1、抛物线及其性质挖命题【考情探究】考点内容解读5年考情预测热度考题示例考向关联考点抛物线的定义及其标准方程了解抛物线的定义,并会用定义进行解题;掌握求抛物线标准方程的基本步骤(定型、定位、定量)和基本方法(定义法和待定系数法)2014课标,10,5分抛物线的定义抛物线的几何性质抛物线的几何性质知道抛物线的简单几何性质(范围、对称性、顶点、离心率);能用其性质解决有关抛物线的问题,了解抛物线的一些实际应用2018北京,10,5分抛物线的几何性质抛物线的弦长2016课标全国,5,5分抛物线的几何性质等轴双曲线直线与抛物线的位置关系会用代数法和数形结合法判断直线与抛物线的位置关系;根据所学知识熟练解决
2、直线与抛物线位置关系的综合问题2018课标全国,20,12分直线与抛物线的位置关系直线的方程,定值问题的证明2016课标全国,20,12分直线与抛物线的位置关系两直线平行的判定,三角形面积分析解读从近几年的高考试题来看,抛物线的定义、标准方程、几何性质以及直线与抛物线的位置关系等一直是高考命题的热点,题型既有选择题、填空题,又有解答题;客观题突出“小而巧”的特点,主要考查抛物线的定义、标准方程,主观题考查得较为全面,除考查定义、性质之外,还考查直线与抛物线的位置关系,考查基本运算能力、逻辑思维能力和综合分析问题的能力,着重于对数学思想方法及数学语言的考查.破考点【考点集训】考点一抛物线的定义及
3、其标准方程1.(2019届广东顶级名校期中联考,3)已知抛物线x2=ay(a0)的焦点为F,准线为l,该抛物线上的点M到x轴的距离为5,且|MF|=7,则焦点F到准线l的距离是() A.2B.3C.4D.5答案C2.(2018河南中原名校12月联考,11)已知双曲线C1:x2a2-y2b2=1(a0,b0)的离心率为3,若抛物线C2:x2=2py(p0)的焦点到双曲线C1的渐近线的距离为2,则抛物线C2的方程为()A.x2=833yB.x2=4y C.x2=12y D.x2=24y答案D3.(2018云南玉溪模拟,14)已知F是抛物线y=x2的焦点,M、N是该抛物线上的两点,|MF|+|NF|
4、=3,则线段MN的中点到x轴的距离为.答案54考点二抛物线的几何性质1.(2015陕西,3,5分)已知抛物线y2=2px(p0)的准线经过点(-1,1),则该抛物线焦点坐标为()A.(-1,0) B.(1,0)C.(0,-1) D.(0,1)答案B2.(2017广东中山一调,5)已知抛物线x2=2py(p0)的准线与椭圆x26+y24=1相切,则p的值为()A.4B.3C.2D.1答案A3.(2019届安徽皖中地区9月调研,9)抛物线E:y2=2px(p0)的焦点为F,点A(0,2),若线段AF的中点B在抛物线上,则|BF|=()A.54B.52C.22D.324答案D考点三直线与抛物线的位置
5、关系1.(2019届安徽皖东第二次联考,8)若抛物线x2=2y在点a,a22(a0)处的切线与两条坐标轴围成的三角形的面积是8,则此切线方程是()A.x-4y-8=0B.4x-y-8=0C.x-4y+8=0D.4x-y+8=0答案B2.(2014课标,10,5分)设F为抛物线C:y2=3x的焦点,过F且倾斜角为30的直线交C于A,B两点,则|AB|=()A.303B.6C.12D.73答案C3.(2019届福建福州9月质检,9)抛物线C的顶点在原点,焦点在x轴上,直线x-y=0与抛物线C交于A、B两点,若P(1,1)为线段AB的中点,则抛物线C的方程为()A.y=2x2 B.y2=2xC.x2
6、=2y D.y2=-2x答案B4.(2018广东深圳二模,15)设过抛物线y2=2px(p0)上任意一点P(异于原点O)的直线与抛物线y2=8px(p0)交于A,B两点,直线OP与抛物线y2=8px(p0)的另一个交点为Q,则SABQSABO=.答案3炼技法【方法集训】方法1求抛物线的标准方程的方法 1.(2018河南顶级名校12月联考,7)已知直线l过抛物线y2=-2px(p0)的焦点,且与抛物线交于A、B两点,若线段AB的长是8,AB的中点到y轴的距离是2,则此抛物线的方程是()A.y2=-12xB.y2=-8xC.y2=-6x D.y2=-4x答案B2.(2019届湖南八校第一次调研,9
7、)在平面直角坐标系xOy中,动点P到圆(x-2)2+y2=1上的点的最小距离与其到直线x=-1的距离相等,则P点的轨迹方程是()A.y2=8x B.x2=8yC.y2=4x D.x2=4y答案A3.(2017河北六校模拟,14)抛物线C:y2=2px(p0)的焦点为F,点O是坐标原点,过点O,F的圆与抛物线C的准线相切,且该圆的面积为36,则抛物线的方程为.答案y2=16x方法2抛物线定义的应用策略1.(2014课标,10,5分)已知抛物线C:y2=x的焦点为F,A(x0,y0)是C上一点,|AF|=54x0,则x0=() A.1B.2C.4D.8答案A2.过抛物线y2=2px(p0)的焦点F
8、的直线l与抛物线交于B、C两点,l与抛物线的准线交于点A,且|AF|=6,AF=2FB,则|BC|=()A.8B.132C.6D.92答案D3.(2019届河南顶级名校高三入学测试,15)抛物线y2=8x的焦点为F,点A(6,3),P为抛物线上一点,且P不在直线AF上,则PAF周长的最小值为.答案13方法3与直线和抛物线位置关系有关问题的求解方法1.(2018福建莆田模拟,6)已知O为坐标原点,F为抛物线C:y2=8x的焦点,过F作直线l与C交于A,B两点.若|AB|=10,则OAB的重心的横坐标为() A.43B.2C.83D.3答案B2.(2018湖北武汉模拟,9)过点P(2,-1)作抛物
9、线x2=4y的两条切线,切点分别为A,B,PA,PB分别交x轴于E,F两点,O为坐标原点,则PEF与OAB的面积之比为()A.32B.33C.12D.34答案C3.(2019届河南洛阳期中检测,20)已知抛物线C:x2=2py(p0)的焦点为F,抛物线上一点P的纵坐标为3,且|PF|=4,过M(m,0)作抛物线C的切线MA(斜率不为0),切点为A.(1)求抛物线C的方程;(2)求证:以FA为直径的圆过点M.解析(1)|PF|=yP+p2,4=3+p2,p=2.抛物线C的方程为x2=4y.(4分)(2)证明:设Ax0,x024(x00),切线MA的斜率为k(k0).x2=4y,y=x24,y=x
10、2,k=x02.(5分)切线MA的方程为y-x024=x02(x-x0),即y=x02x-x024.(6分)切线过M(m,0),x0m2-x024=0.又x00,x0=2m.(8分)F(0,1),M(m,0),Ax0,x024(x00),MFMA=(-m,1)x0-m,x024=(-m,1)(m,m2)=0,(10分)FMA=90,因此,以FA为直径的圆过点M.(12分)过专题【五年高考】A组统一命题课标卷题组1.(2016课标全国,5,5分)设F为抛物线C:y2=4x的焦点,曲线y=kx(k0)与C交于点P,PFx轴,则k=() A.12B.1C.32D.2答案D2.(2018课标全国,20
11、,12分)设抛物线C:y2=2x,点A(2,0),B(-2,0),过点A的直线l与C交于M,N两点.(1)当l与x轴垂直时,求直线BM的方程;(2)证明:ABM=ABN.解析(1)当l与x轴垂直时,l的方程为x=2,可得M的坐标为(2,2)或(2,-2).所以直线BM的方程为y=12x+1或y=-12x-1.(2)证明:当l与x轴垂直时,AB为MN的垂直平分线,所以ABM=ABN.当l与x轴不垂直时,设l的方程为y=k(x-2)(k0),M(x1,y1),N(x2,y2),则x10,x20.由y=k(x-2),y2=2x得ky2-2y-4k=0,可知y1+y2=2k,y1y2=-4.直线BM,
12、BN的斜率之和为kBM+kBN=y1x1+2+y2x2+2=x2y1+x1y2+2(y1+y2)(x1+2)(x2+2).将x1=y1k+2,x2=y2k+2及y1+y2,y1y2的表达式代入式分子,可得x2y1+x1y2+2(y1+y2)=2y1y2+4k(y1+y2)k=-8+8k=0.所以kBM+kBN=0,可知BM,BN的倾斜角互补,所以ABM=ABN.综上,ABM=ABN.3.(2016课标全国,20,12分)已知抛物线C:y2=2x的焦点为F,平行于x轴的两条直线l1,l2分别交C于A,B两点,交C的准线于P,Q两点.(1)若F在线段AB上,R是PQ的中点,证明ARFQ;(2)若P
13、QF的面积是ABF的面积的两倍,求AB中点的轨迹方程.解析由题设知F12,0.设l1:y=a,l2:y=b,易知ab0,且Aa22,a,Bb22,b,P-12,a,Q-12,b,R-12,a+b2.记过A,B两点的直线为l,则l的方程为2x-(a+b)y+ab=0.(3分)(1)证明:由于F在线段AB上,故1+ab=0.记AR的斜率为k1,FQ的斜率为k2,则k1=a-b1+a2=a-ba2-ab=1a=-aba=-b=k2.所以ARFQ.(5分)(2)设l与x轴的交点为D(x1,0),则SABF=12|b-a|FD|=12|b-a|x1-12,SPQF=|a-b|2.由题设可得212|b-a
14、|x1-12=|a-b|2,所以x1=0(舍去)或x1=1.设满足条件的AB的中点为E(x,y).当AB与x轴不垂直时,由kAB=kDE可得2a+b=yx-1(x1).而a+b2=y,所以y2=x-1(x1).当AB与x轴垂直时,E与D重合.所以,所求轨迹方程为y2=x-1.(12分)B组自主命题省(区、市)卷题组考点一抛物线的定义及其标准方程1.(2014辽宁,8,5分)已知点A(-2,3)在抛物线C:y2=2px的准线上,记C的焦点为F,则直线AF的斜率为() A.-43B.-1C.-34D.-12答案C2.(2016浙江,19,15分)如图,设抛物线y2=2px(p0)的焦点为F,抛物线
15、上的点A到y轴的距离等于|AF|-1.(1)求p的值;(2)若直线AF交抛物线于另一点B,过B与x轴平行的直线和过F与AB垂直的直线交于点N,AN与x轴交于点M.求M的横坐标的取值范围.解析(1)由题意可得,抛物线上点A到焦点F的距离等于点A到直线x=-1的距离,由抛物线的定义得p2=1,即p=2.(2)由(1)得,抛物线方程为y2=4x,F(1,0),可设A(t2,2t),t0,t1.因为AF不垂直于y轴,可设直线AF:x=sy+1(s0),由y2=4x,x=sy+1消去x得y2-4sy-4=0,故y1y2=-4,所以,B1t2,-2t.又直线AB的斜率为2tt2-1,故直线FN的斜率为-t
16、2-12t.从而得直线FN:y=-t2-12t(x-1),直线BN:y=-2t.所以Nt2+3t2-1,-2t.设M(m,0),由A,M,N三点共线得2tt2-m=2t+2tt2-t2+3t2-1,于是m=2t2t2-1.所以m2.经检验,m2满足题意.综上,点M的横坐标的取值范围是(-,0)(2,+).思路分析(1)利用抛物线的定义来解题;(2)由(1)知抛物线的方程,可设A点坐标及直线AF的方程,与抛物线方程联立可得B点坐标,进而得直线FN的方程与直线BN的方程,联立可得N点坐标,最后利用A,M,N三点共线可得kAN=kAM,最终求出结果.考点二抛物线的几何性质1.(2016四川,3,5分
17、)抛物线y2=4x的焦点坐标是() A.(0,2)B.(0,1)C.(2,0)D.(1,0)答案D2.(2014安徽,3,5分)抛物线y=14x2的准线方程是()A.y=-1B.y=-2C.x=-1D.x=-2答案A3.(2018北京,10,5分)已知直线l过点(1,0)且垂直于x轴.若l被抛物线y2=4ax截得的线段长为4,则抛物线的焦点坐标为.答案(1,0)4.(2017天津,12,5分)设抛物线y2=4x的焦点为F,准线为l.已知点C在l上,以C为圆心的圆与y轴的正半轴相切于点A.若FAC=120,则圆的方程为.答案(x+1)2+(y-3)2=1考点三直线与抛物线的位置关系1.(2014
18、湖南,14,5分)平面上一机器人在行进中始终保持与点F(1,0)的距离和到直线x=-1的距离相等.若机器人接触不到过点P(-1,0)且斜率为k的直线,则k的取值范围是.答案(-,-1)(1,+)2.(2015浙江,19,15分)如图,已知抛物线C1:y=14x2,圆C2:x2+(y-1)2=1,过点P(t,0)(t0)作不过原点O的直线PA,PB分别与抛物线C1和圆C2相切,A,B为切点.(1)求点A,B的坐标;(2)求PAB的面积.注:直线与抛物线有且只有一个公共点,且与抛物线的对称轴不平行,则称该直线与抛物线相切,称该公共点为切点.解析(1)由题意知直线PA的斜率存在,故可设直线PA的方程
19、为y=k(x-t),由y=k(x-t),y=14x2消去y,整理得x2-4kx+4kt=0,由于直线PA与抛物线相切,得k=t.因此,点A的坐标为(2t,t2).设圆C2的圆心为D(0,1),点B的坐标为(x0,y0),由题意知:点B,O关于直线PD对称,故y02=-x02t+1,x0t-y0=0,解得x0=2t1+t2,y0=2t21+t2.因此,点B的坐标为2t1+t2,2t21+t2.(2)由(1)知|AP|=t1+t2,和直线PA的方程tx-y-t2=0.点B到直线PA的距离是d=t21+t2,设PAB的面积为S(t),所以S(t)=12|AP|d=t32.C组教师专用题组考点一抛物线
20、的定义及其标准方程1.(2013课标,8,5分)O为坐标原点,F为抛物线C:y2=42x的焦点,P为C上一点,若|PF|=42,则POF的面积为() A.2B.22C.23D.4答案C2.(2011课标,9,5分)已知直线l过抛物线C的焦点,且与C的对称轴垂直,l与C交于A,B两点,|AB|=12,P为C的准线上一点,则ABP的面积为()A.18B.24C.36D.48答案C3.(2017山东,15,5分)在平面直角坐标系xOy中,双曲线x2a2-y2b2=1(a0,b0)的右支与焦点为F的抛物线x2=2py(p0)交于A,B两点.若|AF|+|BF|=4|OF|,则该双曲线的渐近线方程为.答
21、案y=22x考点二抛物线的几何性质1.(2013课标,10,5分)设抛物线C:y2=4x的焦点为F,直线l过F且与C交于A,B两点.若|AF|=3|BF|,则l的方程为()A.y=x-1或y=-x+1B.y=33(x-1)或y=-33(x-1)C.y=3(x-1)或y=-3(x-1)D.y=22(x-1)或y=-22(x-1)答案C2.(2014陕西,11,5分)抛物线y2=4x的准线方程为.答案x=-13.(2014上海,4,4分)若抛物线y2=2px的焦点与椭圆x29+y25=1的右焦点重合,则该抛物线的准线方程为.答案x=-2考点三直线与抛物线的位置关系1.(2015四川,10,5分)设
22、直线l与抛物线y2=4x相交于A,B两点,与圆(x-5)2+y2=r2(r0)相切于点M,且M为线段AB的中点.若这样的直线l恰有4条,则r的取值范围是()A.(1,3)B.(1,4)C.(2,3)D.(2,4)答案D2.(2014四川,10,5分)已知F为抛物线y2=x的焦点,点A,B在该抛物线上且位于x轴的两侧,OAOB=2(其中O为坐标原点),则ABO与AFO面积之和的最小值是()A.2B.3C.1728D.10答案B3.(2014浙江,22,14分)已知ABP的三个顶点都在抛物线C:x2=4y上,F为抛物线C的焦点,点M为AB的中点,PF=3FM.(1)若|PF|=3,求点M的坐标;(
23、2)求ABP面积的最大值.解析(1)由题意知焦点F(0,1),准线方程为y=-1.设P(x0,y0),由抛物线定义知|PF|=y0+1,得到y0=2,所以P(22,2)或P(-22,2).由PF=3FM,分别得M-223,23或M223,23.(2)设直线AB的方程为y=kx+m,点A(x1,y1),B(x2,y2),P(x0,y0).由y=kx+m,x2=4y得x2-4kx-4m=0,于是=16k2+16m0,x1+x2=4k,x1x2=-4m,所以AB中点M的坐标为(2k,2k2+m).由PF=3FM,得(-x0,1-y0)=3(2k,2k2+m-1),所以x0=-6k,y0=4-6k2-
24、3m,由x02=4y0得k2=-15m+415.由0,k20,得-13m43.又因为|AB|=41+k2k2+m,点F(0,1)到直线AB的距离为d=|m-1|1+k2,所以SABP=4SABF=8|m-1|k2+m=16153m3-5m2+m+1.记f(m)=3m3-5m2+m+1-13f43,所以,当m=19时, f(m)取到最大值256243,此时k=5515.所以,ABP面积的最大值为2565135.4.(2014福建,21,12分)已知曲线上的点到点F(0,1)的距离比它到直线y=-3的距离小2.(1)求曲线的方程;(2)曲线在点P处的切线l与x轴交于点A,直线y=3分别与直线l及y
25、轴交于点M,N.以MN为直径作圆C,过点A作圆C的切线,切点为B.试探究:当点P在曲线上运动(点P与原点不重合)时,线段AB的长度是否发生变化?证明你的结论.解析(1)解法一:设S(x,y)为曲线上任意一点,依题意,点S到F(0,1)的距离与它到直线y=-1的距离相等,所以曲线是以点F(0,1)为焦点、直线y=-1为准线的抛物线,所以曲线的方程为x2=4y.解法二:设S(x,y)为曲线上任意一点,则|y-(-3)|-(x-0)2+(y-1)2=2,依题意,知点S(x,y)只能在直线y=-3的上方,所以y-3,所以(x-0)2+(y-1)2=y+1,化简得,曲线的方程为x2=4y.(2)当点P在
26、曲线上运动时,线段AB的长度不变.证明如下:由(1)知抛物线的方程为y=14x2,设P(x0,y0)(x00),则y0=14x02,由y=12x,得切线l的斜率k=y|x=x0=12x0,所以切线l的方程为y-y0=12x0(x-x0),即y=12x0x-14x02.由y=12x0x-14x02,y=0得A12x0,0.由y=12x0x-14x02,y=3得M12x0+6x0,3.又N(0,3),所以圆心C14x0+3x0,3,半径r=12|MN|=14x0+3x0,|AB|=|AC|2-r2=12x0-14x0+3x02+32-14x0+3x02=6.所以点P在曲线上运动时,线段AB的长度不
27、变.5.(2014湖北,22,14分)在平面直角坐标系xOy中,点M到点F(1,0)的距离比它到y轴的距离多1.记点M的轨迹为C.(1)求轨迹C的方程;(2)设斜率为k的直线l过定点P(-2,1).求直线l与轨迹C恰好有一个公共点、两个公共点、三个公共点时k的相应取值范围.解析(1)设点M(x,y),依题意得|MF|=|x|+1,即(x-1)2+y2=|x|+1,化简整理得y2=2(|x|+x).故点M的轨迹C的方程为y2=4x,x0,0,x0.(2)在点M的轨迹C中,记C1:y2=4x,C2:y=0(x0),依题意,可设直线l的方程为y-1=k(x+2).由方程组y-1=k(x+2),y2=
28、4x,可得ky2-4y+4(2k+1)=0.(i)当k=0时,y=1.把y=1代入轨迹C的方程,得x=14.故此时直线l:y=1与轨迹C恰好有一个公共点14,1.(ii)当k0时,方程的判别式为=-16(2k2+k-1).设直线l与x轴的交点为(x0,0),则由y-1=k(x+2),令y=0,得x0=-2k+1k.若0,x00,由解得k12,即当k(-,-1)12,+时,直线l与C1没有公共点,与C2有一个公共点,故此时直线l与轨迹C恰好有一个公共点.若=0,x00,x00,由解得k-1,12或-12k0,x00,由解得-1k-12或0k0)的焦点为F,直线y=4与y轴的交点为P,与C的交点为
29、Q,且|QF|=54|PQ|.(1)求C的方程;(2)过F的直线l与C相交于A、B两点,若AB的垂直平分线l与C相交于M、N两点,且A、M、B、N四点在同一圆上,求l的方程.解析(1)设Q(x0,4),代入y2=2px得x0=8p.所以|PQ|=8p,|QF|=p2+x0=p2+8p.由题设得p2+8p=548p,解得p=-2(舍去)或p=2.所以C的方程为y2=4x.(5分)(2)依题意知l与坐标轴不垂直,故可设l的方程为x=my+1(m0).代入y2=4x得y2-4my-4=0.设A(x1,y1),B(x2,y2),则y1+y2=4m,y1y2=-4.故AB的中点为D(2m2+1,2m),
30、|AB|=m2+1|y1-y2|=4(m2+1).又l的斜率为-m,所以l的方程为x=-1my+2m2+3.将上式代入y2=4x,并整理得y2+4my-4(2m2+3)=0.设M(x3,y3),N(x4,y4).则y3+y4=-4m,y3y4=-4(2m2+3).故MN的中点为E2m2+2m2+3,-2m,|MN|=1+1m2|y3-y4|=4(m2+1)2m2+1m2.(10分)由于MN垂直平分AB,故A、M、B、N四点在同一圆上等价于|AE|=|BE|=12|MN|,从而14|AB|2+|DE|2=14|MN|2,即4(m2+1)2+2m+2m2+2m2+22=4(m2+1)2(2m2+1
31、)m4,化简得m2-1=0,解得m=1或m=-1.所求直线l的方程为x-y-1=0或x+y-1=0.(12分)7.(2012课标全国,20,12分)设抛物线C:x2=2py(p0)的焦点为F,准线为l.A为C上一点,已知以F为圆心,FA为半径的圆F交l于B,D两点.(1)若BFD=90,ABD的面积为42,求p的值及圆F的方程;(2)若A,B,F三点在同一直线m上,直线n与m平行,且n与C只有一个公共点,求坐标原点到m,n距离的比值.解析(1)由已知可得BFD为等腰直角三角形,|BD|=2p,圆F的半径|FA|=2p.由抛物线定义可知A到l的距离d=|FA|=2p.因为ABD的面积为42,所以
32、12|BD|d=42,即122p2p=42,解得p=-2(舍去)或p=2.所以F(0,1),圆F的方程为x2+(y-1)2=8.(2)因为A,B,F三点在同一直线m上,所以AB为圆F的直径,ADB=90.由抛物线定义知|AD|=|FA|=12|AB|,所以ABD=30,m的斜率为33或-33.当m的斜率为33时,由已知可设n:y=33x+b,代入x2=2py得x2-233px-2pb=0.由于n与C只有一个公共点,故=43p2+8pb=0.解得b=-p6.因为m在y轴上的截距b1=p2,所以|b1|b|=3,所以坐标原点到m,n距离的比值为3.当m的斜率为-33时,由图形对称性可知,坐标原点到
33、m,n距离的比值为3.8.(2010全国,22,12分)已知抛物线C:y2=4x的焦点为F,过点K(-1,0)的直线l与C相交于A、B两点,点A关于x轴的对称点为D.(1)证明:点F在直线BD上;(2)设FAFB=89,求BDK的内切圆M的方程.解析设A(x1,y1),B(x2,y2),D(x1,-y1),l的方程为x=my-1(m0).(1)证明:将x=my-1代入y2=4x并整理得y2-4my+4=0,从而y1+y2=4m,y1y2=4.直线BD的方程为y-y2=y2+y1x2-x1(x-x2),即y-y2=4y2-y1x-y224.令y=0,得x=y1y24=1.所以点F(1,0)在直线
34、BD上.(2)由(1)知,x1+x2=(my1-1)+(my2-1)=4m2-2,x1x2=(my1-1)(my2-1)=1.因为FA=(x1-1,y1),FB=(x2-1,y2),FAFB=(x1-1)(x2-1)+y1y2=x1x2-(x1+x2)+1+4=8-4m2,故8-4m2=89,解得m=43.所以l的方程为3x+4y+3=0,或3x-4y+3=0.又由知y2-y1=(4m)2-44=437,故直线BD的斜率为4y2-y1=37,因而直线BD的方程为3x+7y-3=0,或3x-7y-3=0.因为KF为BKD的平分线,故可设圆心M(t,0)(-1t0)的焦点为F,射线FA与抛物线C相
35、交于点M,与其准线相交于点N,若|FM|MN|=55,则p的值等于()A.18B.14C.2D.4答案C5.(2019届湖北武汉重点中学期初调研,12)已知F是抛物线C:y2=8x的焦点,M是C上一点,FM的延长线交y轴于点N.若M为FN的中点,则|FN|=()A.4B.6C.8D.10答案B6.(2019届广东韶关第一中学9月月考,11)直线l过抛物线y2=ax(a0)的焦点F且与抛物线交于A,B两点,则|AF|BF|AF|+|BF|=()A.a2B.a4C.2aD.4a答案B7.(2019届广东佛山第一中学9月月考,11)已知P为抛物线y=ax2(a0)准线上一点,过点P作抛物线的切线PA
36、,PB,切点分别为A,B.若切线PA的斜率为13,则切线PB的斜率为()A.-aB.-3C.-13D.-1a答案B8.(2017江西新余、宜春联考,11)抛物线y2=2px(p0)的焦点为F,准线为l,A,B是抛物线上的两个动点,且满足AFB=23,设线段AB的中点M在l上的投影为N,则|MN|AB|的最大值是()A.3B.32C.33D.34答案C二、填空题(共5分)9.(2017安徽黄山二模,14)已知抛物线C:y2=8x,焦点为F,点P(0,4),点A在抛物线上,当点A到抛物线准线l的距离与点A到点P的距离之和最小时,延长AF交抛物线于点B,则AOB的面积为.答案45三、解答题(共20分
37、)10.(2018广东惠州调研,20)已知圆x2+y2=12与抛物线x2=2py(p0)相交于A,B两点,点B的横坐标为22,F为抛物线的焦点.(1)求抛物线的方程;(2)若过点F且斜率为1的直线l与抛物线和圆交于四个不同的点,从左至右依次为P1,P2,P3,P4,求|P1P2|-|P3P4|的值.解析(1)设B(22,y0),由题意得(22)2+y02=12,(22)2=2py0,解之得y0=2,p=2,所以抛物线的方程为x2=4y.(2)设点P1(x1,y1),P2(x2,y2),P3(x3,y3),P4(x4,y4),由题意知P1,P3在圆上,P2,P4在抛物线上.因为直线l过点F且斜率
38、为1,所以直线l的方程为y=x+1.联立y=x+1,x2+y2=12,得2x2+2x-11=0,所以x1+x3=-1,x1x3=-112,所以|P1P3|=1+12(x1+x3)2-4x1x3=2(-1)2-4-112=46.由y=x+1,x2=4y,得x2-4x-4=0,所以x2+x4=4,x2x4=-4.所以|P2P4|=1+12(x2+x4)2-4x2x4=242-4(-4)=8.由题意易知|P1P2|=|P1P3|-|P2P3|,|P3P4|=|P2P4|-|P2P3|,-得|P1P2|-|P3P4|=|P1P3|-|P2P4|,|P1P2|-|P3P4|=46-8.11.(2019届
39、广东佛山第一中学9月月考,20)已知抛物线C:y2=2px(p0)的焦点为F,抛物线C上的点M(2,y0)到F的距离为3.(1)求抛物线C的方程;(2)斜率存在的直线l与抛物线相交于相异的两点A(x1,y1),B(x2,y2),且x1+x2=4.若线段AB的垂直平分线交x轴于点G,且GAGB=5,求直线l的方程.解析(1)由抛物线定义知|MF|=2+p2,所以2+p2=3,解得p=2,所以,抛物线C的方程为y2=4x.(2)设线段AB的中点坐标为(2,m),则y1+y2=2m.因为直线l的斜率存在,所以m0,kAB=y2-y1x2-x1=y2-y1y224-y124=2m,所以直线AB的方程为
40、y-m=2m(x-2),即2x-my+m2-4=0.由2x-my+m2-4=0,y2=4x,得y2-2my+2m2-8=0,其中0,即m28,y1+y2=2m,y1y2=2m2-8,线段AB的垂直平分线方程为y-m=-m2(x-2),令y=0,得x=4,所以G(4,0),所以GA=(x1-4,y1),GB=(x2-4,y2).因为GAGB=5,所以(x1-4)(x2-4)+y1y2=5,即x1x2-4(x1+x2)+16+y1y2=5,也即y12y2216-44+16+y1y2=5,把代入得(m2-4)2+8(m2-4)-20=0,化简,得(m2+6)(m2-6)=0,所以m2=68,所以m=6.所以直线l的方程为2x-6y+2=0或2x+6y+2=0.
