1、陕西省汉中市一厂学校2014-2015学年高二下学期第一次月考数学试卷（理科）一、选择题：（本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1有一个由奇数组成的数列1，3，5，7，9，现在进行如下分组：第一组含一个数1，第二组含两个数3，5，第三组含三个数7，9，11，第四组含四个数13，15，17，19，经观察，可以猜想每组内各数之和与其组的编号数n的关系为（）A等于n2B等于n3C等于n4D等于（n+1）n2用反证法证明某命题时，对结论：“自然数a，b，c中恰有一个偶数”正确的反设为（）Aa，b，c都是奇数Ba，b，c都是偶数Ca，b，c中至少有
2、两个偶数Da，b，c中至少有两个偶数或都是奇数3证明不等式的最适合的方法是（）A综合法B分析法C间接证法D合情推理法4用数学归纳法证明等式：1+2+3+2n=n（2n+1）时，由n=k到n=k+1时，等式左边应添加的项是（）A2k+1B2k+2C（2k+1）+（2k+2）D（k+1）+（k+2）+2k5函数y=3x22lnx的单调增区间为（）A（，）（0，）B（）（，+）C（0，）D（，+）6曲线y=上一点P（4，）处的切线方程是（）A5x+16y8=0B5x16y+8=0C5x+16y+8=0D5x16y8=07函数y=x+的极值情况是（）A有极大值2，极小值2B有极大值1，极小值1C无极大
3、值，但有极小值2D有极大值2，无极小值8曲线f（x）=x3+x2在p0处的切线平行于直线y=4x1，则p0的坐标为（）A（1，0）B（2，8）C（1，0）或（1，4）D（2，8）或（1，4）9函数f（x）=x3ax+1在区间（1，+）内是增函数，则实数a的取值范围是（）Aa3Ba3Ca3Da310如果函数y=f（x）的图象如图，那么导函数y=f（x）的图象可能是（）ABCD二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分把答案填在答题卡的相应位置）11观察=，+=，+=，猜想+=12若曲线y=x2在点P处的切线斜率为1，则点P的坐标为13已知函数y=f（x）的图象在点M（1，f（1）处的切线方
4、程是y=x+3，则：f（1）+f（1）=14已知f（x）=xex，定义f1（x）=f（x），f2（x）=f1（x），fn+1（x）=fn（x），nN*经计算f1（x）=（x+1）ex，f2（x）（x+2）ex，f3（x）=（x+3）ex，照此规律，则fn（x）=15若函数在区间（m，2m+1）上是单调递增函数，则实数m的取值范围是三、解答题（本大题共6小题，共75分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤16用数学归纳法证明：17已知函数f（x）=x33x；（）求f（x）的单调区间；（）求f（x）在区间3，2上的最值18用数学归纳法证明：+（n1，且nN*）19如图所示，有一边长分别为8与5的长
5、方形，在各角剪去相同的小正方形，把四边折起作成一个无盖小盒，要使纸盒的容积最大，求剪去的小正方形的边长及容积最大值20已知函数f（x）=x2+lnx（1）求函数f（x）在1，e上的最大值，最小值；（2）求证：在区间1，+）上，函数f（x）的图象在函数g（x）=x3图象的下方21已知函数f（x）=exx2+a，xR的图象在点x=0处的切线为y=bx（e2.71828）（）求函数f（x）的解析式；（）当xR时，求证：f（x）x2+x；（）若f（x）kx对任意的x（0，+）恒成立，求实数k的取值范围陕西省汉中市一厂学校2014-2015学年高二下学期第一次月考数学试卷（理科）一、选择题：（本大题共1
6、0小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1有一个由奇数组成的数列1，3，5，7，9，现在进行如下分组：第一组含一个数1，第二组含两个数3，5，第三组含三个数7，9，11，第四组含四个数13，15，17，19，经观察，可以猜想每组内各数之和与其组的编号数n的关系为（）A等于n2B等于n3C等于n4D等于（n+1）n考点：归纳推理 专题：探究型分析：由题意先计算第一、二、三组内各数之和与其组的编号数的关系，再猜想解答：解：由题意，1=13，3+5=23，7+9+11=33，故可得每组内各数之和与其组的编号数n的关系为n3，故选B点评：本题是归纳推理的运用，
7、可通过特殊猜想一般，作为填空题、选择题是可行的2用反证法证明某命题时，对结论：“自然数a，b，c中恰有一个偶数”正确的反设为（）Aa，b，c都是奇数Ba，b，c都是偶数Ca，b，c中至少有两个偶数Da，b，c中至少有两个偶数或都是奇数考点：反证法 专题：反证法分析：“自然数a，b，c中恰有一个偶数”的反面是：a，b，c中至少有两个偶数或都是奇数即可得出解答：解：用反证法证明某命题时，对结论：“自然数a，b，c中恰有一个偶数”正确的反设是：a，b，c中至少有两个偶数或都是奇数故选：D点评：本题考查了反证法，属于基础题3证明不等式的最适合的方法是（）A综合法B分析法C间接证法D合情推理法考点：分析
8、法和综合法 专题：不等式的解法及应用分析：要证原不等式成立，只要证，即证9+29+2，故只要证 ，即证1418，此种证明方法是分析法解答：解：要证明不等式，只要证，即证9+29+2，故只要证 ，即证1418以上证明不等式所用的最适合的方法是分析法故选B点评：本题考查的是分析法和综合法，解答此题的关键是熟知比较大小的方法从求证的不等式出发，“由果索因”，逆向逐步找这个不等式成立需要具备的充分条件，分析法通过对事物原因或结果的周密分析，从而证明论点的正确性、合理性的论证方法也称为因果分析，属于中档题4用数学归纳法证明等式：1+2+3+2n=n（2n+1）时，由n=k到n=k+1时，等式左边应添加的
9、项是（）A2k+1B2k+2C（2k+1）+（2k+2）D（k+1）+（k+2）+2k考点：数学归纳法 专题：点列、递归数列与数学归纳法分析：由数学归纳法可知n=k时，左端为1+2+3+2k，到n=k+1时，左端左端为1+2+3+2k+（2k+1）+（2k+2），从而可得答案解答：解：用数学归纳法证明等式1+2+3+2n=n（2n+1）时，当n=1左边所得的项是1+2；假设n=k时，命题成立，左端为1+2+3+2k）；则当n=k+1时，左端为1+2+3+2k+（2k+1）+（2k+2），由n=k到n=k+1时需增添的项是（2k+1）+（2k+2）故选：C点评：本题考查数学归纳法，着重考查理解与
10、观察能力，考查推理证明的能力，属于中档题5函数y=3x22lnx的单调增区间为（）A（，）（0，）B（）（，+）C（0，）D（，+）考点：利用导数研究函数的单调性 专题：导数的综合应用分析：求函数的定义域和导数，解导数f（x）0，即可得到结论解答：解：函数y=3x22lnx的定义域为（0，+），求函数y=3x22lnx的导数，得f（x）=6x=，由f（x）0，解得x故函数y=3x22lnx的单调增区间为（，+），故选：D点评：本题考查了利用导数求函数的单调区间，属于导数的常规题，别忘了求函数的定义域6曲线y=上一点P（4，）处的切线方程是（）A5x+16y8=0B5x16y+8=0C5x+16
11、y+8=0D5x16y8=0考点：利用导数研究曲线上某点切线方程 专题：导数的综合应用分析：求出原函数的导函数，得到函数在x=4处的导数，由直线方程的点斜式得答案解答：解：y=，曲线y=上一点P（4，）处的切线方程是整理得，5x+16y+8=0故选：C点评：本题考查了利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，关键是会利用导数求曲线上过某点切线方程的斜率，是中档题7函数y=x+的极值情况是（）A有极大值2，极小值2B有极大值1，极小值1C无极大值，但有极小值2D有极大值2，无极小值考点：利用导数研究函数的极值 专题：计算题分析：求出函数的导函数，令导函数大于0求出x的范围即递增区间，令导函数小于0求
12、出x的范围即递减区间，根据极值的定义求出函数的极值解答：解：函数的定义域为x|x0因为所以=0得x=1当x1或x1时，y0；当1x0或0x1时，y0，所以当x=1时函数有极大值2；当x=1时函数有极小值2故选A点评：利用导数求函数的极值，一般先求出导函数，令导数为0求出根，判断根左右两边的导数的符号，根据极值的定义加以判断8曲线f（x）=x3+x2在p0处的切线平行于直线y=4x1，则p0的坐标为（）A（1，0）B（2，8）C（1，0）或（1，4）D（2，8）或（1，4）考点：利用导数研究曲线上某点切线方程 专题：导数的综合应用分析：利用直线平行的性质，结合导数的几何意义求出切线的斜率，即可求
13、出切点的坐标解答：解：因为直线y=4x1的斜率为4，且切线平行于直线y=4x1，所以函数在p0处的切线斜率k=4，即f（x）=4因为函数的导数为f（x）=3x2+1，由f（x）=3x2+1=4，解得x=1或1当x=1时，f（1）=0，当x=1时，f（1）=4所以p0的坐标为（1，0）或（1，4）故选C点评：本题主要考查导数的基本运算以及导数的几何意义，利用直线平行确定切线斜率是解决本题的关键9函数f（x）=x3ax+1在区间（1，+）内是增函数，则实数a的取值范围是（）Aa3Ba3Ca3Da3考点：函数的单调性与导数的关系 专题：计算题分析：求出f（x），因为要求函数的增区间，所以令f（x）大
14、于0，然后讨论a的正负分别求出x的范围，根据函数在区间（1，+）上是增函数列出关于a的不等式，求出a的范围即可解答：解：f（x）=3x2a，令f（x）=3x2a0即x2，当a0时，xR，函数f（x）=x3ax+1在区间R内是增函数，从而函数f（x）=x3ax+1在区间（1，+）内是增函数；当a0时，解得x，或x；因为函数在区间（1，+）内是增函数，所以1，解得0a3，综上所述，所以实数a的取值范围是a3故选C点评：本题主要考查导函数的正负与原函数的单调性之间的关系，即当导函数大于0时原函数单调递增，当导函数小于0时原函数单调递减会利用不等式解集的端点大小列出不等式求字母的取值范围，是一道综合题
15、10如果函数y=f（x）的图象如图，那么导函数y=f（x）的图象可能是（）ABCD考点：函数的单调性与导数的关系 专题：压轴题分析：由y=f（x）的图象得函数的单调性，从而得导函数的正负解答：解：由原函数的单调性可以得到导函数的正负情况依次是正负正负，故选A点评：导数的正负决定函数的单调性二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分把答案填在答题卡的相应位置）11观察=，+=，+=，猜想+=考点：归纳推理 专题：规律型分析：分析可得：发现的规律为第n个等式左边是n个分子是1的分式的和，右边是，从而得出正确答案解答：解：观察=，+=，+=，发现的规律为第n个等式左边是n个分子是1的分式的和，
16、右边是，猜想+=故答案为：点评：本题考查学生通过观察、归纳、抽象出数列的规律的能力，要求学生首先分析题意，找到规律，并进行推导得出答案12若曲线y=x2在点P处的切线斜率为1，则点P的坐标为（，）考点：利用导数研究曲线上某点切线方程 专题：函数的性质及应用分析：设切点的坐标为（a，a2），根据函数在某一点的导数的几何意义，可得2a=1，求得a的值，可得点P的坐标解答：解：设切点的坐标为（a，a2），则根据曲线y=x2在点P处的切线斜率为1，可得2a=1，求得a=，故切点的坐标为（，），故答案为：（，）点评：本题主要考查函数在某一点的导数的几何意义，属于基础题13已知函数y=f（x）的图象在点M
17、（1，f（1）处的切线方程是y=x+3，则：f（1）+f（1）=4考点：导数的几何意义 专题：导数的概念及应用分析：根据题意吧，求出切点坐标，得出f（1）的值，根据导数的几何意义判断f（1）求解解答：解：函数y=f（x）的图象在点M（1，f（1）处的切线方程是y=x+3，f（1）=，f（1）=，f（1）+f（1）=4故答案为：4点评：本题考察了导数的概念，几何意义，属于容易题14已知f（x）=xex，定义f1（x）=f（x），f2（x）=f1（x），fn+1（x）=fn（x），nN*经计算f1（x）=（x+1）ex，f2（x）（x+2）ex，f3（x）=（x+3）ex，照此规律，则fn（x）=
18、（x+n）ex考点：归纳推理；导数的运算 专题：推理和证明分析：由已知中f（x）=xex，记f1（x）=f（x），f2（x）=f1（x），fn+1（x）=fn（x）（nN*），分析出fn（x）解析式随n变化的规律，可得答案解答：解：f（x）=xex，f1（x）=f（x）=ex+xex=（x+1）ex，f2（x）=f1（x）=2ex+xex=（x+2）ex，f3（x）=f2（x）=3ex+xex=（x+3）ex，由此归纳可得：fn（x）=fn1（x）=nex+xex=（x+n）ex，故答案为：（x+n）ex点评：归纳推理的一般步骤是：（1）通过观察个别情况发现某些相同性质；（2）从已知的相同性质
19、中推出一个明确表达的一般性命题（猜想）15若函数在区间（m，2m+1）上是单调递增函数，则实数m的取值范围是1m0考点：函数单调性的性质 分析：若函数变形为，只要考查函数就行了解答：解：函数变形为，设，只要g（x）是单调减函数即可画出g（x）的图象：解得1m0故填1m0点评：研究函数的性质是解决问题的关键，此函数的性质为解决许多问题提供了帮助三、解答题（本大题共6小题，共75分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤16用数学归纳法证明：考点：数学归纳法 专题：证明题分析：本题考查的知识点是数学归纳法，根据数学归纳的步骤，我们要先论证n=1时，成立，再假设n=k时也成立，并由此证明n=k+1时，
20、也成立，最后得到恒成立解答：证明（1）n=1时，左边=右边，等式成立（2）假设n=k时等式成立，即则n=k+1时，左边=n=k+1时，等式成立由（1）（2）知，对一切点评：数学归纳法常常用来证明一个与自然数集N相关的性质，其步骤为：设P（n）是关于自然数n的命题，若1）（奠基） P（n）在n=1时成立；2）（归纳） 在P（k）（k为任意自然数）成立的假设下可以推出P（k+1）成立，则P（n）对一切自然数n都成立17已知函数f（x）=x33x；（）求f（x）的单调区间；（）求f（x）在区间3，2上的最值考点：利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性 专题：计算题分析：（）先求出函数
21、f（x）=x33x的导函数f（x），分别令f（x）0和f（x）0便可求出函数f（x）的单调区间；（）分别求出两个短点f（3）和f（2）的值以及极值f（1）和f（1）的值，比较一下便可求出f（x）在区间3，2上的最大值和最小值解答：解：（I）f（x）=x33x，f（x）=3x23=3（x+1）（x1）令 f（x）=0，得x=1，x=1若 x（，1）（1，+），则f（x）0，故f（x）在（，1）上是增函数，f（x）在（1，+）上是增函数，若 x（1，1），则f（x）0，故f（x）在（1，1）上是减函数；（II）f（3）=18，f（1）=2，f（1）=2，f（2）=2，当x=3时，f（x）在区间3，
22、2取到最小值为18当x=1或2时，f（x）在区间3，2取到最大值为2点评：本题主要考查了利用导数研究函数的单调性以及函数在闭区间上的最值，求函数在闭区间a，b上的最大值与最小值是通过比较函数在（a，b）内所有极值与端点函数f（a），f（b） 比较而得到的18用数学归纳法证明：+（n1，且nN*）考点：数学归纳法 专题：证明题；点列、递归数列与数学归纳法分析：先证明n=2时，结论成立；假设n=k（k1，且kN*）时结论成立，利用归纳假设，证明n=k+1时结论成立解答：证明：（1）n=2时，左边=，不等式成立；（2）假设n=k（k1，且kN*）时结论成立，即+则n=k+1时，左边=+=+=即n=k
23、+1时结论成立综上，+（n1，且nN*）点评：本题考查数学归纳法，考查不等式的证明，掌握数学归纳法的证题步骤是关键19如图所示，有一边长分别为8与5的长方形，在各角剪去相同的小正方形，把四边折起作成一个无盖小盒，要使纸盒的容积最大，求剪去的小正方形的边长及容积最大值考点：基本不等式在最值问题中的应用 专题：不等式的解法及应用分析：列出容积与小正方形的边长的函数关系，建立实际问题的函数模型，利用导数作为工具求解该最值问题解答：解：设剪去的小正方形的边长为a，则纸盒的容积为V=a（82a）（52a），（0a）V=4a326a2+40a，V=12a252a+40=4（a1）（3a10）0a1，V0；
24、1a，V0，函数在（0，1）上单调递增，在（1，）上单调递减，a=1时，函数取得极大值，且为最大值，剪去的小正方形的边长为1，容积最大值为18点评：本题考查函数的应用，考查函数模型的工具作用，考查求函数最值的导数思想，属于中档题20已知函数f（x）=x2+lnx（1）求函数f（x）在1，e上的最大值，最小值；（2）求证：在区间1，+）上，函数f（x）的图象在函数g（x）=x3图象的下方考点：利用导数求闭区间上函数的最值 专题：计算题；证明题；压轴题；转化思想分析：（1）先求导，由导数研究函数的单调、极值，计算端点函数值，比较极值与端点函数值，进而求出函数的最大值、最小值；（2）构造函数设F（x
25、）=x2+lnxx3，利用导数可知函数F（x）的单调性为递减，从而可得F（x）F（1）=0可证解答：解：（1）由f（x）=x2+lnx有f（x）=x+当x1，e时，f（x）0f（x）max=f（e）=e2+1，f（x）min=f（1）=（2）设F（x）=x2+lnxx3，则F（x）=x+2x2=当x1，+）时，F（x）0，且F（1）=0故x1，+）时F（x）0x2+lnxx3，得证点评：本题主要考查了导数的应用：求单调区间，求极值、最值，利用单调性证明不等式，解（2）的关键是构造函数，转化为研究函数的单调性21已知函数f（x）=exx2+a，xR的图象在点x=0处的切线为y=bx（e2.718
26、28）（）求函数f（x）的解析式；（）当xR时，求证：f（x）x2+x；（）若f（x）kx对任意的x（0，+）恒成立，求实数k的取值范围考点：利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数求闭区间上函数的最值 专题：综合题；导数的概念及应用分析：（）利用图象在点x=0处的切线为y=bx，求出a，b，即可求函数f（x）的解析式；（）令（x）=f（x）+x2x=exx1，确定函数的单调性，可得（x）min=（0）=0，即可证明：f（x）x2+x；（）f（x）kx对任意的x（0，+）恒成立对任意的x（0，+）恒成立，kg（x）min=g（1）=0，即可求实数k的取值范围解答：解：（）f（x）=exx2+a
27、，f（x）=ex2x由已知，f（x）=exx21（）令（x）=f（x）+x2x=exx1，（x）=ex1，由（x）=0，得x=0，当x（，0）时，（x）0，（x）单调递减；当x（0，+）时，（x）0，（x）单调递增（x）min=（0）=0，从而f（x）x2+x（）f（x）kx对任意的x（0，+）恒成立对任意的x（0，+）恒成立，令，由（）可知当x（0，+）时，exx10恒成立，令g（x）0，得x1；g（x）0，得0x1g（x）的增区间为（1，+），减区间为（0，1）g（x）min=g（1）=0kg（x）min=g（1）=e2，实数k的取值范围为（，e2）点评：此题主要考查了利用导数求闭区间上函数的最值问题，考查了函数的单调性，属于中档题
