1、2.1.3向量的减法学习目标：1.掌握向量减法的运算，并理解其几何意义(重点)2.理解相反向量的含义，能用相反向量说出向量相减的意义(难点)3.能将向量的减法运算转化为向量的加法运算(易混点)自 主 预 习探 新 知1向量的减法(1)向量减法的定义：已知向量a，b(如图2127)，作a，作b，则ba，向量叫做向量a与b的差，并记作ab，即ab.图2127(2)向量减法的两个重要结论：如果把两个向量的始点放在一起，则这两个向量的差是以减向量的终点为始点，被减向量的终点为终点的向量一个向量等于它的终点相对于点O的位置向量减去它的始点相对于点O的位置向量，或简记“终点向量减始点向量”2相反向量(1)
2、相反向量的定义：与向量a方向相反且等长的向量叫做a的相反向量，记作a.(2)相反向量的性质：a(a)(a)a0；(a)a；零向量的相反向量仍是0，即00.(3)向量减法的理解：在向量减法的定义式ba的两边同时加(b)，由b(b)0得a(b)，这就是说，从一个向量减去另一个向量等于加上这个向量的相反向量思考：“向量的减法实质是向量加法的逆运算”，这种说法对吗？提示对利用相反向量的定义，就可以把向量减法化为向量加法基础自测1判断(正确的打“”，错误的打“”)设b是a的相反向量，判断下列说法的正误(1)a与b的长度必相等()(2)ab.()(3)a与b一定不相等()(4)a是b的相反向量()解析由相
3、反向量的定义可知|a|b|，ab，a也是b的相反向量，故(1)(2)(4)正确当a0时，00，此时b0，所以可以有ab0.故(3)错误答案(1)(2)(3)(4)2在平行四边形ABCD中，a，b，则的相反向量是()【导学号：79402054】AabBbaCab DabAba，所以的相反向量为ab.3下列等式中，正确的个数为()0aa；(a)a；a(a)0；a0a；aba(b)；a(a)0.A3 B4C5 D6C只有不正确，故选C.4在ABC中，D为BC的中点，设c，b，a，d，则da_.解析dad(a)c.答案c合 作 探 究攻 重 难向量减法及其几何意义(1)可以写成：；.其中正确的是()A
4、 BC D(2)化简：_；_.(3)已知菱形ABCD的边长为2，则向量的模为_，|的范围是_思路探究运用向量减法的三角形法则及相反向量求解解析(1)因为，所以选D.(2)()0；()().(3)因为，又|2，所以|2.又因为，且在菱形ABCD中，|2，所以|，即0|4.答案(1)D(2)0(3)2(0,4)规律方法1向量加法与减法的几何意义的联系：(1)如图所示，平行四边形ABCD中，若a，b，则ab，ab.(2)类比|a|b|ab|a|b|可知|a|b|ab|a|b|.2求两个向量的减法可以转化为向量的加法来进行，如ab，可以先作b，然后用加法a(b)即可，也可以直接用向量减法的三角形法则，
5、即把减向量与被减向量的起点重合，则差向量是从减向量的终点指向被减向量的终点3向量加减法化简的两种形式：(1)首尾相连且为和(2)起点相同且为差做题时要注意观察是否有这两种形式，同时要注意逆向应用跟踪训练1下列各式中不能化简为的是()【导学号：79402055】A()B()C()()DD选项A中()；选项B中()0；选项C中()()().利用已知向量表示其他向量如图2128所示，已知a，b，c，d，e，f，试用a，b，c，d，e，f表示：图2128(1)；(2)；(3).思路探究运用三角形法则和平行四边形法则，将所求向量用已知向量a，b，c，d，e，f的和与差来表示解(1)b，d，db.(2)a
6、，b，c，f，()()bfac.(3)d，f，fd.规律方法1解决此类问题应搞清楚图形中的相等向量、相反向量、平行向量以及构成三角形三向量之间的关系，确定已知向量与被表示向量的转化渠道2通过表示向量的有向线段的字母符号运算来解决问题时，运算过程中，将“”改为“”，只需把表示向量的两个字母的顺序颠倒一下即可，如“”改为“”跟踪训练2.如图2129，在五边形ABCDE中，若四边形ACDE是平行四边形，且a，b，c，试用a，b，c表示向量，及.图2129解四边形ACDE为平行四边形，c，ba，ca，cb，bac.向量减法的三角不等式及其取等条件探究问题1若|8，|5，则|的取值范围是什么？提示由及三
7、角不等式，得|，又因为|8，所以3|13，即|3,132已知向量a，b，那么|a|b|与|ab|及|a|b|三者具有什么样的大小关系？提示它们之间的关系为|a|b|ab|a|b|.(1)当a，b有一个为零向量时，不等式显然成立(2)当a，b不共线时，作a，b，则ab，如图(1)所示，根据三角形的性质，有|a|b|ab|a|b|.同理可证|a|b|ab|b|，作法同上，如图(3)所示，此时|ab|a|b|.综上所述，得不等式|a|b|ab|a|b|.设a和b的长度均为6，夹角为，则|ab|等于_思路探究画出平行四边形数形结合求解解析如图，作a，b，则|ab|，在RtBCO中，BOC，|6，|3，
8、|ab|2|6.答案6规律方法利用“三角形法则、平行四边形法则”把向量问题转化为平面几何的问题，然后利用平面几何中的方法进行数量的计算或位置关系的判断也是本节的一个解题技巧，采用数形结合的方法常可以简化运算，达到巧解的目的.跟踪训练3已知|a|6，|b|8，且|ab|ab|，求|ab|.【导学号：79402056】解如图，作a，b，再以OA，OB为邻边作平行四边形OACB，则有ab，ab，即|ab|与|ab|是平行四边形的两条对角线的长度，又因为|ab|ab|，所以该四边形为矩形，从而|ab|10.当 堂 达 标固 双 基1化简所得结果是()AB.C0 D.C本题考查向量的加法与减法法一利用减
9、法做，要注意共始点，方向指向被减向量P0；法二把减法转化为加法：0；法三利用结合律先计算加法：()0.2如图2130所示，在平行四边形ABCD中，下列结论中错误的是()【导学号：79402057】图2130A. B.C. D.0CA项显然正确，由平行四边形法则知B项正确.，故C项错误D项中0.3若O，E，F是不共线的任意三点，则以下各式中成立的是()A. B.C. D.B因为O，E，F三点不共线，所以在OEF中，由向量减法的几何意义，得，故选B.4已知a，b为非零向量，则下列命题中真命题的序号是_.若|a|b|ab|，则a与b方向相同；若|a|b|ab|，则a与b方向相反；若|a|b|ab|，则a与b有相等的模；若|a|b|ab|，则a与b方向相同解析当a，b方向相同时有|a|b|ab|，|a|b|ab|，当a，b方向相反时有|a|b|ab|，|a|b|ab|.因此为真命题答案5化简：()()解法一()()()()0.法二()()()()0.
