1、37函数的极值一、学习目标理解并掌握函数极值的概念；会求某些函数的极值；会用极值知识解决一些实际问题二、重点难点本节重点：可微函数的极值与最值极值定义：设函数y f（x）在点x 0附近有定义，如果对x 0附近的所有的点，都有f（x）f（x 0），则称f（x 0）是函数y f（x）的一个极大值，记作y极大值f（x 0）；如果对x 0附近的所有点，都有f（x）f（x 0），则称f（x 0）是函数y f（x）的一个极小值，记作y极小值f（x 0）极大值与极小值统称为极值判别方法：当函数y f（x）在点x0处连续时，判别f（x 0）是极大（小）值的方法是：如果在x 0附近的左侧f(x)0，右侧f(x)
2、0，那么f（x 0）是极大值如果在x 0附近的左侧f(x)0，右侧f(x 0)0，那么f（x 0）是极小值本节难点：对可导函数，f(x 0)0只是x 0点为极值点的必要条件例如，y x 3，在x 0时f(0)0，但x 0处非极值点；对某点不可导函数，该点也可能为极值点，例如：f（x）| x |，x 0是极小值，但x 0时，函数不可导三、典型例题1怎样用一阶导数求函数的极值：例1求下列函数的极值：（1）y x48 x 2 2（2）y x 2ex【解】（1）y4 x316 x，令y0，解得x10，x22，x32当x变化时，y，y的变化情况如下表：x（，2）2（2，0）0（0，2）2（2，）y000
3、y极小值14极大值2极小值14当x 0时，y有极大值，y极大值2；当x 2时，y有极小值，y极小值14（2）y2 xexx 2 exex（2 x x2）令y0，解得x10，x22 当x变化时，y，y的变化情况如下表：x（，0）0（0，2）2（2，）y00y极小值0极大值当x 0时，y有极小值，y极小值0；当x 2时，y有极大值，y极大值【点评】上述二例给出求极值的方法： 求导数 令导数为0，求导数为0的x的值 观察导数为0的点在其左、右导数变化情况，此步常用列表法 判断导数为0点是否为极值点，极大还是极小值2应用二阶导数判断函数极值的方法例2求函数的极值：y 2 e x ex【解一】y2 exex令y0 2exex 2 e2x1e2 x x ln 2在x ln2附近 y由负到正 y有极小值，y极小2【解二】y2 e x ex令y0 则x ln 2y2 e x ex由于：y(ln 2) 2 ee20说明y在x ln 2附近是增函数，即由负到正，所以y有极小值2【点评】解法二用了二阶导数判断极值的方法某点一阶导数为0，二阶导数大于0，说明一阶导数为增函数，即由负变正，判断为极小值；反之，某点一阶导数为0，二阶导数小于0，说明一阶导数为单调减函数，即由正变负，判断此点为极大值点
