1、单元质检卷五平面向量、数系的扩充与复数的引入(时间:45分钟满分:100分)一、选择题(本大题共12小题,每小题6分,共72分)1.(2019福建漳州质检二,1)2+i1-i=()A.1+3i2B.3+i2C.3-i2D.-1+3i22.已知O是ABC所在平面内一点,D为BC边的中点,且2OA+OB+OC=0,则有()A.AO=2ODB.AO=ODC.AO=3ODD.2AO=OD3.(2019浙江嘉兴一中期中)已知向量OA=(3,-4),OB=(6,-3),OC=(2m,m+1).若ABOC,则实数m的值为()A.15B.-35C.-3D.-174.(2019安徽皖西南联盟联考)设向量a与向量
2、b垂直,且a=(2,k),b=(6,4),则下列向量与向量a+b共线的是()A.(1,8)B.(-16,-2)C.(1,-8)D.(-16,2)5.(2019四川成都检测)已知向量a=(3,1),b=(-3,3),则向量b在向量a方向上的投影为()A.-3B.3C.-1D.16.已知菱形ABCD的边长为m,ABC=60,则BDCD=()A.-32m2B.-34m2C.34m2D.32m27.(2019湖南衡阳八中期中)已知向量a=(3,-4),|b|=2,若ab=5,则a与b的夹角为()A.23B.3C.4D.68.(2019湖南长沙一中模拟一)已知i为虚数单位,复数z满足(1+2i)z=(1
3、+i)(2-i),则|z|=()A.105B.22C.2D.109.已知向量OA=(2,2),OB=(4,1),在x轴上存在一点P使APBP有最小值,则P点的坐标是()A.(-3,0)B.(2,0)C.(3,0)D.(4,0)10.(2019湖南长沙一中期中)已知向量a=(1,2),b=(2,-3).若向量c满足(c+a)b,c(a+b),则c=()A.79,73B.-73,-79C.73,79D.-79,-7311.(2019天津高考模拟)在ABC中,AB=2AC=6,BABC=BA2,点P是ABC所在平面内的一点,当PA2+PB2+PC2取得最小值时,APBC=()A.35B.-9C.7D
4、.-2512.已知向量OB=(2,0),向量OC=(2,2),向量CA=(2cos ,2sin ),则向量OA与向量OB的夹角的取值范围是()A.0,4B.4,512C.512,2D.12,512二、填空题(本大题共4小题,每小题7分,共28分)13.(2019四川绵阳模拟)已知向量a=(sin 2,1),b=(cos ,1),若ab,02,则=.14.(2019河南名校联盟压轴卷四,14)已知向量a=(2,-1),b=(-4,2),c=(2,3),则c在a+b上的投影是.15.在矩形ABCD中,AB=2,BC=1,E为BC的中点,若F为该矩形内(含边界)任意一点,则AEAF的最大值为.16.
5、(2019江西景德镇一中期中)以原点O及点A(5,2)为顶点作等腰直角三角形OAB,使A=90,则AB的坐标为.参考答案单元质检卷五平面向量、数系的扩充与复数的引入1.A2+i1-i=(2+i)(1+i)(1-i)(1+i)=2+3i+i22=12+32i.故选A.2.B由2OA+OB+OC=0,得OB+OC=-2OA=2AO,即OB+OC=2OD=2AO,所以OD=AO,故选B.3.C因为ABOC,AB=(3,1),OC=(2m,m+1),所以3(m+1)=2m,m=-3.故选C.4.B因为向量a与向量b垂直,所以26+4k=0,解得k=-3,所以a+b=(8,1),则向量(-16,-2)与
6、向量a+b共线,故选B.5.A向量b在向量a方向上的投影为|b|cos,|b|cos=ab|a|=3(-3)+33+1=-3,故选A.6.D如图,设BA=a,BC=b.则BDCD=(BA+BC)BA=(a+b)a=a2+ab=m2+mmcos 60=m2+12m2=32m2.7.B由a=(3,-4)得|a|=9+16=5,ab=|a|b|cos=52cos=5,解得cos=12,a与b的夹角为3,故选B.8.C由题意得,z=(1+i)(2-i)1+2i=(3+i)(1-2i)(1+2i)(1-2i)=1-i,|z|=12+(-1)2=2.故选C.9.C设P点坐标为(x,0),则AP=(x-2,
7、-2),BP=(x-4,-1).APBP=(x-2)(x-4)+(-2)(-1)=x2-6x+10=(x-3)2+1.当x=3时,APBP有最小值1.点P坐标为(3,0).10.D设c=(x,y),则c+a=(x+1,y+2),a+b=(3,-1).(c+a)b,2(y+2)=-3(x+1),c(a+b),3x-y=0.联立两式得x=-79,y=-73,故选D.11.BBABC=|BA|BC|cos B=|BA|2,|BC|cos B=|BA|,CAAB,CAB=2,以A为坐标原点建立如图所示的平面直角坐标系,则B(6,0),C(0,3).设P(x,y),则PA2+PB2+PC2=x2+y2+
8、(x-6)2+y2+x2+(y-3)2=3x2-12x+3y2-6y+45=3(x-2)2+(y-1)2+10,所以当x=2,y=1时PA2+PB2+PC2取最小值,此时APBC=(2,1)(-6,3)=-9.故选B.12.D由题意得OA=OC+CA=(2+2cos ,2+2sin ),所以点A的轨迹是圆(x-2)2+(y-2)2=2,如图,当A为直线OA与圆的切点时,向量OA与向量OB的夹角分别达到最大、最小值,故选D.13.6向量a=(sin 2,1),b=(cos ,1),若ab,则sin 2-cos =0,即2sin cos =cos .又02,cos 0,sin =12,=6.14.
9、-55a+b=(-2,1),(a+b)c=-1,所以,c在a+b上的投影是(a+b)c|a+b|=-15=-55.15.92以A为坐标原点,AB所在直线为x轴,AD所在直线为y轴,建立平面直角坐标系,则E2,12.设F(x,y),则0x2,0y1,则AEAF=2x+12y,令z=2x+12y,当z=2x+12y过点(2,1)时,AEAF取最大值92.16.(-2,5)或(2,-5)设B(x,y),OA=(5,2),AB=(x-5,y-2),因为OAB是等腰直角三角形,且A=90,所以OAAB=0,|OA|=|AB|,即5(x-5)+2(y-2)=0,(x-5)2+(y-2)2=29.解方程组得x=3,y=7,或x=7,y=-3,所以AB=(2,-5)或AB=(-2,5).
