的比例为x(0x1)，则出厂价相应地提高比例为0.75x，同时预计年销售量增加的比例为0.6x，已知年利润(出厂价投入成本)年销售量(1)写出本年度预计的年利润y与投入成本增加的比例x的关系式；(2)为使本年度的年利润比上年度有所增加，则投入成本增加的比例x应在什么范围内？解(1)由题意得y12(10.75x)10(1x)10 000(10.6x)(0x1)，整理得y6 000x22
15、000x20 000(0x1)(2)要保证本年度的年利润比上年度有所增加，必须有即解得0x，所以投入成本增加的比例x应在0x0的解集为()Ax|x1且x2 Bx|x1Cx|1x2 Dx|x2答案A解析原不等式可化为0x1且x2.故选A.12若a0，b0，则不等式ba的解集为()A.B.C.D.答案A解析原不等式可化为即可得故不等式的解集为.13不等式2的解集为()Ax|x2 BRC Dx|x2答案A解析x2x10恒成立，原不等式x22x20(x2)20，x2.不等式的解集为x|x214在一个限速40 km/h的弯道上，甲、乙两辆汽车相向而行，发现情况不对，同时刹车，但还是相碰了事发后现场测得甲车的刹车距离略超过12 m，乙车的刹车距离略超过10 m又知甲、乙两种车型的刹车距离s m与车速x km/h之间分别有如下关系：s甲0.1x0.01x2，s乙0.05x0.005x2.这次事故的主要责任方为_答案乙车解析由题意列出不等式s甲0.1x0.01x212，s乙0.05x0.005x210.分别求解，得x甲30.x乙40.由于x0，从而得x甲30 km/h，x乙40 km/h.经比较知乙车超过限速，应负主要责任
