1、第三章 空间向量与立体几何31 空间向量及其运算3.1.2 空间向量的数乘运算目标 1.掌握空间向量的数乘运算的定义和运算律，了解共线(平行)向量的意义.2.理解共线向量定理和共面向量定理及其推论，会证明空间三点共线与四点共面问题重点 应用共线定理与共面定理解决共线问题与共面问题难点 证明线面平行与面面平行课时作业要点整合夯基础典例讲练破题型课堂达标练经典知识点一 空间向量的数乘运算填一填答一答1空间向量的数乘运算与平面向量的数乘运算有什么关系？2类比平面向量，空间向量的数乘运算满足()aaa(，R)，对吗？提示：相同提示：正确类比平面向量的运算律可知知识点二 共线、共面定理填一填答一答3ab
2、 是向量 a 与 b 共线的充要条件吗？4空间中任意两个向量一定共面吗？任意三个向量呢？提示：不是由 ab 可得出 a，b 共线，而由 a，b 共线不一定能得出 ab，如当 b0，a0 时提示：空间任意两个向量一定共面，但空间任意三个向量不一定共面5共面向量定理中为什么要求 a，b 不共线？提示：如果 a，b 共线，则 p 一定与向量 a，b 共面，却不一定存在实数组(x，y)，使 pxayb，所以共面向量基本定理的充要条件要去掉 a，b 共线的情况6已知空间任意一点 O 和不共线的三点 A，B，C，满足向量关系式OP xOA yOB zOC(其中 xyz1)的点 P 与点 A，B，C 是否共
3、面？提示：四点共面xyz1，x1yz，又OP xOA yOB zOCOP(1yz)OA yOB zOCOP OA y(OB OA)z(OC OA)APyABzAC，点 P 与点 A，B，C 共面1共线向量、共面向量不具有传递性2共线向量定理及其推论是证明共线(平行)问题的重要依据定理中的条件 a0 不可遗漏3直线的方向向量是指与直线平行或共线的向量一条直线的方向向量有无限多个，它们的方向相同或相反4空间任意两个向量总是共面的，空间任意三个向量可能共面，也可能不共面5向量 p 与 a，b 共面的充要条件是在 a 与 b 不共线的前提下才成立的，若 a 与 b 共线，则不成立类型一 空间向量的数乘
4、运算【例 1】设 O 为ABCD 所在平面外任意一点，E 为 OC的中点，试用向量OA，OB，OD 表示AE.【分析】将向量AE分解成OA，OB，OD 的线性组合的形式【解】由题意，可以作出如下图所示的几何图形在封闭图形 ADOE 中，有：AEAD DO OE，在AOD 中，AD OD OA.在BOC 中，OC BCBO，AD BC，OC AD OB OD OA OB.又OE 12OC，OE 12(OD OA OB)12OA 12OB 12OD.又DO OD，将、代入可得：AE(OD OA)OD 12OA 12OB 12OD32OA 12OB 12OD，AE32OA 12OB 12OD.寻找到
5、以欲表示的向量所对应的线段为其一边的一个封闭图形，利用这一图形中欲求向量与已知向量所在线段的联系进行相应的向量运算是处理此类问题的基本技巧，一般地，可以找到的封闭图形不是唯一的.但需知，无论哪一种途径，结果应是唯一的.如下图所示，在平行六面体 ABCD-ABCD中，设ABa，AD b,AA c，E 和 F 分别是 AD和 BD 的中点，用向量 a，b，c 表示DB，EF.解：DB DAABBB bac.EFEAABBF12DA a12BD 12(bc)a12(ab)12(ac)类型二 空间向量的共线问题【例 2】如图所示，已知四边形 ABCD，ABEF 都是平行四边形且不共面，M，N 分别是
6、AC，BF 的中点，判断CE与MN 是否共线【解】因为 M，N 分别是 AC，BF 的中点，且四边形 ABCD，四边形 ABEF 都是平行四边形，所以MN MA AFFN12CAAF12FB.又因为MN MC CEEBBN12CACEAF12FB，以上两式相加得CE2MN，所以CEMN，即CE与MN 共线 判断向量共线就是充分利用已知条件找到实数，使 ab成立，同时要充分运用空间向量的运算法则，结合空间图形，化简得出 ab，从而得出 ab.如图所示，在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中，E 在 A1D1 上，且A1E2ED1，F 在对角线 A1C 上，且A1F 23FC.求证：E，F，B
7、三点共线证明：设ABa，AD b，AA1 c.A1E 2ED1，A1F 23FC，A1E 23A1D1，A1F 25A1C.A1E 23AD 23b，A1F 25(ACAA1)25(ABAD AA1)25a25b25c.EFA1F A1E 25a 415b25c25(a23bc)又EBEA1A1A AB23bcaa23bc，EF25EB，所以 E，F，B 三点共线类型三 空间向量的共面问题【例 3】已知 A，B，C 三点不共线，平面 ABC 外一点 M满足OM 13OA 13OB 13OC.(1)判断MA，MB，MC 三个向量是否共面；(2)判断 M 是否在平面 ABC 内【解】(1)OA O
8、B OC 3OM，OA OM(OM OB)(OM OC)BM CM，MA BM CM MB MC，向量MA，MB，MC 共面(2)由(1)知向量MA，MB，MC 共面，而它们有共同的起点 M，且 A，B，C 三点不共线，M，A，B，C 共面，即 M 在平面 ABC内 1证明向量共面，可以利用共面向量的充要条件，也可直接利用定义，通过线面平行或直线在平面内进行证明.2向量共面向量所在的直线不一定共面，只有这些向量都过同一点时向量所在的直线才共面向量的起点、终点共面.已知 E，F，G，H 分别是空间四边形 ABCD 的边 AB，BC，CD，DA 的中点，求证：(1)E，F，G，H 四点共面(2)B
9、D平面 EFGH.证明：如下图，连接 EG，BG.(1)因为EG EBBG EB 12(BC BD)EBBF EH EFEH，由向量共面的充要条件知：E，F，G，H 四点共面(2)因为EH AH AE12AD 12AB12BD，所以 EHBD.又EH平面 EFGH，BD平面 EFGH，所以 BD平面 EFGH.1下列命题中正确的是()A若 a 与 b 共线，b 与 c 共线，则 a 与 c 共线B向量 a，b，c 共面，即它们所在的直线共面C零向量没有确定的方向D若 ab，则存在唯一的实数，使 ab解析：A 中，若 b0，则 a 与 c 不一定共线；B 中，共面向量的定义是平行于同一平面的向量
10、，表示这些向量的有向线段所在的直线不一定共面；D 中，若 b0，a0，则不存在.C2当|a|b|0，且 a、b 不共线时，ab 与 ab 的关系是()A共面 B不共面C共线D无法确定解析：ab 与 ab 不共线，则它们共面A3设 O-ABC 是四面体，G1 是ABC 的重心，G 是 OG1 上的一点，且 OG3GG1，若OG xOA yOB zOC，则(x，y，z)为()A(14，14，14)B(34，34，34)C(13，13，13)D(23，23，23)A解析：因为OG 34OG1 34(OA AG1)34OA 342312(ABAC)34OA 14(OB OA)(OC OA)14OA 1
11、4OB 14OC，而OG xOA yOB zOC，所以 x14，y14，z14.4已知 A、B、C 三点不共线，O 为平面 ABC 外一点，若由OM 2OA OB OC 确定的点 M 与 A、B、C 共面，则.2解析：M 与 A、B、C 共面，则OM xOA yOB zOC，其中 xyz1，结合题目有211，即 2.5如下图，正方体 ABCD-A1B1C1D1 中，E、F 分别为 BB1和 A1D1 的中点证明：向量A1B，B1C，EF是共面向量证明：EFEBBA1 A1F 12B1B A1B 12A1D1 12(B1B BC)A1B 12B1C A1B.由向量共面的充要条件知，A1B，B1C，EF是共面向量温示提馨请 做：课时作业 20PPT文稿（点击进入）