1、保分专题(四)三角函数的图象与性质全国卷 3 年考情分析年份 卷别 考查内容及考题位置 命题分析 2017 卷 三角函数的周期T3 1.高考对此部分内容的命题主要集中于三角函数的定义、图象与性质，主要考查图象的变换，函数的单调性、奇偶性、周期性、对称性及最值，并常与三角恒等变换交汇命题2.主要以选择、填空题的形式考查，难度为中等偏下，大多出现在第311或第14题位置上三角函数的最值T13 卷 三角函数的最值T6 2016 卷 三角函数的图象变换与性质T6 卷 已知三角函数图象求解析式T3 三角函数的最值问题T11 卷 三角函数图象变换T14 2015 卷 三角函数的图象与性质T8 三角函数的定
2、义、诱导公式及基本关系师生共研悟通1三角函数的定义若角 的终边过点 P(x，y)，则 sin yr，cos xr，tan yx(其中 r x2y2)2利用诱导公式进行化简求值的步骤利用公式化任意角的三角函数为锐角三角函数，其步骤：去负脱周化锐特别注意函数名称和符号的确定(注意“奇变偶不变，符号看象限”)3基本关系sin2xcos2x1，tan xsin xcos x.典例(1)若sin2 35，且2，则tan()()A43 B23 C23D43解析 由sin2 cos 35，且2，得sin 1cos245，所以tan()tan sin cos 453543.答案 A(2)已知角的顶点与原点重合
3、，始边与x轴的正半轴重合，终边上一点P(4,3)，则cos2 sincos112 sin92 的值为_解析 原式sin sin sin cos tan.根据三角函数的定义，得tan yx34，故原式34.答案 34应用三角函数的定义和诱导公式的注意事项(1)当角的终边所在的位置不是唯一确定的时候要注意分情况解决，机械地使用三角函数的定义就会出现错误(2)应用诱导公式与同角关系开方运算时，一定注意三角函数的符号；利用同角三角函数的关系化简要遵循一定的原则，如切化弦、化异为同、化高为低、化繁为简等类题通法即学即用练通1(2017北京高考)在平面直角坐标系xOy中，角与角均以Ox为始边，它们的终边关
4、于y轴对称若sin 13，则sin _.解析：法一：当角的终边在第一象限时，取角终边上一点P1(22，1)，其关于y轴的对称点(22，1)在角的终边上，此时sin 13；当角的终边在第二象限时，取角终边上一点P2(22，1)，其关于y轴的对称点(22，1)在角的终边上，此时sin 13.综上可得sin 13.法二：令角与角均在区间(0，)内，故角与角互补，得sin sin 13.法三：由已知可得，sin sin(2k)sin()sin 13(kZ)答案：132已知2，则12sinsin32 _.解析：因为12sinsin32 12sin cos sin cos 2|sin cos|，又2，所以
5、原式sin cos.答案：sin cos 三角函数的图象与解析式师生共研悟通函数 yAsin(x)的图象(1)“五点法”作图设 zx，令 z0，2，32，2，求出 x 的值与相应的 y 的值，描点、连线可得(2)图象变换ysin x 的图象向左0或向右0倍平移|个单位长度ysin(x)的图象纵坐标变为原来的AA0倍横坐标不变yAsin(x)的图象典例(1)(2017全国卷)已知曲线 C1：ycos x，C2：ysin2x23，则下面结论正确的是()A把 C1 上各点的横坐标伸长到原来的 2 倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移6个单位长度，得到曲线 C2B把 C1 上各点的横坐标伸长到原来的
6、 2 倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移 12个单位长度，得到曲线 C2C把 C1 上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移6个单位长度，得到曲线 C2D把 C1 上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移 12个单位长度，得到曲线 C2解析 易知 C1：ycos xsinx2，把曲线 C1 上的各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，得到函数 ysin2x2的图象，再把所得函数的图象向左平移 12个单位长度，可得函数ysin2x 12 2 sin2x23 的图象，即曲线 C2.答案 D(2)(2017昆明质检)函数 ysin3x6
7、 的图象可由函数 ycos3x的图象至少向右平移m(m0)个单位长度得到，则m()A1 B12 C6D2解析 因为 ysin3x6 cos23x cos3x1，所以只需将函数 ycos3x的图象向右至少平移1个单位长度即可得到函数 ysin3x6 的图象答案 A 6类题通法解决三角函数图象问题的方法及注意事项(1)已知函数 yAsin(x)(A0，0)的图象求解析式时，常采用待定系数法，由图中的最高点、最低点或特殊点求A；由函数的周期确定；确定 常根据“五点法”中的五个点求解，其中一般把第一个零点作为突破口，可以从图象的升降找准第一个零点的位置(2)在图象变换过程中务必分清是先相位变换，还是先
8、周期变换，变换只是相对于其中的自变量 x 而言的，如果 x 的系数不是 1，就要把这个系数提取后再确定变换的单位长度和方向即学即用练通1(2018 届高三云南 11 校跨区调研)函数 f(x)sin(3x)|2的图象向左平移9个单位长度后关于原点对称，则()A3B6 C9D3解析：依题意得，ysin3x9 sin3x3 的图象关于原点对称，于是有 sin3 0，3k，kZ，即k3(kZ)又|2，因此 3.答案：D 2函数 f(x)sinx6 的图象上各点的纵坐标不变，将横坐标伸长到原来的 2 倍，所得图象的一条对称轴方程可能是()Ax 12Bx 12Cx3Dx23解析：函数 f(x)sinx6
9、 的图象上各点的纵坐标不变，将横坐标伸长到原来的 2 倍，得到函数 ysin12x6 的图象，由12x62k，kZ，得 x23 2k，kZ，当 k0 时，函数图象的对称轴为 x23.答案：D 3(2017兰州诊断)函数 f(x)sin(x)0，|2 的部分图象如图所示，若 x1，x26，3，且 f(x1)f(x2)，则 f(x1x2)()A12B 22C.32D1解析：由图知，T22，即T，则2，f(x)sin(2x)，点3，0 在函数f(x)的图象上，sin23 0，即23 k，kZ，又|0)的单调区间的一般思路：令xz，则yAsin z(或yAcos z)，然后由复合函数的单调性求得(2)
10、三角函数周期性的求法函数yAsin(x)(或yAcos(x)的最小正周期T2|.应特别注意y|Asin(x)|的周期为T|.(3)三角函数最值的求法在求最值时，一般要先确定函数的定义域，然后结合三角函数性质可得函数f(x)的最值类题通法即学即用练通1(2016全国卷)函数f(x)cos 2x6cos2x 的最大值为()A4 B5C6 D7解析：f(x)cos 2x6cos2x cos 2x6sin x12sin2x6sin x2sin x322112，又sin x1,1，当sin x1时，f(x)取得最大值5.答案：B 2(2017全国卷)设函数f(x)cos x3，则下列结论错误的是()Af
11、(x)的一个周期为2Byf(x)的图象关于直线x83 对称Cf(x)的一个零点为x6Df(x)在2，单调递减解析：根据函数解析式可知函数f(x)的最小正周期为2，所以函数的一个周期为2，A正确；当x83 时，x33，所以cosx3 1，所以B正确；f(x)cos x3 cos x43，当x 6 时，x 43 32，所以f(x)0，所以C正确；函数f(x)cos x3 在 2，23 上单调递减，在 23，上单调递增，故D不正确答案：D 3(2017合肥质检)已知函数f(x)sin xcos x(0)的最小正周期为.(1)求函数yf(x)图象的对称轴方程；(2)讨论函数f(x)在0，2 上的单调性
12、解：(1)f(x)sin xcos x 2sinx4，且T，2.于是f(x)2sin2x4.令2x4k2(kZ)，得xk2 38(kZ)，即函数f(x)图象的对称轴方程为xk2 38(kZ)(2)令 2k22x42k2(kZ)，得函数 f(x)的单调递增区间为k8，k38(kZ)注意到 x0，2，所以令 k0，得函数 f(x)在0，2 上的单调递增区间为0，38；同理，其单调递减区间为38，2.创新应用 三角函数与其他知识的交汇问题 三角函数的图象与性质是高考考查的重点，近年来，三角函数与其他知识交汇命题成为高考的热点，由原来三角函数与平面向量的交汇渗透到三角函数与函数的零点、数列、不等式、复
13、数、方程等知识的交汇.典例(1)(2017黄冈质检)已知关于 x 的方程|cos x|xk在(0，)上有两个不相等的实数根，记为，()，则下列四个结论正确的是()Asin 22cos2 Bcos 22sin2Csin 22sin2Dcos 22sin2解析 方程|cos x|xk 在(0，)上有两个不相等的实数根，即方程|cos x|kx 在(0，)上有两个不相等的实数根作出 y|cos x|的部分图象，如图所示，易知只有 ykx 与 y|cos x|在2，上相切时才符合题意，此时 y|cos x|cos x，y|xsin k，又|cos|k，即 kcos，所以 sin cos，所以 sin
14、22sin2.答案 C(2)(2014全国卷)设函数 f(x)3sinxm.若存在 f(x)的极值点 x0 满足 x20f(x0)2m2，则 m 的取值范围是()A(，6)(6，)B(，4)(4，)C(，2)(2，)D(，1)(1，)解析 由正弦型函数的图象可知：f(x)的极值点 x0 满足f(x0)3，则x0m 2k(kZ)，从而得 x0k12 m(kZ)所以不等式 x20f(x0)2m2 即为k122m233，其中 kZ.由题意，存在整数 k 使得不等式m2 1k122 3 成立当 k1 且 k0 时，必有k1221，此时不等式显然不能成立，故 k1 或 k0，此时，不等式即为34m23，
15、解得 m2.答案 C 解决三角函数与其他知识的交汇问题，要充分利用三角函数的图象与性质如本例(1)应结合三角函数图象利用数形结合思想求解，本例(2)f(x)的极值点x0是三角函数取得最值的x值从而得出x0和m的关系，问题逐步解决类题通法针对训练1设an 1n sin n25，Sna1a2an，在S1，S2，S100中，正数的个数是()A25 B50 C75 D100解析：当1n24时，an0，当26n49时，an0；当76n99时，an0.答案：D 2若存在实数，使得圆面x2y24恰好覆盖函数ysin kx 图象的最高或最低点共三个，则正数k的取值范围是_解析：函数ysinkx 的图象的最高点或最低点一定在直线y1上，由y1，x2y24，解得 3x 3，由题意可得：T2k2k，T2 32T，解得正数k的取值范围是32，3.答案：32，3 “专题过关检测”见“专题检测(十)”(单击进入电子文档)
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