1、三角函数的图像与性质 一、单选题 1（2020 届山东省潍坊市高三上期中）sin 225 （）A12 B22 C32 D 1 【答案】B【解析】因为2sin 225sin(18045)sin 452 .故选：B.2、（2020 届北京市昌平区新学道临川学校高三上学期期中考试数学试题）sin 20 cos10cos160 sin10 （）A32 B32 C12 D 12【答案】D【解析】sin 20 cos10cos160 sin10 sin 20 cos10cos20 sin10 sin 30 12.故选：D.3、（2020年全国1卷）设函数()cos()6f xx在,的图像大致如下图，则f(
2、x)的最小正周期为（）A.109 B.76 C.43 D.32【答案】C【解析】由图可得：函数图象过点4,09，将它代入函数 f x 可得：4cos096又4,09是函数 f x 图象与 x 轴负半轴的第一个交点，所以4962，解得：32 所以函数 f x 的最小正周期为224332T 故选：C 4、（2020浙江温州中学高三 3 月月考）函数 sin 2sin3f xxx的最小正周期为（）A B2 C3 D6 【答案】B【解析】2ysin x的最小正周期为：；函数3ysin x的最小正周期为：23，与 23 的最小公倍数为：2，所以函数 23f xsin xsin x的最小正周期为：2 故选
3、：B 5、（2020 年天津卷）已知函数()sin3f xx给出下列结论：()f x 的最小正周期为2；2f是()f x 的最大值；把函数sinyx的图象上所有点向左平移 3 个单位长度，可得到函数()yf x的图象 其中所有正确结论的序号是 A.B.C.D.【答案】B【解析】因为()sin()3f xx，所以周期22T，故正确；51()sin()sin122362f ，故不正确；将函数sinyx的图象上所有点向左平移 3 个单位长度，得到sin()3yx的图象，故正确.故选：B.6、（2020 届山东省潍坊市高三上期末）已知345sin，0,2，则cos（）A210 B 3 210 C22
4、D 7 210【答案】A【解析】0,2，,44 4 24cos1 sin445，coscoscoscossinsin444444 42322525210.故选：A 7、（2020 届山东省济宁市高三上期末）函数22coscos1yxx=-+，,2 2x 的图象大致为（）A B C D 【答案】B【解析】22()2cos()cos()12coscos1()fxxxxxf x ，函数()f x 为偶函数.故排除选项 A，D.2219()2coscos12(cos),482 2f xxxxx ，0cos1x，当1cos4x 时，()f x 取得最大值 98；当cos1x 时，()f x 取得最小值
5、0.故排除 C.故选：B.8、（2020 届山东师范大学附中高三月考）为了得函数23ysinx的图象，只需把函数2ysin x的图象（）A向左平移 6 个单位 B向左平移 3 单位 C向右平移 6 个单位 D向右平移 3 个单位【答案】A【解析】不妨设函数2ysin x的图象沿横轴所在直线平移 个单位后得到函数23ysinx的图象 于是，函数2ysin x平移 个单位后得到函数，sin 2()yx，即sin(22)yx，所以有223k，6k，取0k，6答案为 A 9、（2020 届山东实验中学高三上期中）已知函数 sin 23 cos2f xaxx的图象关于直线12x 对称，若 124f xf
6、 x ，则12a xx的最小值为（）A 4 B 2 C D2 【答案】B【解析】()f x 的图象关于直线12x 对称，(0)()6ff，即33322a，1a ，则()sin 23cos22sin 26f xxxx，12()()4f xf x ，1()2f x，2()2f x 或1()2f x ，2()2f x，即1()f x，2()f x一个为最大值，一个为最小值，则12|xx的最小值为 2T，T，12|xx的最小值为 2，即12a xx的最小值为 2.故选：B 10、（2020武邑县教育局教研室高三上期末（理）已知cos2cos2，且1tan3，则 tan 的值为（）A-7 B7 C1 D
7、-1【答案】B【解析】因为cos2cos2，所以sin2cos，即 tan2=-，又1tan3，则 tantan11 tantan3，解得 tan =7，故选 B.11、（2020 届山东省潍坊市高三上期中）已知函数()sincosf xxx，则（）A f x 的最小正周期为 B yf x图象的一条对称轴方程为4x C f x 的最小值为 2 D f x 的 0,2上为增函数【答案】B【解析】()sincos2 sin()4f xxxx，对 A，()f x的最小正周期为2，故 A 错误；对 B，()2 sin242f，()yf x图象的一条对称轴方程为4x，故 B 正确；对 C，()f x 的
8、最小值为2，故 C 错误；对 D，由0,2x，得3,444x，则()f x 在0,2 上先增后减，故 D 错误 故选：B 12、（2020 届山东省滨州市三校高三上学期联考）若1sin 34，则cos23（）A78 B14 C 14 D 78【答案】A【解析】222cos2cos 2cos2cos22sin133333 1721168 故选 A 13、（2020 届山东省临沂市高三上期末）已知函数2()2cos12f xx(0)的图象关于直线4x对称，则 的最小值为（）A 13 B 16 C 43 D 56【答案】A【解析】2()2cos12f xx，()1 cos 26f xx，又因为2()
9、2cos12f xx的图象关于4x对称，所以2()46kkZ，即12()3kkZ，因为0，所以 的最小值为 13.故选：A.14、（2020 年全国 3 卷）关于函数 f（x）=1sinsinxx有如下四个命题：f（x）的图像关于 y 轴对称 f（x）的图像关于原点对称 f（x）的图像关于直线 x=2 对称 f（x）的最小值为 2 其中所有真命题的序号是_【答案】【解析】对于命题，152622f，152622f ，则66ff，所以，函数 fx 的图象不关于 y 轴对称，命题错误；对于命题，函数 fx 的定义域为,x xkkZ，定义域关于原点对称，111sinsinsinsinsinsinfxx
10、xxf xxxx ，所以，函数 fx 的图象关于原点对称，命题正确；对于命题，11sincos22cossin2fxxxxx，11sincos22cossin2fxxxxx，则22fxfx，所以，函数 fx 的图象关于直线2x对称，命题正确；对于命题，当0 x时，sin0 x，则 1sin02sinf xxx，命题错误.故答案为：.15、（2020 届山东省滨州市高三上期末）已知函数()2sin(2)f xx的图象过点,26A，则（）A把 yf x的图象向右平移 6 个单位得到函数2sin 2yx的图象 B函数 f x 在区间,02上单调递减 C函数 f x 在区间0,2 内有五个零点 D函数
11、 f x 在区间 0,3上的最小值为 1【答案】D【解析】因为函数()2sin(2)f xx的图象过点,26A，所以2sin23，因此2,32kkZ，所以2,6kkZ，因此()2sin(2)2sin222sin266f xxxkx；A 选项，把 yf x的图象向右平移 6 个单位得到函数2sin 26yx的图象，故 A 错；B 选项，由3222,262kxkkZ得2,63kxkkZ，即函数()2sin 26f xx的单调递减区间是：2,63kkkZ，故 B 错；C 选项，由()2sin206f xx得2,6xkkZ，即,122kxkZ，因此0,2x，所以5111723,12121212x，共四
12、个零点，故 C 错；D 选项，因为0,3x，所以52,666x，因此1sin 2,162x，所以2sin21,26x，即()2sin 26f xx的最小值为 1，故 D 正确；故选：D.二、多选题 16、（2020 年山东卷）下图是函数 y=sin(x+)的部分图像，则 sin(x+)=（）A.sin(3x）B.sin(2)3x C.cos(26x）D.5cos(2)6x【答案】BC【解析】由函数图像可知：22362T，则222T，所以不选 A,当2536212x时，1y 5322122kkZ，解得：223kkZ，即函数的解析式为：2sin 22sin 2cos 2sin236263yxkxx
13、x.而5cos 2cos(2)66xx 故选：BC.17、（2020 届山东省滨州市三校高三上学期联考）设函数()sin 23f xx，则下列结论正确的是（）A 是()f x 的一个周期 B()f x 的图像可由sin 2yx的图像向右平移 3 得到 C()f x的一个零点为6x D()yf x的图像关于直线1712x对称【答案】ACD【解析】()sin 23f xx的最小正周期为，故 也是其周期，故 A 正确；()f x 的图像可由sin 2yx的图像向右平移 6 得到，故 B 错误；77()()sinsin066323ff，故 C 正确；sinsin17175()1262sin132f，故
14、 D 正确.故选：ACD 18、（2020 届山东省枣庄市高三上学期统考）将函数 sin 23f xx的图象向右平移 2 个单位长度得到 g x 图象，则下列判断正确的是（）A函数 g x 在区间,12 2上单调递增 B函数 g x 图象关于直线712x对称 C函数 g x 在区间,6 3 上单调递减 D函数 g x 图象关于点,03对称【答案】ABD【解析】函数 sin 23f xx的图像向右平移 2 个单位长度得到 sin 223g xx2sin 23x.由于772sinsin112632g，故712x 是 g x 的对称轴，B 选项正确.由于22sinsin00333g，故,03是 g
15、x 的对称中心，D 选项正确.由22232x，解得 71212x，即 g x 在区间7,12 12上递增，故 A 选项正确、C 选项错误.故选：ABD.19、（2020 届山东省济宁市高三上期末）将函数 sin 2f xx的图象向右平移 4 个单位后得到函数 g x 的图象,则函数 g x 具有性质()A在 0,4上单调递增,为偶函数 B最大值为 1,图象关于直线32x 对称 C在3,88 上单调递增,为奇函数 D周期为,图象关于点 3,04对称【答案】ABD【解析】sin 2sin 2cos242xxxg x 0,4x则 20,2x，cos2g xx 单调递增，为偶函数，A 正确C 错误；最
16、大值为1，当32x 时 23x，为对称轴，B 正确；22T，取2,242kxkxkZ，当1k 时满足，图像关于点 3,04对称，D 正确；故选：ABD 20、（2020届山东省烟台市高三上期末）已知函数 sin 322f xx的图象关于直线4x对称，则（）A函数12fx为奇函数 B函数 f x 在,12 3上单调递增 C若122f xf x，则12xx的最小值为 3 D函数 f x 的图象向右平移 4 个单位长度得到函数cos3yx 的图象【答案】AC【解析】因为直线4x是 sin 322f xx的对称轴,所以342kkZ,则4kkZ,当0k 时,4 ,则 sin 34f xx,对于选项 A,
17、sin 3sin312124fxxx,因为sin3sin3xx,所以12fx为奇函数,故 A 正确；对于选项 B,232242kxkkZ,即21212343kkxkZ,当0k 时,f x 在,12 4当单调递增,故 B 错误；对于选项 C,若122f xf x,则12xx最小为半个周期,即 21323,故 C 正确；对于选项 D,函数 f x 的图象向右平移 4 个单位长度,即sin 3sin 3sin344xxx,故D 错误 故选：AC 21、（2020山东省淄博实验中学高三上期末）已知函数 sincosf xxx，g x 是 fx 的导函数，则下列结论中正确的是（）A函数 fx 的值域与
18、g x 的值域不相同 B把函数 fx 的图象向右平移 2 个单位长度，就可以得到函数 g x 的图象 C函数 fx 和 g x 在区间,4 4 上都是增函数 D若0 x 是函数 fx 的极值点，则0 x 是函数 g x 的零点【答案】CD【解析】函数 f（x）sinxcosx2sin（x4）g（x）f（x）cosx+sinx2sin（x4），故函数函数 f（x）的值域与 g（x）的值域相同，且把函数 f（x）的图象向左平移 2 个单位，就可以得到函数 g（x）的图象，存在 x0=+,4kkZ，使得函数 f（x）在 x0处取得极值且0 x 是函数 g x 的零点，函数 f（x）在,4 4 上为增
19、函数，g（x）在,4 4 上也为增函数，单调性一致，故选：CD 三、填空题 22、（2020 年江苏卷）将函数 y=sin(2)43x的图象向右平移 6个单位长度，则平移后的图象中与 y 轴最近的对称轴的方程是_.【答案】524x 【解析】3sin2()3sin(2)6412yxx 72()()122242kxkkZxkZ 当1k 时524x 故答案为：524x 23、（2020 年全国 1 卷）.已知()0,，且3cos28cos5，则sin _【答案】53【解析】3cos28cos5，得26cos8cos80，即23cos4cos40，解得2cos3 或cos2（舍去），又25(0,),s
20、in1cos3.24、（2020 年浙江卷）已知 tan2，则cos 2 _；tan()4 _【答案】(1).35-(2).13【解析】2222222222cossin1 tan1 23cos2cossincossin1tan1 25，tan12 11tan()41tan123，故答案为：3 1,5 3 25、（2020 年江苏卷）】已知2sin()4=23，则sin 2 的值是_.【答案】13【解析】22221sin()(cossin)(1 sin 2)4222Q 121(1 sin 2)sin 2233 故答案为：13 26、（2019 年高考江苏卷）已知tan23tan4，则sin 24
21、的值是 .【答案】210【解析】由tan1tantantan2tan1tan13tan1tan4，得23tan5tan20，解得 tan2，或1tan3 .sin 2sin 2 coscos2 sin444 2222222sincoscossinsin 2cos2=22sincos 2222tan1 tan=2tan1，当 tan2 时，上式2222 2 1 22=22110 ；当1tan3 时，上式=22112()1()2233=1210()13 .综上，2sin 2.410 四、解答题 27、（2020 届山东省滨州市三校高三上学期联考）已知函数()sin()f xAx，其中0A，0，(0
22、,)，xR，且()f x 的最小值为-2，()f x 的图象的相邻两条对称轴之间的距离为2，()f x 的图象过点,03.（1）求函数()f x 的解析式和单调递增区间；（2）若0,2 x函数()f x 的最大值和最小值.【解析】（1）函数()sin()f xAx的最小值是-2，2A，()f x 的图象的相邻两条对称轴之间的距离为2，24T，解得：12 又()f x 的图象过点,03，123k，k Z 解得：6k，k Z，又(0,)，解得：6.可得：1()2sin 26f xx 因为1222262kxk，k Z 424433kxk，k Z 所以()f x 的递增区间为：424,433kk，k
23、Z.（2）0,2 x 17,2666x，11sin1226x 1()2f x 所以()f x 的最大值为 2，最小值为-1.28、（2020 届山东师范大学附中高三月考）设函数5()2cos()cos2sin()cos122f xxxxx.（1）设方程()10f x 在(0,)内有两个零点12,x x，求12xx的值；（2）若把函数()yf x的图象向左平移 6 个单位，再向下平移 2 个单位，得函数()g x 图象，求函数()g x在,3 3 上的最值.【解析】（1）由题设知()sin 21 cos212 cos 224f xxxx ，2()10,2 cos 221,cos 2442f xx
24、x 32244xk或522,44xkkZ 得4xk或2xk，12123(0,),424xxxxx（2）=()y f x 图像向左平移 6 个单位，得 2 cos 222 cos 222 sin 22643412yxxx 再向下平移 2 个单位得()2 sin 212g xx 当,3 3x 时，73(2),12124x，sin(2)1,112x ()f x在,3 3 的最大值为2，最小值为2.29、（2020 届山东省济宁市高三上期末）已知 23sinsincos2f xxxx.(1)若1210f,求2cos 23的值;(2)在ABC 中,角 A,B,C 所对应的边分别,a b c,若有2cos
25、cosacBbC,求角 B 的大小以及 fA 的取值范围.【解析】(1)23113sin coscossin 2cos2222f xxxxxx1sin 262x 因为11sin26210f,所以3sin65 所以2223cos 2cos 22sin1213365 725 (2)因为2coscosacBbC,由正弦定理得:2sinsincossincos,ACBBC 所以 2sincossincossincosABCBBC,即2sincossinsinABBCA,因为sin0A,1cos23BB，所以22=033ACA，,72,666A,所以1sin 2,162A,所以 fA 的取值范围是11,
26、2 30、（2020 届山东实验中学高三上期中）己知函数 2 3sincossin 244f xxxxa的最大值为 1.（1）求实数a 的值；（2）若将 f x 的图象向左平移 6 个单位，得到函数 g x 的图象，求函数 g x 在区间 0,2上的最大值和最小值.【解析】（1）2 3sincossin 244f xxxxa 3sin 2sin 23 cos2sin 22f xxxaxxa2sin 23xa 21a ，1a （2）将 f x 的图象向左平移 6 个单位，得到函数 g x 的图象，22sin 212sin 216633g xfxxx，0,2x 2252,333x 当22233x时
27、，23sin 232x，g x 取最大值31，当23232x时，2sin 213x，g x 取最小值 3.31、（2020浙江温州中学 3 月高考模拟）已知()sin()f xAx（0,04,)2A）过点1(0,)2，且当6x时，函数()f x 取得最大值 1.（1）将函数()f x 的图象向右平移 6 个单位得到函数()g x，求函数()g x 的表达式；（2）在（1）的条件下，函数2()()()2cos1h xf xg xx，求()h x 在0,2 上的值域.【解析】(1)由函数()f x 取得最大值 1，可得1A,函数过10,2得12sin，,26 12,6662fkkZ ，04，2 26f xsinx，266g xfxsinx.(2)322226h xsin xcos xsinx，710,2,21266626xxsinx，12226sinx，值域为1,2.
