1、1 数据链接 真题试做2 数据聚焦 考点梳理a3 数据剖析 题型突破第22讲 矩形、菱形、正方形 目 录 数据链接 真题试做 命题点 1 矩形的性质与判断 命题点 2 菱形的性质与判断 命题点 3 正方形的性质与判断 1.(2010河北,14)如图,矩形ABCD的顶点A,B在数轴上,CD=6,点A对应的数为-1,则点B所对应的数为 .返回子目录 数据链接 真题试做 1 矩形的性质与判断 命题点15 菱形的性质与判断 命题点22.(2019河北,5)如图,菱形ABCD中,D=150,则1=()返回子目录 A.30B.25C.20D.15 D返回子目录 3.(2010河北,4)如图,在 ABCD中
2、,AC平分DAB,AB=3,则 ABCD的周长为()A.6B.9C.12D.15 C4.(2017河北,9)求证:菱形的两条对角线互相垂直.已知:如图,四边形ABCD是菱形,对角线AC,BD交于点O.求证:ACBD.以下是排乱的证明过程:又BO=DO,AOBD,即ACBD,四边形ABCD是菱形,AB=AD.证明步骤正确的顺序是()返回子目录 A.B.C.D.B返回子目录 5.(2013河北,11)如图,菱形ABCD中,点M,N在AC上,MEAD,NFAB.若NF=NM=2,ME=3,则AN=()A.3B.4C.5D.6 B6.(2011河北,14)如图,已知菱形ABCD,其顶点A,B在数轴上对
3、应的数分别为-4和1,则BC=.返回子目录 7.(2014河北,23)如图,ABC中,AB=AC,BAC=40,将ABC绕点A按逆时针方向旋转100得到ADE,连接BD,CE交于点F.(1)求证:ABDACE;(2)求ACE的度数;(3)求证:四边形ABFE是菱形.5 返回子目录 解:(1)证明:由旋转的性质,得AB=AD,AC=AE,BAC=DAE.又BAD=BAC+CAD=DAE+CAD=CAE,AB=AC,AD=AE.ABDACE(SAS).(2)由题意可知AB=AC=AD=AE,ACE是等腰三角形.ACE=AEC.又由图形旋转角度可得CAE=100,ACE=AEC=40.返回子目录(3
4、)证明:BAC=ACE=40,BACE.由(1),知ABDACE,ABD=ACE=40.BAE=BAC+CAE=140,BAE+ABD=180.AEBD.四边形ABFE是平行四边形.又AB=AE,平行四边形ABFE是菱形.正方形的性质与判断 命题点3返回子目录 8.(2020河北,16)如图是用三块正方形纸片以顶点相连的方式设计的“毕达哥拉斯”图案.现有五种正方形纸片,面积分别是1,2,3,4,5,选取其中三块(可重复选取)按如图的方式组成图案,使所围成的三角形是面积最大的直角三角形,则选取的三块纸片的面积分别是()A.1,4,5B.2,3,5C.3,4,5D.2,2,4 B9.(2019河北
5、,16)对于题目:“如图,平面上,正方形内有一长为12、宽为6的矩形,它可以在正方形的内部及边界通过移转(即平移或旋转)的方式,自由地从横放移转到竖放,求正方形边长的最小整数n.”甲、乙、丙作了自认为边长最小的正方形,先求出该边长x,再取最小整数n.甲:如图,思路是当x为矩形对角线长时就可移转过去;结果取n=13.乙:如图,思路是当x为矩形外接圆直径长时就可移转过去;结果取n=14.丙:如图,思路是当x为矩形的长与宽之和的 倍时就可移转过去;结果取n=13.返回子目录 图 图 图 图 返回子目录 下列正确的是()A.甲的思路错,他的n值对B.乙的思路和他的n值都对 C.甲和丙的n值都对D.甲、
6、乙的思路都错,而丙的思路对 B10.(2016河北,6)关于 ABCD的叙述,正确的是()A.若ABBC,则 ABCD是菱形B.若ACBD,则 ABCD是正方形 C.若AC=BD,则 ABCD是矩形D.若AB=AD,则 ABCD是正方形 C返回子目录 11.(2018河北,12)用一根长为acm的铁丝,首尾相接围成一个正方形.现要将它按如图所示的方式向外等距扩1cm,得到新的正方形,则这根铁丝需增加()A.4cmB.8cm C.(a+4)cm D.(a+8)cmB12.(2015河北,16)如图是甲、乙两张不同的矩形纸片,将它们分别沿着虚线剪开后,各自要拼一个与原来面积相等的正方形,则()返回
7、子目录 A.甲、乙都可以B.甲、乙都不可以 C.甲不可以,乙可以D.甲可以,乙不可以 A返回子目录 13.(2014河北,8)如图,将长为2、宽为1的矩形纸片分割成n个三角形后,拼成面积为2的正方形,则n()A.2B.3C.4D.5A返回子目录 14.(2013河北,13)一个正方形和两个等边三角形的位置如图所示,若3=50,则1+2=()A.90B.100C.130D.180 B返回子目录 15.(2011河北,23)如图,四边形ABCD是正方形,点E,K分别在BC,AB上,点G在BA的延长线上,且CE=BK=AG.(1)求证:DE=DG;DEDG.(2)尺规作图:以线段DE,DG为边作出正
8、方形DEFG(要求:只保留作图痕迹,不写作法和证明).(3)连接(2)中的KF,猜想并写出四边形CEFK是怎样的特殊四边形,并证明你的猜想.(4)当=时,请直接写出正方形正方形的值.返回子目录 解:(1)证明:四边形ABCD是正方形,DC=DA,DCE=DAG=90.在DCE和DAG中,=,=,=,DCEDAG(SAS).DE=DG.由可知EDC=GDA,又ADE+EDC=90,ADE+GDA=90.DEDG.返回子目录(2)尺规作图如图所示:返回子目录(3)四边形CEFK为平行四边形.证明:设CK,DE相交于点M.四边形ABCD和四边形DEFG都是正方形,ABCD,AB=CD,EF=DG,E
9、FDG.BK=AG,KG=AB=CD.又KGCD,四边形CKGD为平行四边形.CK=DG=EF,CKDG.又EFDG,CKEF.四边形CEFK为平行四边形.(4)正方形正方形=+.数据聚焦 考点梳理 1 2 3 考点 矩形的性质与判断 考点 菱形的性质与判断 考点 正方形的性质与判断 考点 3 特殊的平行四边形的关系 4 返回子目录 矩形的性质与判断 考点1数据聚集 考点梳理 2 1.定义:有一个角是直角的平行四边形叫做矩形.如图.返回子目录 2.性质 文字描述字母表示（参考上页图）(1)对边平行且相等 AD BC,AB CD(2)四个内角都是 DAB=ABC=BCD=CDA=(3)两条对角线
10、 且 AC=BD,OA=OC=OB=OD(4)矩形既是中心对称图形,也是轴对称图形,有2条对称轴 直角90 相等互相平分返回子目录 3.判定 文字描述字母表示（参考上图）(1)有一个角是 的平行四边形是矩形 若四边形ABCD是平行四边形,且BAD=90,则四边形ABCD是矩形(2)有三个角是 的四边形是矩形 若四边形ABCD中,BAD=ABC=BCD=90,则四边形ABCD是矩形(3)对角线 的平行四边形是矩形 若AC=BD,且四边形ABCD是平行四边形,则四边形ABCD是矩形 直角直角相等返回子目录【规律总结】应用矩形性质计算的一般思路:(1)根据矩形的四个角都是直角,一条对角线将矩形分成两
11、个全等的直角三角形,用勾股定理或三角函数求线的长度;(2)根据矩形对角线相等且互相平分,可借助对角线的关系得到全等三角形,矩形的两条对角线把矩形分成四个等腰三角形,在矩形性质相关的计算和证明中要注意这个结论的运用,建立能够得到线段或角度的等量关系.菱形的性质与判断 考点2返回子目录 1.定义:有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.如图.2.性质 返回子目录 文字描述 字母表示（参考上图）（1）菱 形 的 四 条 边 都 .AB=BC=CD=DA（2）菱形的对角相等 DAB=DCB,ADC=.(3)菱 形 的 两 条 对 角 线 互 相 ,且每条对角线平分一组对角 ACBD,AO=CO,BO=DO
12、,DAC=CAB=DCA=ACB,ADB=BDC=ABD=DBC(4)菱形既是中心对称图形,也是轴对称图形,有2条对称轴 相等ABC垂直平分3.判定 返回子目录 文字描述字母表示（参考上图）(1)有一组邻边相等的 四边形是菱形 若 四 边 形 ABCD 是 平 行 四 边 形,且AD=AB,则四边形ABCD是菱形(2)四条边 的四边形是菱形 若四边形ABCD中,AB=BC=CD=DA,则四边形ABCD是菱形(3)两条对角线 的平行四边形是菱形 若ACBD,且四边形ABCD是平行四边形,则四边形ABCD是菱形 平行相等互相垂直返回子目录 4.面积(1)菱形的面积等于一边与这边上高的乘积,即S=a
13、h;(2)菱形的面积等于对角线乘积的一半,即S=ACBD.【规律总结】应用菱形性质计算的一般思路:(1)菱形的对边平等、对角相等、四边相等,故在解题时,可利用等量代换来转换为其他边的长;(2)菱形的对角线互相垂直,故常借助勾股定理来求线段的长.正方形的性质与判断 考点3返回子目录 1.定义:有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形.如图.返回子目录 2.性质 文字描述字母表示（参考上图）(1)四条边都相等 AB=BC=CD=DA(2)四个角都是90 ABC=ADC=BCD=BAD=90(3)对 角 线 互 相 平 分 且 ACBD,AO=OC=OD=OB(4)对角线平分一组对角 D
14、AC=CAB=DCA=ACB=ADB=BDC=ABD=DBC=45(5)正方形既是中心对称图形,也是轴对称图形,有4条对称轴 垂直相等3.判定 返回子目录 文字描述字母表示（参考上图）(1)一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形 若 四 边 形 ABCD 是 平 行 四 边 形,且AB=BC,ADC=90,则四边形ABCD是正方形(2)有一个角是直角的 是正方形 若ABC=90,且四边形ABCD是菱形,则四边形ABCD是正方形 菱形文字描述字母表示（参考上图）(3)有一组邻边相等的 是正方形 若AB=BC,且四边形ABCD是矩形,则四边形ABCD是正方形(4)对角线互相 的四边形是
15、正方形 若 四 边 形 ABCD 中,AC BD,AC 平 分BD,BD平分AC,AC=BD,则四边形ABCD是正方形 返回子目录 矩形垂直平分且相等特殊的平行四边形的关系 考点4返回子目录 数据剖析 题型突破 考向 矩形的性质与判断 考向 菱形的性质与判断 考向 正方形的性质与判断 3 2 1 返回子目录 矩形的性质与判断（5年考0次）考向1数据剖析 题型突破 3 1.(2021河北大联考)求证:有三个角是直角的四边形是矩形.已知:如图,A=B=C=90,求证:四边形ABCD是矩形.返回子目录 证明:A=B=C=90,A+B=180,C+D=180,ADBC,ABDC.()B=90,四边形A
16、BCD是矩形.()在证明的过程中,依据分别表示()A.表示两直线平行,同旁内角互补;表示对角线相等的平行四边形是矩形 B.表示两直线平行,同旁内角互补;表示有一个角是直角的平行四边形是矩形 C.表示同旁内角互补,两直线平行;表示有一个角是直角的平行四边形是矩形D.表示同旁内角互补,两直线平行;表示对角线相等的平行四边形是矩形 C返回子目录 2.如图,将矩形ABCD沿对角线BD折叠,点C落在点E处,BE与AD交于点F,已知BDC=62,则DFE的度数为()A.31B.28C.62D.56 D3.(2021河北模拟)如图,在矩形ABCD中,两条对角线相交于点O,过点O作AC的垂线EF,分别交AD,
17、BC于点E,F,连接CE,若OC=2 cm,CD=4 cm,则DE的长为()返回子目录 A.cmB.5 cmC.3 cmD.2 cmC返回子目录 4.(2021张家口模拟)如图,矩形ABCD的对角线AC与BD相交于点O,AC=10,P,Q分别为AO,AD的中点,则PQ的长度为 .返回子目录 5.(2021原创题)如图,在矩形ABCD中,按以下步骤作图:分别以点A和C为圆心,以大于AC的长为半径作弧,两弧相交于点M和N;作直线MN交CD于点E.若DE=2,CE=3,则矩形的对角线AC的长为 .返回子目录 6.(2021河北预测)已知:如图,四边形ABCD四条边上的中点分别为E,F,G,H,顺次连
18、接EF,FG,GH,HE,得到四边形EFGH(即四边形ABCD的中点四边形).(1)四边形EFGH的形状是 ,证明你的结论.(2)当四边形ABCD的对角线满足什么条件时,四边形EFGH是矩形,说明理由.返回子目录 解:(1)四边形EFGH的形状是平行四边形.证明如下:如图1,连接BD.E,H分别是AB,AD中点,EHBD,EH=BD,同理FGBD,FG=BD.EHFG,EH=FG.四边形EFGH是平行四边形.返回子目录(2)当四边形ABCD的对角线满足互相垂直的条件时,四边形EFGH是矩形.理由如下:如图2,连接AC,BD.E,F,G,H分别为四边形ABCD四条边上的中点,EHBD,HGAC.
19、ACBD,EHHG.又四边形EFGH是平行四边形,平行四边形EFGH是矩形.在证明一个四边形是矩形时,应先看是否知道这个四边形为平行四边形,如果不知道它是平行四边形,可有两种思考方法:(1)证明该四边形有三个角是直角,从而证明该四边形是矩形;(2)先证明该四边形是平行四边形,再证其为矩形.具体选择哪种思考方法,应根据题目特点灵活选用.返回子目录 菱形的性质与判断（5年考2次）考向2返回子目录 1.(2021河北一模)在类比探究菱形的有关问题这节网课中,老师给出了如下画菱形的步骤,请问这么画的依据是()A.四条边都相等的四边形是菱形 B.两组对边分别相等的四边形是平行四边形,有一组邻边相等的平行
20、四边形是菱形 C.两组对边分别平行的四边形是平行四边形,有一组邻边相等的平行四边形是菱形 D.两组对边分别平行的四边形是平行四边形,两条对角线互相垂直的平行四边形是菱形 C2.(2021河北模拟)如图,OC平分AOB,点D是OC上一点,过点D分别作OB和OA的平行线,交OA于点E,交OB于点F.下面是某同学根据条件进行的推理:返回子目录 DEOB,DFOA,四边形OEDF是 .OC平分AOB,AOC=BOC.DEOB,EDO=BOC,AOC=EDO,OE=DE,四边形OEDF是 .上述推理过程中的和分别代表()返回子目录 A.平行四边形、矩形B.平行四边形、菱形C.矩形、正方形D.菱形、正方形
21、B返回子目录 3.(2021河北模拟)如图,四边形ABCD是菱形,AC=8,DB=6,DHAB于点H,则DH等于()A.B.C.5D.4 A4.(2021河北模拟)如图,菱形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,过点D作DHAB于点H,连接OH,若OA=6,S菱形ABCD=48,则OH的长为()返回子目录 A.4 B.6C.8D.A返回子目录 5.(2021河北预测)如图,在菱形ABCD中,过点A作AHBC,分别交BD,BC于点E,H,点F为ED的中点,BAF=120,则C的度数为 .140 返回子目录 6.(2021河北模拟)如图,在四边形ABCD中,ABDC,AB=AD,对角线AC,BD交
22、于点O,AC平分BAD,过点C作CEAB交AB的延长线于点E,连接OE.(1)求证:四边形ABCD是菱形;(2)若AB=,BD=2,求OE的长.返回子目录 解:(1)ABCD,OAB=DCA.AC为DAB的平分线,OAB=DAC,DCA=DAC,CD=AD=AB.ABCD,四边形ABCD是平行四边形.AD=AB,ABCD是菱形.返回子目录（2）四边形ABCD是菱形,OA=OC,BDAC.CEAB,OE=OA=OC.BD=2,OB=BD=1,在RtAOB中,AB=,OB=1,OA=2,OE=OA=2.返回子目录 解决与菱形相关的计算问题时,一定要想到菱形的四条边相等,对角线互相垂直且平分.在计算
23、角度时注意互余角的应用,在计算线段长时注意勾股定理的应用.返回子目录 正方形的性质与判断（5年考4次）考向31.(2021河北中考模拟)如图,正方形ABCD的边长为4,点E在AB上且BE=1,点F为对角线AC上一动点,则BFE周长的最小值为()A.5 B.6C.7D.8 B返回子目录 2.(2021石家庄43中一模)如图,已知正六边形ABCDEF的边长为1,分别以其对角线AD,CE为边作正方形,则两个阴影部分的面积差a-b的值为()A.0 B.1C.2D.B返回子目录 3.(2021河北二模)如图,在等腰RtABC中,ACB=90,AC=1,以斜边AB为边向外作正方形ABDE,连接CD,则CD
24、的长为()A.2 B.C.D.C返回子目录 4.(2021邯郸二模)如图,在ABC中,BC=120,高AD=60,正方形EFGH一边在BC上,点E,F分别在AB,AC上,AD交EF于点N,则AN的长为()A.15 B.20C.25D.30 B返回子目录 5.(2021石家庄模拟)如图,已知正方形ABCD的边长为4,对角线AC与BD相交于点O,点E在边DC的延长线上.若CAE=15,则AE=.8 6.(2021河北模拟)如图,点E是正方形ABCD内一点,CDE是等边三角形,连接EB,EA,延长BE交边AD于点F.(1)求证:ADEBCE;(2)求AFB的度数.返回子目录 解:(1)证明:四边形A
25、BCD是正方形,ADC=BCD=90,AD=BC.CDE是等边三角形,CDE=DCE=60,DE=CE.ADC=BCD=90,CDE=DCE=60,ADE=BCE=30.AD=BC,ADE=BCE,DE=CE,ADEBCE(SAS).返回子目录(2)ADEBCE,AE=BE,BAE=ABE.BAE+DAE=90,ABE+AFB=90,DAE=AFB.AD=CD=DE,DAE=DEA.ADE=30,DAE=75,AFB=75.返回子目录 证明一个四边形是正方形可从以下几个方面考虑:(1)“平行四边形”+“一组邻边相等”+“一个角为直角”(定义法);(2)“矩形”+“一组邻边相等”;(3)“矩形”+“对角线互相垂直”;(4)“菱形”+“一个角为直角”;(5)“菱形”+“对角线相等”.
